27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 同步练习 2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第二学期

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 2．若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为(  ) A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 4．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是  (  ) A．== B． C． D． 5．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴= （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 6．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是( ) A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB C．EC＝FD D．∠DFB＝75° 7．如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 10．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径， （1）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， = ，∠AOC ∠BOD； （2）如果AB＝CD，那么 = ， ； （3）如果=，那么 ， ， ． 12．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ． 13．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 14．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为 ． 15．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度． 16．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ． 17．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是 . 18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝ ． 三、解答题 19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM． 20．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD． 求证：（1）AB＝CD； （2）AE＝CE． 21．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 22．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 23．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点． （1）求证：MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长． 24．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G． (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数． 25．如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 26．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点． (1)求证：； (2)若C、D是AB的三等分点，： ①求； ②请比较GE和BE的大小． 答案 一、单选题 1．B 【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件． 【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆； B中，等弧所对应的弦相等，故选B C中，圆心角相等所对应的弦可能互补； D中，弦相等，圆心角可能互补； 故选B 2．D 【分析】根据圆心角定理可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则△OCD为等边三角形，即CD等于半径. 【解析】 ∵C、D为半圆AB上三等分点, ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°， ∴△OCD为等边三角形， 则CD=OC=AB. 故选D. 3．D 【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案． 【解析】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意； B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意； C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意； D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断. 【解析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF， ∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, ∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF， ∴DF=DF=BF， 则==. 故选A. 5．C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【解析】（1）在⊙O中，∵，∴=，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵，∴∴；∴（3）正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：C 6．A 【解析】试题分析：利用点C，D是的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系. 解：∵点C，D是的三等分点， ∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°， ∴选项B正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°， ∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°， 故选项D正确. ∴∠AEO=∠BFO， 在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO， ∴△AOE≌△BOF， ∴OE=OF， ∴EC＝FD,故选项C正确. 在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°， ∴∠ACO=∠AEC， ∴AC=AE，同理BF=BD， 又∵AC=CD=BD， ∴CD=AE=BF， ∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD， ∴EF<CD, ∴CD=AE=BF>EF，故A错误. 故选A． 7．C 【分析】利用垂径定理，弦、弦心距的关系求得，，证明四边形是正方形，利用勾股定理即可求解． 【解析】解：∵，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， 连接，则． 故选：C． 8．B 【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数． 【解析】∵∠AOD＝100°， ∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°， ∵点C为弧BAD的中点 ∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140° ∵OC=OB ∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20° 故选B． 9．C 【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出，再求出，进而可求出∠BOC． 【解析】解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K， ∵DE＝FG＝MN， ∴OP＝OK＝OQ， ∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB， ，， ∵∠A＝50°， ∴， ∴ ， ∴∠BOC＝ 故选：C． 10．D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 二、填空题 11． AB=CD， ， ， = ， ， ∠AOB=∠COD， AB＝CD， ∠AOB＝∠COD， = 【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答． 【解析】（1）∵∠AOB=∠COD， ∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD； （2）∵AB=CD， ∴=，∠AOB=∠COD； （3）∵=， ∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=． 故答案为AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，= 12．60° 【分析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则的度数为60°. 【解析】∵为60°， ∴∠AOB=60°， ∴∠COD=60°， 则的度数为60°. 故答案为60°. 13．30 【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数． 【解析】解：∵弧与弧相等， ∴弧和弧相等， ∴； 故答案为：30． 14． 【分析】利用等腰三角形的性质先求解，，再利用三角形的内角和定理可得，，再求解，从而可得答案. 【解析】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为40． 15．60 【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答． 【解析】连接OC、OD， ∵， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OA=OC，OB=OD， ∴△AOC和△BOD都是等边三角形， ∴∠A=60°，∠B=60°， ∴∠P=60°， 故答案为60． 16．105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 17．相等 【分析】根据直角三角形的判定定理HL，可得出△COD≌△COE，则∠COD=∠COE，再根据在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等得出结论． 【解析】∵CD⊥OA、CE⊥OB， ∴∠CDO=∠CEO=90∘， ∵CD=CE，CO=CO， ∴△COD≌△C0E， ∴∠COD=∠COE， ∴=. 故答案为相等. 18． 【分析】过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长． 【解析】解：过点作于，过点作于，连接，如图， 设， ， ，， 点为弧的中点， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和△中 ， △， ，， ， ，解得， ． 故答案为4． 三、解答题 19．证明：连接BD． ∵AB＝CD ∴＝ ∴－＝－，即＝ ∴∠D＝∠B ∴BM＝DM 20．证明：（1）∵AD＝BC ∴＝ ∴－＝－ 即＝ ∴AB＝CD （2）连接AC ∵＝ ∴∠ACB＝∠DAC ∴AE＝CE 21．证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 22．（1）证明：连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBD． 在△OAC与△OBD中， ∵， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． ∴OC＝OD． （2）∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 23．证明：（1）∵AB＝CD， ∴， 又∵点M是弧AC的中点， ∴， ∴， 即：， ∴MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM， 在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2， ∴ME＝＝＝， ∴MD＝MB＝2ME＝2． 24．（1）解：如图，连接，   为圆心， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ； （2）∵劣弧所对圆心角的度数为， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 25．（1）解：如图：连接，延长交于点H． 是优弧的中点， ， ， ， 直线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ， . （2）解：由（1）知， ∴， ． 设，则， ， （舍去）， ． 26．（1）解：∵DEOC， ∴∠COD=∠ODE， ∵OC=OD，OF=DE， ∴△OCF≌△DOE(SAS)； （2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°， ∵△OCF≌△DOE， ∴∠OCF=∠DOE=30°， ∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°， ∴∠OGC=90°． ②∵， ∴， 又∵∠DOE=30°， ∴OF=2， ∵∠OCF=∠COF=30°， ∴CF=OF， ∵△OCF≌△DOE， ∴OE=CF=OF=2， ∴，， ∵， ∴BE＞GE． 学科网（北京）股份有限公司 $$