专题02 半角模型与手拉手模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题2 半角模型与手拉手模型 半角模型是通过旋转构造一对全等三角形，再运用半角关系及第一次全等三角形的性质得到第二组全等三角形。 手拉手全等模型本质是通过旋转形成全等三角形，它有多个延伸结论，并且在考试中，多与倍长中线结合起来进行考察。 以上两种模型，在考试中以中高档题为主，本专题就半角模型和手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.半角模型 2 模型2.手拉手模型 11 22 模型1.半角模型 （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即. 例1．如图，已知正方形的边长为3，点E，F分别是，边上的点，且，将 绕点D逆时针旋转得到．若，则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，且， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 例2．如图，点E、F分别在正方形的边，上，且，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点M，，，则　 　． 【答案】． 【解答】解：连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由旋转得： ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G、B、F三点在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为x， ∴，， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴正方形的边长为6， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M与点O重合， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，连接，与、分别相交于点M、N，若正方形的边长为6，，求的长； （3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析． 【解答】解：（1）如图，延长至点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 设，则， 由（1）知，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3），证明如下： 如图，延长至点G，使，连接，在上截取，连接，， 由（1）知，，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 模型2.手拉手模型 手拉手模型 （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. G 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴边上的高与边上的高相等， ∴平分. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 同理可证， 则有为等边三角形； ∴ ∴； 可证， ∴； ∵， ∴边上的高与边上的高相等， ∴平分； 在上截取，证， 可得； 同理，在上截取，证 可得. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. M 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. M 证明：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即. 例1．如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针 旋转得到，交于点F，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：如图，过点F作于H，于N， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 例2．如图，和均是等边三角形，其中点E是的内心，以E为圆心，长为半径画 弧交于点B，再将弧绕点A逆时针旋转至弧处，已知，则图中阴影部分面积 是 　 　． 【答案】． 【解答】解：连接，， ∵和均是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点E是等边的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴点D、E、C在同一条直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．如图，在的内部，以为斜边作，，连接，． （1）如图1，过点D作交点E，若，，求的长； （2）如图2，点F为上一点，连接，过点A作分别交于点G，交于点H，若，，求证：； （3）如图3，若，，点M为直线上一点，连接，将沿直线翻折至，连接，，当面积最大时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解答】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． （2）证明：如图2，取中点N，连接，过点D作于点D，交于点M，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）由翻折可知，，，则点在以D为圆心，为半径的圆上， 作于K，于T，于L， ∵，则当取最大值时，最大，而， ∴当经过圆心D时，最大， 由题意可知，为等腰直角三角形，则，， ∵当经过圆心D，则平分， ∴，则， ∴为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 在中，则， ∵，则为等腰直角三角形， ∴，， 则， 由翻折可知，， ∵， ∴M，，L三点在同一直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 半角模型 1．已知正方形边长为5，点M、N分别在边，上，连接，，，若， ，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D． 【解答】解：如图，延长，使， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 2．如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接 交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线 段的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接，，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理可得： ， 即， 解得：， ∴，， ∴． 3．如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，交于M点， 交于N点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 　 　． （2）若，则　 　． 【答案】（1）4；（2）． 【解答】解：（1）过A作，交延长线于G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：4； （2）连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图1，已知一个量角器的直径与正方形的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧 与边交于点P，过点M作，交边，于G，H．在量角器绕点C顺时针旋转的过程 中，若的度数为，则的值为 　 　；如图2，连结，，与对角线 分别交于E，F，若，则的值为 　 　． 【答案】；． 【解答】解：如图1，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，设， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 故答案为：；． 5．如图，已知，点E在线段上，，，， 求的长． 【答案】的长为12或8． 【解答】解：作，交的延长线于点F，延长到G，使，连接， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，， ∴的长为12或8． 6．已知：如图边长为2的正方形中，的两边分别交、边于M、N两点，且 （1）求证：； （2）若、交对角线于E、F两点．设，，求y与x的函数关系式． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：将绕点A逆时针旋转至， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图1，在正方形中，E、F分别是，上的点，且．则有结论 成立； （1）如图2，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1）结论成立，证明见解析；（2）结论不成立，应为，证明见解析． 【解答】解：（1）延长到G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，结论成立． （2）结论不成立，应为， 证明：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 8．把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转， 它的两边分别交直线、于点M、N． （1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析． 【解答】（1）证明：延长到H，使，连接，如图（1）， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接，如图（2）， 与（1）一样可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴， 即． 9．已知：如图，正方形的边长为a，，分别平分正方形的两个外角，且满足， 连接，，． （1）填空：与相似的三角形是　 　，　 　；（用含a的代数式表示） （2）求的度数； （3）猜想线段，和之间的等量关系并证明你的结论． 【答案】（1），；（2）；（3），证明见解析． 【解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，分别平分正方形的两个外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （2）由（1）可得． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∵，分别平分正方形的两个外角， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）线段，和之间的等量关系是． 证明：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接．则． ∴，，，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 可得． ∴在中，． ∴． 10．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题： 如图1，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，交于点F，求证：． 数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下： 由正方形的性质得到，， 再由垂直和平行可知， 再利用同角的余角相等得到， 则可根据“”判定， 得到，所以． 【建立模型】 该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题： （1）如图2，四边形是正方形，E，F是对角线上的点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 【模型拓展】 该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点； （2）如图3，若正方形的边长为12，E是对角线上的一点，过点E作，交边于点G，连接，交对角线于点F，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：如图，把绕点D逆时针旋转点得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴C，D，E，G四点共圆， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由， 设，则， 在中，，则， ∵正方形的边长为12， ∴由勾股定理得， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．正方形中，点E在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕 点A逆时针旋转，交射线于点F． （1）如图，点E在边上，，则图中与线段相等的线段是 　 　； （2）过点E作，垂足为G，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）． 【解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①当点E在边上时，如图1，过点G作，垂足为M，延长交于点N， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴． ②当点E在边上时，如图2，过点G作，垂足为N，延长交延长线于点M， 则四边形是矩形， 同理可得， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴． 综上，的度数为或． （3）①当点E在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 易知，， ∴， ∴， ∴，， ∴； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点F在与点C重合，与题意矛盾． ②当点E在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又∵， ∴此时点E与点D重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，． 手拉手模型 1．如图，在中，，点D是外一点，连接、、，且交于点 O，在上取一点E，使得，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵， ∴， 即：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段为边在y轴右侧 作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列说法错误的是 （　　） A． B． C．直线与x轴所夹的锐角恒为 D．随点B的移动，线段的值逐渐增大 【答案】D． 【解答】解：A．∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； C．延长交x轴于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与x轴所夹的锐角恒为， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∵点A是x轴上一个定点， ∴的值是一个定值， ∴随点B的移动，线段的值不变， 故D符合题意； 故选：D． 3．如图，在菱形中，，点，点D在对角线上，且，点E 是射线上一动点，连接，F为x轴上一点（F在左侧），且，连接，当 的周长最小时，点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：如图，取点，连接， ∵四边形是菱形点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长最小时，最小， 如图，过D作，垂足为E，过E作轴，垂足为H， 中，，， ∴， 中，， ∴，， 故选：C． 4．如图，边长为的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段 绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：如图，取的中点G，连接，则， ∵线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故选：B． 5．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则 的最大值是 　 　． 【答案】． 【解答】解：将绕点D顺时针旋转， ，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，值最大， 在中，， ∴， ∴最大值为8， ∴最大值为， 故答案为：． 6．如图，在中，，．D，E，F分别是边，，上的点，．若 ，，则的最小值是 　 　. 【答案】． 【解答】解：连接，过点C作，垂足为C，使，连接，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长，即的最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 7．如图，在中，，D是边上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转至的 位置，使得，连接，交于点F，连接．当时，若平 分，求证：． 【答案】证明见解析． 【解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．E是正方形的边上一点，连接，过A作交的延长线于点F，连接， 取的中点P，连接、． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴； （2）如图所示：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P是中点，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．已知是等腰直角三角形，． （1）如图，D是直角边上一点，过D作于E，点F为中点，连接，，请写出此时线段与的关系（不用证明）． （2）在（1）的条件下将绕点B顺时针旋转，请画出图形；若，，直接写出此时的长． 【答案】（1）且；（2）． 【解答】解：（1）且， ∵，点F为的中点， ∴，， ∴，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴且； （2）延长交的延长线于H，连接，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 10．已知是等腰三角形，，，点D为边上一点，连接． （1）如图1，，，将绕着点A顺时针方向旋转与相同的度数得到，连接，若，求的长度． （2）如图2，将线段绕点D逆时针旋转到，连接，点O为线段的中点，连接，证明：． （3）点Q为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或． 【解答】（1）解：在中，，， ∴， 由旋转可知， ∴，， 在中，， ∴； （2）证明：如图1，延长到点F，使，连接，，与交于点M，则， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即； （3）解：如图2，当点Q在内部时，将绕着点A顺时针方向旋转与相同的度数得到，连接，过点A作于点E． ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 当点Q在外时，同法可得． 综上所述，或． 11．如图，已知四边形，，且，过C点作交于F，点E在 上且，点H在延长线上且，连接． （1）如图1，若，，，，求的长度． （2）如图2，取中点G，连接、，求证：． （3）如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着G点旋转，所在直线与直线交于Q，N是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）的最小值为． 【解答】（1）解：过点A作于点K，过点E作于L，如图1， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． （2）证明：延长至J，使，连接，，， ∵点G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． （3）解：由旋转得点F在以G为圆心，为半径的圆上运动，当最大时，点F在的延长线上， ∵，，， ∴， 如图3，将绕点H顺时针旋转得到，在上截取，过点S作交于L，连接，，过点N作于K， 由旋转得：，，，， 则是等边三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ， 当且仅当点Q、N、S、L在同一条直线上时，取得最小值， 在中，， ∴的最小值为． 12．如图，在中，，． （1）如图1，点D为内一点，连接，过点A作，，连接，，，已知，，当B、D、E三点共线时，求四边形的面积； （2）如图2，在上取点D，连接，过点A作于点F，，取中点G，连接，，在上取点M，过点M作交于点N，，求证：； （3）如图3，在上取点D，连接，将沿翻折至，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）的最小值． 【解答】解：（1）如图1，作于H． ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． （2）如图2，连接，连接交于点P，设与交于点Q． ∵，，G为中点， ∴，，， ∵于F， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）如图3，取中点M，连接，，连接交于点N，作于点P，设交于点Q． 由轴对称性质可知：，垂直平分，即，， ∴， ∵， ∴，即， ∵于点H， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则，， 设，则， 由射影定理可知：，即， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∵M为中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当A、H、M三点共线时，取得最小值． 13．在等腰中，，点D为边上一点，连结． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点G，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连结，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的最小值为． 【解答】解：（1）作于E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）如图，以为边作等边三角形，连接，， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， 作，交的延长线于Q， 当点E与Q重合时，最小， ∴的最小值为． 29 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 半角模型与手拉手模型 半角模型是通过旋转构造一对全等三角形，再运用半角关系及第一次全等三角形的性质得到第二组全等三角形。 手拉手全等模型本质是通过旋转形成全等三角形，它有多个延伸结论，并且在考试中，多与倍长中线结合起来进行考察。 以上两种模型，在考试中以中高档题为主，本专题就半角模型和手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.半角模型 2 模型2.手拉手模型 11 22 模型1.半角模型 （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即. 例1．如图，已知正方形的边长为3，点E，F分别是，边上的点，且，将 绕点D逆时针旋转得到．若，则的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，且， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 例2．如图，点E、F分别在正方形的边，上，且，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点M，，，则　 　． 【答案】． 【解答】解：连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由旋转得： ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G、B、F三点在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为x， ∴，， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴正方形的边长为6， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M与点O重合， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，连接，与、分别相交于点M、N，若正方形的边长为6，，求的长； （3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析． 【解答】解：（1）如图，延长至点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 设，则， 由（1）知，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3），证明如下： 如图，延长至点G，使，连接，在上截取，连接，， 由（1）知，，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 模型2.手拉手模型 手拉手模型 （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. G 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴边上的高与边上的高相等， ∴平分. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 同理可证， 则有为等边三角形； ∴ ∴； 可证， ∴； ∵， ∴边上的高与边上的高相等， ∴平分； 在上截取，证， 可得； 同理，在上截取，证 可得. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. M 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. M 证明：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即. 例1．如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针 旋转得到，交于点F，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：如图，过点F作于H，于N， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 例2．如图，和均是等边三角形，其中点E是的内心，以E为圆心，长为半径画 弧交于点B，再将弧绕点A逆时针旋转至弧处，已知，则图中阴影部分面积 是 　 　． 【答案】． 【解答】解：连接，， ∵和均是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点E是等边的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴点D、E、C在同一条直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．如图，在的内部，以为斜边作，，连接，． （1）如图1，过点D作交点E，若，，求的长； （2）如图2，点F为上一点，连接，过点A作分别交于点G，交于点H，若，，求证：； （3）如图3，若，，点M为直线上一点，连接，将沿直线翻折至，连接，，当面积最大时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解答】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． （2）证明：如图2，取中点N，连接，过点D作于点D，交于点M，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）由翻折可知，，，则点在以D为圆心，为半径的圆上， 作于K，于T，于L， ∵，则当取最大值时，最大，而， ∴当经过圆心D时，最大， 由题意可知，为等腰直角三角形，则，， ∵当经过圆心D，则平分， ∴，则， ∴为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 在中，则， ∵，则为等腰直角三角形， ∴，， 则， 由翻折可知，， ∵， ∴M，，L三点在同一直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 半角模型 1．已知正方形边长为5，点M、N分别在边，上，连接，，，若， ，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 2．如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接 交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线 段的长为 　 　． 3．如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，交于M点， 交于N点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 　 　． （2）若，则　 　． 4．如图1，已知一个量角器的直径与正方形的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧 与边交于点P，过点M作，交边，于G，H．在量角器绕点C顺时针旋转的过程 中，若的度数为，则的值为 　 　；如图2，连结，，与对角线 分别交于E，F，若，则的值为 　 　． 5．如图，已知，点E在线段上，，，， 求的长． 6．已知：如图边长为2的正方形中，的两边分别交、边于M、N两点，且 （1）求证：； （2）若、交对角线于E、F两点．设，，求y与x的函数关系式． 7．如图1，在正方形中，E、F分别是，上的点，且．则有结论 成立； （1）如图2，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 8．把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转， 它的两边分别交直线、于点M、N． （1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 9．已知：如图，正方形的边长为a，，分别平分正方形的两个外角，且满足， 连接，，． （1）填空：与相似的三角形是　 　，　 　；（用含a的代数式表示） （2）求的度数； （3）猜想线段，和之间的等量关系并证明你的结论． 10．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题： 如图1，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，交于点F，求证：． 数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下： 由正方形的性质得到，， 再由垂直和平行可知， 再利用同角的余角相等得到， 则可根据“”判定， 得到，所以． 【建立模型】 该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题： （1）如图2，四边形是正方形，E，F是对角线上的点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 【模型拓展】 该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点； （2）如图3，若正方形的边长为12，E是对角线上的一点，过点E作，交边于点G，连接，交对角线于点F，，求的值． 11．正方形中，点E在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕 点A逆时针旋转，交射线于点F． （1）如图，点E在边上，，则图中与线段相等的线段是 　 　； （2）过点E作，垂足为G，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 手拉手模型 1．如图，在中，，点D是外一点，连接、、，且交于点 O，在上取一点E，使得，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段为边在y轴右侧 作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列说法错误的是 （　　） A． B． C．直线与x轴所夹的锐角恒为 D．随点B的移动，线段的值逐渐增大 3．如图，在菱形中，，点，点D在对角线上，且，点E 是射线上一动点，连接，F为x轴上一点（F在左侧），且，连接，当 的周长最小时，点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，边长为的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段 绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则 的最大值是 　 　． 6．如图，在中，，．D，E，F分别是边，，上的点，．若 ，，则的最小值是 　 　. 7．如图，在中，，D是边上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转至的 位置，使得，连接，交于点F，连接．当时，若平 分，求证：． 8．E是正方形的边上一点，连接，过A作交的延长线于点F，连接， 取的中点P，连接、． （1）求证：； （2）求证：． 9．已知是等腰直角三角形，． （1）如图，D是直角边上一点，过D作于E，点F为中点，连接，，请写出此时线段与的关系（不用证明）． （2）在（1）的条件下将绕点B顺时针旋转，请画出图形；若，，直接写出此时的长． 10．已知是等腰三角形，，，点D为边上一点，连接． （1）如图1，，，将绕着点A顺时针方向旋转与相同的度数得到，连接，若，求的长度． （2）如图2，将线段绕点D逆时针旋转到，连接，点O为线段的中点，连接，证明：． （3）点Q为平面内一点，若，，请直接写出的值． 11．如图，已知四边形，，且，过C点作交于F，点E在 上且，点H在延长线上且，连接． （1）如图1，若，，，，求的长度． （2）如图2，取中点G，连接、，求证：． （3）如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着G点旋转，所在直线与直线交于Q，N是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 12．如图，在中，，． （1）如图1，点D为内一点，连接，过点A作，，连接，，，已知，，当B、D、E三点共线时，求四边形的面积； （2）如图2，在上取点D，连接，过点A作于点F，，取中点G，连接，，在上取点M，过点M作交于点N，，求证：； （3）如图3，在上取点D，连接，将沿翻折至，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 13．在等腰中，，点D为边上一点，连结． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点G，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连结，直接写出的最小值． 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$