5.1.2导数的概念及其几何意义 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义 人民教育出版社A版，高中数学选择性必修第二册 一、课型、课时安排 新授课，共1课时。 二、教学内容及内容解析 本节课的教学内容选自人教A版高中数学选择性必修第二册第五章第一节第二课时，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。 三、学情分析 【已有知识基础】 导数是对变化率的一种“度量”。实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度。学生在前面学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从。 【有待提升】 （1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡。 （2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度。这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当趋于0时，趋于一个定值；当趋于0时，趋于一个定值。 （3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难。 因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点。 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数的图像，平均变化表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 四、教学目标和目标解析 1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会导数的概念的实际背景。 2.了解导函数的概念,理解导数的几何意义,体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。渗透“逼近”思想,激发学生的学习兴趣,培养学生不断发现、探究新知识的精神。 五、教学重难点 教学重点：导数的概念及导数的几何意义 教学难点：导数的几何解释及切线概念的形成。 六、数学核心素养 1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，养成数学抽象、直观想象和数学建模的核心素养。 2.通过问题的探究不断渗透逼近和以直代曲的数学思想，以及用已知探求未知、从特殊到一般及数形结合等数学思想方法。 七、教学问题诊断分析 考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。 采用“教师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式．课堂教学始终贯彻“教师为主导、学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想。 将学生分组，让学生更好的进行合作探究活动，通过手机同屏提取分组学生的计算结果，让学生感受逼近的思想方法。 简单介绍微积分的发展史，介绍牛顿和莱布尼兹的贡献，提高学生对学习导数的兴趣欲望，以已知探求未知，激发学生的学习热情；提前通过导学案引导学生自主计算跳水运动员任意时刻的平均速度，课堂上分组汇报各组数据，教师利用EXCEL快速计算更多的数据，让学生直观感受数值逼近的思想，求出瞬时速度，从而得到导数的定义，注重抽象概念不同意义间的转换，再用几何画板进行动态演示，让学生探索出导数的几何意义。 八、教法学法 探究式教学与启发性教学相结合 问题诱导、启发探究 观察分析，思考探究 教师主导 学生主体 教学时本节课按照创设的情境，通过教学设计过程层层递进，并注重代数和几何的解释，以探究式教学与启发性教学相结合的教学方法，引导学生观察分析、思考探究。并充分利用现代化信息技术、几何画板等教具作为教学辅助手段，提高课堂时效性。 九、教学过程设计 （一）设置问题情境 【教师活动】 295年前，中国古代数学家刘徽利用割圆术计算出圆周率为3。1416，他们已经具备了微积分的思想，离研究出微积分只有一步之遥！介绍微积分的发展史。 物理学家牛顿是从运动学，即瞬时速度的方向去研究的，而莱布尼茨则是在几何学的角度去研究的。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，实现了数与形的结合！数形结合自古就不分家！今天我们就先从“数”的方向大致沿着牛顿的路线研究导数，然后再从“形”的方向沿着莱布尼兹的路线研究导数。下面我们来看这样一个物理问题： 【学生活动】 根据老师提出的问题思考并回答，老师点评并补充。 【设计意图】 通过简单介绍微积分的发展史及牛顿的成就激发学生学习导数的兴趣。 （二）问题情境，数学探究 【教师活动】 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h（t）=-4.9+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度。 问题1：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？ 如果我们想求高台跳水运动员在时的瞬时速度，可以先考察附近的情况。 问题2：那么t在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]……内的平均速度分别是多少？请各小组汇报你们的计算结果，用手机同屏学生的实验结果。 我们先看运动员在内的平均速度。请完成表格： 问题3：大家发现了什么特点？ 再看运动员在内在的平均速度。请完成表格： 问题4：大家发现了什么特点？ 这种现象我们还可以通过电子表格来观察到 问题5：要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引进一个量，使其得到简化？ 以上三个式子可以统一写成 问题6：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ 学生通过观察发现：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1。 总结：这个确定的值即瞬时速度，为了更明确的表述趋近的过程,可用极限的思想来表示,即 【设计意图】 注重数学思想方法的渗透，将复杂计算引入变量可以化成简单统一。利用极限思想，将函数表达式抽象化。 【教师活动】 我们用这个方法得到了高台跳水运动员在附近，平均速度逼近一个确定的常数。那其他时刻呢？比如等？利用excel表格直观展示数据，现场操作。 问题7：经过以上2个时刻的计算，大家有什么发现？ 【学生活动】 经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，平均速度逼近了瞬间速度。 【设计意图】 通过合作计算，让学生更深刻的感受到数值的逼近。 （三）模型建构 【教师活动】 问题8：如果将以上问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率该如何表示呢？ 【学生活动】 学生写出在处的瞬时变化率可表示 总结：我们就把这个瞬时变化率称为导数。（引导学生从特殊情况向一般问题进行研究） 导数的的定义： 函数在处的瞬时变化率称为在处的导数,记作：或，即 . 【设计意图】 由平均速度到瞬时速度，再由平均变化率到瞬时变化率，符合学生的认知过程。同时注重对抽象表达式的理解。 （四）模型解释（导数的几何意义） 【教师活动】 前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”途径来解读导数，即导数的几何意义。 解释几何构造：如图，当点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 利用多媒体进行动态操作，探索时的无限逼近值的几何意义。 问题9：几何直观上我们发现 过定点的割线在点处的切线 ， 请问用代数刻画？ 【学生活动】 切线的定义：设曲线C是函数的图像，在曲线C上取一点及临近一点 ，作割线PQ，当点Q沿着曲线无限逼近点P时，如果割线有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。 导数几何意义：函数y=f(x)在点处的导数就是函数在该点处切线的斜率。 【教师活动】 问题10：前面我们是怎样定义圆的切线的？ 【学生活动】 如果直线和圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线； 若有两个交点，则这条直线叫做圆的割线。 判断：是否为曲线在点处的切线? 是否为曲线在点处的切线? 【教师活动】 继续观察图像的运动过程，还有什么发现？ 【学生活动】 发现在点P处的切线PT比任何一条割线更贴近点P附近的曲线，在点P附近的曲线越来越接近直线. 因此在点附近，曲线可以用在点处的切线近似代替。我们把这种思想称为“以直代曲”的思想。在这里“以直代曲”的作用是：若要分析曲线在附近的变化情况，只有作出在处切线，分析该切线，得出，即知道，从而知道曲线在该点处升降变化情况. （五）巩固练习 【教师活动】 趁热打铁——应用所学知识解决生活中实际问题。让学生在原有的基础上对新知识进行的伸展，从而更加深入地理解新知识。在多媒体上展示相关例题，让学生独立思考完成，并请同学上黑板进行板演。 【设计意图】 通过简单易懂、贴近生活的问题，增强学生的兴趣，引导学生加强对生活的关注，加深学生对新知识的理解。知识拓展可以拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，培养学生发散思维的能力。 （六）扩展探究 【教师活动】 展示导数的概念及其几何意义的拓展问题： 【学生活动】 通过老师指导，学生探究发现规律，得出结论。 【设计意图】 让学生在学习的过程中更加深入的理解导数的概念及其几何意义，提高学生的学习效果。 （七）课堂小结 【教师活动】 本节课我们从不同的角度解读了导数，通过类比方法，学习了切线的定义和导数的几何意义，体会了逼近的思想和以直代曲的思想，同时，数形结合的思想贯穿始终。 【学生活动】 回顾知识的形成过程并总结归纳，再根据老师提问，学生畅谈本节课的收获。 【设计意图】 突出强调和梳理知识，使学生更加深刻的理解本节课的相关知识。并通过知识图谱的形式完成知识小结。直观清晰，有利于学生知识的构建，培养学生归纳概括能力。 （八）布置作业 1、基础作业 2、拓展作业 （九）板书设计 为了更加直观呈现教学内容。 十、教学创新点 1、从现实生活中发现数学问题，使学生从“问题解决”的角度，实现知识的再创造过程，培养学生逻辑推理、数学建模的能力。 2、充分运用现代化信息技术作为教学辅助手段，比起教师的满堂灌，学生普遍更加喜欢具有丰富活动的课堂，体现了教学的多元化。比如：几何画板、动画视频演示等。 4、将数学和物理知识联系起来，体现了学科之间的融合与渗透。 5、从不同的角度解读了导数，通过类比方法，学习了切线的定义和导数的几何意义，体会了逼近的思想和以直代曲的思想，同时，数形结合的思想贯穿始终。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$