（单元讲义）第三单元 圆柱与圆锥（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（人教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第三单元 圆柱和圆锥 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】圆柱的认识 1、圆柱及其组成部分圆柱是生活中一种比较常见的立体图形,它是由3个面围成的。圆柱的，上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高。 2、圆柱的特征 圆柱的底面都是圆,并且大小一样,圆柱的侧面是曲面。圆柱有无数条高,并且 都相等。圆柱可由长方形(或正方形)旋转而成(面动成体)。 3、圆柱的展开图 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或宽)等于圆柱底面的周长，宽(或长)等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时,沿高剪开的侧面展开后是一个正方形。所以一般说圆柱的展开图就是上下两个圆加中间的侧面展开图(长方形或正方形)。 【知识点二】圆柱的表面积 1、圆柱的表面积的意义：圆柱的侧面的面积和两个底面的面积之和，叫作圆柱的表面积。 2、圆柱的表面积的计算方法：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积。 3、圆柱的侧面积=底面周长✖高。底面周长即是圆的周长。 4、在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如圆柱形水管。解题时要根据实际情况灵活运用公式。 【知识点三】圆柱的体积 1、把圆柱的底面平均分成若千个扇形,然后把圆柱切开，可以拼成一个近似的长方体(不可能为正方体),分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积,高等于圆柱的高。 2、圆柱的体积=底面积✖高，用字母表示是V=Sh。底面积即是底面圆的面积。 3、求圆柱形容器容积的计算方法与求圆柱体积的计算方法相同（求容器的溶剂要从容器的里面测量需要的数据）。在求圆柱体积时，当底面积没有之间给出时，先要根据圆的面积公式求出底面积，再求圆柱的体积。 4、求不规则物体的体积或容积时，先要根据体积不变的特征，吧不规则图形转化成规则图形，再进行计算。 【知识点四】圆锥的认识 1、生活中有很多物体的形状是圆锥型的，圆锥是一种立体图形。 2、圆锥由一个底面和一个侧面组成，底面是一个圆。圆锥只有一条高。 3、测量圆锥的高的时候要注意两平一竖，即底面放平，平板和底面一样平，直尺竖直量出平板和底面之间的距离。 【知识点五】圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式是圆锥的体积=底面积✖高✖，用字母表示是V圆锥=Sh。 2、已知圆锥的底面直径和高，可直接利用公式V=Π（）2求圆锥的体积。 【考点一】圆柱的认识 【典例一】一个圆柱体，它的侧面展开图是正方形，底面半径是2厘米，它的高是（    ）。 A．6.28厘米 B．9.42厘米 C．12.56厘米 D．15.7厘米 【典例二】下图这个圆柱的底面周长是( )分米，把这个圆柱的侧面沿高剪开，展开可以得到一个( )形。 【典例三】怎样选择下面的材料制作一个水桶，最多有几种方案？并说一说每一种方案的理由。 【考点二】圆柱的表面积 【典例一】下图是个茶杯，中间的装饰带是防烫伤的，它的面积是（    ）平方厘米。 A．15×6π B．5×（6÷2）2π C．5×6π D．（15－5）×6π 【典例二】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米。前轮转动一周，压路机前进( )米，压路的面积是( )平方米。 【典例三】母亲节时，小明送给妈妈一只茶杯（如图）。茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，做装饰带至少用料多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【考点三】圆柱的体积 【典例一】一根圆柱形输油管的内直径是2分米，油在管内的流速是5分米/秒，这根油管每秒可以流出（       ）升油。 A．6.28 B．15.7 C．31.4 【典例二】有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器里中（单位：cm），用“排水法”测量玻璃球体积。一个大玻璃球的体积是( )；一个小玻璃球和一个大玻璃球的体积比是( )。 【典例三】一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，恰好完全浸没在水中，水深2厘米（如下左图）。如果把这个容器如下右图放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。 （1）当把这个容器如下右图放置时，占地面积是多少？ （2）这个圆柱体铁块的体积是多少立方厘米？ 【考点四】圆锥的认识 【典例一】直角三角形ABC（如下图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的是（    ）。 A．底面半径是8cm，高是6cm的圆锥 B．底面半径是6cm，高是8cm的圆锥 C．底面直径是6cm，高是8cm的圆锥 【典例二】说出下面各圆锥的高。（单位：cm） 第一个高( )cm；第二个高( )cm；第三个高( )cm。 【典例三】将一个底面直径是、高是的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【考点五】圆锥的体积 【典例一】如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是（    ）。 A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．36dm3 【典例二】一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装有一定量的水，若向容器中放入一个底面半径为4.5cm的圆锥形铁块（完全浸没，无水溢出），这时水面上升了1.5cm，圆锥形铁块的高是( )cm。 【典例三】如图一个蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。 （1）这个蒙古包的占地面积是多少平方米？ （2）这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一个圆柱形杯子里面装了450mL饮料（如图）。 （1）如果把杯子装满，这个杯子可装（ ）mL饮料。 （2）如果把这些饮料倒入与这个杯子等底等高的圆锥形容器中，可以倒满（ ）个圆锥形容器。 2．（2分）下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立方厘米。 3．（2分）把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，高是6dm，削去部分的体积是18dm3，则原来圆柱的体积是（ ）dm3，底面积是（ ）dm2。 4．（2分）两个大小相同的量杯中，都盛有450mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是（ ）cm3，圆锥零件的体积是（ ）cm3。 5．（2分）圆柱的底面周长12.56厘米，它的高是6厘米，圆柱表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 6．（2分）妈妈给小红的毛绒玩具网购了一个圆柱形透明收纳桶（如图），这个收纳桶的侧面积是94.2dm2。这个收纳桶的底面积是（ ）dm2；收纳桶的空间约是（ ）dm3。 7．（2分）如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个（ ）体。得到的这个立体图形的高是（ ）cm，体积是（ ）cm3。 8．（2分）如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 9．（2分）以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是（ ），形成圆锥的是（ ）。 10．（2分）如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入（ ）毫升酒，可装满此容器？ 二、判断题（满分10分） 11．（2分）用一张长方形的硬纸板分别横着和竖着卷成两个圆柱，这两个圆柱的体积一样大。（ ） 12．（2分）圆柱的侧面展开图是一个正方形时，它的高与底面直径的比是1∶π。（ ） 13．（2分）一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，量得正方形的边长是18.84厘米，则这个圆柱的底面半径是3厘米。（ ） 14．（2分）圆锥的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的4倍，体积不变。（ ） 15．（2分）高相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍。（ ） 三、选择题（满分10分） 16．（2分）小明做了一个圆柱和几个圆锥，规格如下图，将圆柱内的水倒入（    ）号圆锥，正好倒满。 A． B． C． D． 17．（2分）把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积增加了80平方厘米。求这个圆柱体的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．800 C．1256 D．628 18．（2分）一个圆柱的侧面展开图近似是一个正方形，圆柱的高是5厘米，这个圆柱的侧面积约是（    ）平方厘米。 A．5 B．10 C．25 D．无法确定 19．（2分）如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是（    ）。 A．40×40×6 B． C．40×3.14×40 D． 20．（2分）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3 四、计算题（满分6分） 21．（6分）计算下面各图形的体积。（单位：cm） 五、作图题（满分6分） 22．（6分）在如图的方格图中，画出左边圆柱体侧面的展开图。 六、解答题（满分48分） 23．（6分）如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。整个大棚的空间是多少立方米？ 24．（6分）一个棱长是8厘米的正方体容器装有7.4厘米高的水，现在把一个底面周长是18.84厘米，高是6厘米的圆锥形铜块完全浸没在这个容器的水中，请问有水溢出吗？如果有，溢出多少毫升水？ 25．（6分）张伯伯家的小麦丰收了！堆成了一个圆锥形的小麦堆，底面周长是米，高米。如果每立方米小麦大约重千克，这堆小麦大约重多少吨？ 26．（6分）营养学家建议：儿童每天应摄入水量约1500毫升。明明如果每天用图中圆柱形的玻璃杯喝5杯水，能达到要求吗？ 27．（6分）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 28．（6分）小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 29．（6分）一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 30．（6分）下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略不计。 （1）几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） （2）通过上面的解答，你有什么发现？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第三单元 圆柱和圆锥 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】圆柱的认识 1、圆柱及其组成部分圆柱是生活中一种比较常见的立体图形,它是由3个面围成的。圆柱的，上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高。 2、圆柱的特征 圆柱的底面都是圆,并且大小一样,圆柱的侧面是曲面。圆柱有无数条高,并且 都相等。圆柱可由长方形(或正方形)旋转而成(面动成体)。 3、圆柱的展开图 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或宽)等于圆柱底面的周长，宽(或长)等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时,沿高剪开的侧面展开后是一个正方形。所以一般说圆柱的展开图就是上下两个圆加中间的侧面展开图(长方形或正方形)。 【知识点二】圆柱的表面积 1、圆柱的表面积的意义：圆柱的侧面的面积和两个底面的面积之和，叫作圆柱的表面积。 2、圆柱的表面积的计算方法：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积。 3、圆柱的侧面积=底面周长✖高。底面周长即是圆的周长。 4、在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如圆柱形水管。解题时要根据实际情况灵活运用公式。 【知识点三】圆柱的体积 1、把圆柱的底面平均分成若千个扇形,然后把圆柱切开，可以拼成一个近似的长方体(不可能为正方体),分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积,高等于圆柱的高。 2、圆柱的体积=底面积✖高，用字母表示是V=Sh。底面积即是底面圆的面积。 3、求圆柱形容器容积的计算方法与求圆柱体积的计算方法相同（求容器的溶剂要从容器的里面测量需要的数据）。在求圆柱体积时，当底面积没有之间给出时，先要根据圆的面积公式求出底面积，再求圆柱的体积。 4、求不规则物体的体积或容积时，先要根据体积不变的特征，吧不规则图形转化成规则图形，再进行计算。 【知识点四】圆锥的认识 1、生活中有很多物体的形状是圆锥型的，圆锥是一种立体图形。 2、圆锥由一个底面和一个侧面组成，底面是一个圆。圆锥只有一条高。 3、测量圆锥的高的时候要注意两平一竖，即底面放平，平板和底面一样平，直尺竖直量出平板和底面之间的距离。 【知识点五】圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式是圆锥的体积=底面积✖高✖，用字母表示是V圆锥=Sh。 2、已知圆锥的底面直径和高，可直接利用公式V=Π（）2求圆锥的体积。 【考点一】圆柱的认识 【典例一】一个圆柱体，它的侧面展开图是正方形，底面半径是2厘米，它的高是（    ）。 A．6.28厘米 B．9.42厘米 C．12.56厘米 D．15.7厘米 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，当圆柱的侧面展开图是正方形时，这个圆柱的底面周长和高相等。根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【解答】2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 故答案为：C 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。 【典例二】下图这个圆柱的底面周长是( )分米，把这个圆柱的侧面沿高剪开，展开可以得到一个( )形。 【分析】圆柱的底面是一个圆，圆的周长公式：C＝πd；圆柱的侧面展开会得到一个长方形，，据此进行解答。 【解答】（1）3.14×5＝15.7（分米） （1）把这个圆柱的侧面沿高剪开，展开可以得到一个长方形。 【点评】此题考查对圆柱底面和侧面的认识，要掌握圆的周长公式。 【典例三】怎样选择下面的材料制作一个水桶，最多有几种方案？并说一说每一种方案的理由。 【分析】如果做出来的水桶是圆柱，根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，再根据圆的周长公式：C＝，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后与长方形的长、宽比较即可。 如果做出来的水桶是长方体，根据长方体的特征，利用正方形的周长公式，分别计算右边两块正方形的周长，再与左边的大长方形的长或宽比较即可。 【解答】给题图按从左到右，从上到下的顺序分别标上序号①②③④⑤。 方案一选择①号材料和②号材料，制作成圆柱形水桶。 3.14×20＝62.8（厘米） 制作方法：用②号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的长作水桶的底面周长，用①号材料的宽作水桶的高。 方案二选择①号材料和③号材料，制作成圆柱形水桶。 3.14×10＝31.4（厘米） 制作方法：用③号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的宽作水桶的底面周长，用①号材料的长作水桶的高。 方案三选择①号材料和④号材料，制作成长方体形状的水桶。 15.7×4＝62.8（厘米） 制作方法：用④号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的长作水桶的底面周长，用①号材料的宽作水桶的高。 方案四选择①号材料和⑤号材料，制作成长方体形状的水桶。 7.85×4＝31.4（厘米） 制作方法：用⑤号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的宽作水桶的底面周长，用①号材料的长作水桶的高。 【点评】解答此题时经历了“问题想象选择计算问题解决”的过程，即“立体平面立体”的过程。 【考点二】圆柱的表面积 【典例一】下图是个茶杯，中间的装饰带是防烫伤的，它的面积是（    ）平方厘米。 A．15×6π B．5×（6÷2）2π C．5×6π D．（15－5）×6π 【分析】中间的装饰带相当于圆柱的一部分侧面积，可利用圆柱的侧面积公式：S＝，代入数据，即可求出它的面积。 【解答】3.14×6×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 3.14用π表示的话，上述式子可写成5×6×π。 故答案为：C 【点评】此题的解题关键是灵活运用圆柱的侧面积公式求解。 【典例二】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米。前轮转动一周，压路机前进( )米，压路的面积是( )平方米。 【分析】求压路机前轮转动一周所前进的米数，根据前轮的直径可以直接求出，所压的面是一个长方形的平面，它的长就是压路机前进的米数，宽2米（已知），根据长方形面积计算公式，即可求出所压的面积。 【解答】3.14×1.2＝3.768（米） 3.768×2＝7.536（平方米） 【点评】解答此题的关键是求前轮的周长和长方形的面积。 【典例三】母亲节时，小明送给妈妈一只茶杯（如图）。茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，做装饰带至少用料多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，宽是5厘米，长是圆柱底面周长。 【解答】3.14×6×5 ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 答：做装饰带至少用料94.2平方厘米。 【点评】本题主要考查了学生对圆柱表面积的展开图的理解，及他们想象能力。 【考点三】圆柱的体积 【典例一】一根圆柱形输油管的内直径是2分米，油在管内的流速是5分米/秒，这根油管每秒可以流出（       ）升油。 A．6.28 B．15.7 C．31.4 【分析】实际要求的是圆柱的体积，底面直径为2分米，高是5分米，利用圆柱的体积公式来计算。 【解答】3.14×（2÷2）²×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方分米） ＝15.7（升） 故答案为：B 【点评】本题考查圆柱体的体积公式。 【典例二】有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器里中（单位：cm），用“排水法”测量玻璃球体积。一个大玻璃球的体积是( )；一个小玻璃球和一个大玻璃球的体积比是( )。 【分析】通过观察图形可知，把一个大玻璃球放入容器中，上升部分水的体积就等于这个玻璃球的体积，4个小玻璃组的体积等于1个大玻璃球的体积，根据圆柱的体积计算公式： ，把数据代入公式即可分别求出一个大玻璃球和一个小玻璃球的体积，再用一个小玻璃球的体积比一个大玻璃球的体积即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×（6－4） ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（） 56.52÷4＝14.13（） 14.13∶56.52＝1∶4 所以，一个大玻璃球的体积是56.52；一个小玻璃球和一个大玻璃球的体积比是1∶4。 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，比的意义及化简，关键是熟记公式。 【典例三】一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，恰好完全浸没在水中，水深2厘米（如下左图）。如果把这个容器如下右图放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。 （1）当把这个容器如下右图放置时，占地面积是多少？ （2）这个圆柱体铁块的体积是多少立方厘米？ 【分析】（1）占地面积指的是底面积，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。 （2）圆柱露出水面的体积＝第一个图长×宽×水深－第二个图长×宽×水深，将圆柱体积看作单位“1”，露出水面的体积÷对应分率＝圆柱体积，据此列式解答。 【解答】（1）5×4＝20（平方厘米） 答：占地面积是20平方厘米。 （2）12×5×2－5×4×5.5 ＝120－110 ＝10（立方厘米） 10÷＝40（立方厘米） 答：这个圆柱体铁块的体积是40立方厘米。 【点评】关键是掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式，理解分数除法的意义。 【考点四】圆锥的认识 【典例一】直角三角形ABC（如下图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的是（    ）。 A．底面半径是8cm，高是6cm的圆锥 B．底面半径是6cm，高是8cm的圆锥 C．底面直径是6cm，高是8cm的圆锥 【分析】根据题意，以一个直角三角形的直角边AB为轴旋转360°后得到的是圆锥，那么这条直角边AB是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥的底面半径。 【解答】以直角边AB为轴旋转360°后得到的是底面半径是6cm，高是8cm的圆锥。 故答案为：B 【点评】掌握圆锥的特征以及应用是解题的关键。 【典例二】说出下面各圆锥的高。（单位：cm） 第一个高( )cm；第二个高( )cm；第三个高( )cm。 【分析】从圆锥的顶点到底面圆心之间的距离是圆锥的高，据此解答即可。 【解答】第一个高4cm； 第二个高10cm； 第三个高15cm 【点评】明确圆锥的高的含义是解答本题的关键。 【典例三】将一个底面直径是、高是的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着圆锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据三角形的面积＝底×高÷2可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【解答】26×6÷2×2 ＝78×2 ＝156（平方厘米） 答：表面积比原来增加了。 【点评】本题考查圆锥的认识和立体图形的切拼，理解把圆锥分成完全相同的两部分后，表面积增加了两个等腰三角形的面积是解题的关键。 【考点五】圆锥的体积 【典例一】如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是（    ）。 A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．36dm3 【分析】结合图示可知：两个圆锥形木块顶点相连，完全相同，故可先把这个圆柱一分为二，求出圆柱一半的体积，再根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的，再用圆柱一半的体积乘，可得每个圆锥的体积。 【解答】72×× ＝36× ＝12（dm3） 故答案为：A 【点评】需要明确等底等高的圆锥的体积与圆柱的体积的关系，也要充分结合图示，确定两个圆锥的高分别是圆柱的高的一半。 【典例二】一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装有一定量的水，若向容器中放入一个底面半径为4.5cm的圆锥形铁块（完全浸没，无水溢出），这时水面上升了1.5cm，圆锥形铁块的高是( )cm。 【分析】根据题意，放入圆锥形铁块后水面上升了1.5cm，那么水上升部分的体积等于圆锥形铁块的体积；水上升部分是一个底面半径为6cm，高为1.5cm的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也就是圆锥形铁块的体积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铁块的底面积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥形铁块的高。 【解答】水上升部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×62×1.5 ＝3.14×36×1.5 ＝113.04×1.5 ＝169.56（cm3） 圆锥的底面积： 3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（cm2） 圆锥的高： 169.56×3÷63.585 ＝508.68÷63.585 ＝8（cm） 【点评】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，明确放入物体的体积等于水上升部分的体积是解题的关键。 【典例三】如图一个蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。 （1）这个蒙古包的占地面积是多少平方米？ （2）这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 【分析】（1）这个蒙古包的占地面是一个圆形，根据圆的面积公式即可求出它的占地面积； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。 【解答】（1）3.14×（6÷2）2 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个蒙古包的占地面积是28.26平方米。 （2）28.26×2＋×28.26×（3－2） ＝56.52＋×28.26×1 ＝56.52＋9.42 ＝65.94（立方米） 答：这个蒙古包所占的空间是65.94立方米。 【点评】本题考查了圆柱和圆锥的体积。圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一个圆柱形杯子里面装了450mL饮料（如图）。 （1）如果把杯子装满，这个杯子可装（ ）mL饮料。 （2）如果把这些饮料倒入与这个杯子等底等高的圆锥形容器中，可以倒满（ ）个圆锥形容器。 【正确答案】（1）675 （2）2 【解题思路】（1）将这个杯子的容积看作单位“1”，单位“1”未知，将450mL除以对应的分率，求出杯子的容积； （2）等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么如果把一满杯饮料倒入与这个杯子等底等高的圆锥形容器中，可以倒满3个圆锥形容器。但是实际饮料是总的，那么将3乘，求出可以倒满几个圆锥形容器。 【详细解答】（1）450÷＝450×＝675（mL） 所以，如果把杯子装满，这个杯子可装675mL饮料。 （2）3×＝2（个） 所以，如果把这些饮料倒入与这个杯子等底等高的圆锥形容器中，可以倒满2个圆锥形容器。 2．（2分）下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立方厘米。 【正确答案】160.14 【解题思路】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可求得圆锥的体积； 根据圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱的体积，再求和就是组合图形的体积。 【详细解答】组合图形的体积： （立方厘米） 所以这个组合图形的体积是160.14立方厘米。 【考点点评】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。 3．（2分）把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，高是6dm，削去部分的体积是18dm3，则原来圆柱的体积是（ ）dm3，底面积是（ ）dm2。 【正确答案】27 4.5// 【解题思路】从题意可知，这个最大的圆锥和圆柱等底等高，以圆柱的体积为单位“1”，这个圆锥的体积是圆柱的体积的，削去部分的体积占圆柱体积的（1－）；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。用18÷（1－）即可求出圆柱的体积。再根据圆柱的体积÷高＝底面积，代入数据，即可求出圆柱的底面积。据此解答。 【详细解答】18÷（1－） ＝18÷ ＝18× ＝27（dm3） 27÷6＝4.5（dm2） 原来圆柱的体积是27dm3，底面积是4.5dm2。 4．（2分）两个大小相同的量杯中，都盛有450mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是（ ）cm3，圆锥零件的体积是（ ）cm3。 【正确答案】150 50 【解题思路】水面上升的体积就是放入水中零件的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍，通过甲量杯求出圆柱形零件的体积，再用圆柱形零件的体积除以3，就是圆锥形零件的体积。 【详细解答】600－450＝150（mL） 150mL＝150cm3 150÷3＝50（cm3） 圆柱形零件的体积是150cm3，圆锥形零件的体积是50cm3。 5．（2分）圆柱的底面周长12.56厘米，它的高是6厘米，圆柱表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【正确答案】100.48 75.36 【解题思路】根据圆的半径r＝C÷π÷2，求出圆柱底面的半径，再根据圆柱的表面积S＝2πr2＋Ch，圆柱的体积V＝Sh，据此求出圆柱的表面积和体积。 【详细解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22×2＋12.56×6 ＝3.14×4×2＋75.36 ＝12.56×2＋75.36 ＝25.12＋75.36 ＝100.48（平方厘米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 圆柱表面积是100.48平方厘米，体积是75.36立方厘米。 6．（2分）妈妈给小红的毛绒玩具网购了一个圆柱形透明收纳桶（如图），这个收纳桶的侧面积是94.2dm2。这个收纳桶的底面积是（ ）dm2；收纳桶的空间约是（ ）dm3。 【正确答案】28.26 141.3 【解题思路】侧面积÷高＝底面周长，底面周长÷π÷2＝底面半径，π×底面半径的平方＝底面积，底面积×高＝体积，据此代入数据解答即可。 【详细解答】94.2÷5＝18.84（dm） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（dm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 28.26×5＝141.3（dm3） 所以这个收纳桶的底面积是28.26，收纳桶的空间约是141.3。 7．（2分）如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个（ ）体。得到的这个立体图形的高是（ ）cm，体积是（ ）cm3。 【正确答案】圆柱 5 392.5// 【解题思路】正方形以一边为轴旋转一周得到一个圆柱体，它的高是5cm，底面半径是5cm。根据V＝πr2h，求出圆柱的体积即可解答。 【详细解答】旋转后得到一个圆柱，高是正方形边长5cm。 3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（cm3） 故旋转一周得到一个圆柱，得到的这个圆柱的高是5cm，体积是392.5cm3。 8．（2分）如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【正确答案】300 【解题思路】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了2厘米，上升的这部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面，长30厘米，宽20厘米，高2厘米，根据长方体体积公式V＝abh（其中V为长方体体积，a为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积之和就是1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之和除以4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。 【详细解答】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方厘米） 1200÷（1＋3） ＝1200÷4 ＝300（立方厘米） 所以圆锥的体积是300立方厘米。 9．（2分）以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是（ ），形成圆锥的是（ ）。 【正确答案】① ③ 【解题思路】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；据此判断。 【详细解答】以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 因此以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 10．（2分）如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入（ ）毫升酒，可装满此容器？ 【正确答案】70 【解题思路】根据圆锥的体积公式：v＝sh，所以当高为原来的一半时，其底面圆的半径将为原来的一半，根据圆的面积公式则其底面积将为原来的四分之一，所以其体积将为原来的八分之一。因此，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出容器的容积，再减去已有酒的体积，就得到还要添入酒的体积。 【详细解答】据分析可知，10毫升占容器容积的； （毫升） 将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。再添入70毫升酒，可装满此容器。 【考点点评】本题的关键是要找出容器容积与已有酒的体积的关系，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答即可。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）用一张长方形的硬纸板分别横着和竖着卷成两个圆柱，这两个圆柱的体积一样大。（ ） 【正确答案】× 【解题思路】横着和竖着卷得到的圆柱体的底和高各不相 同，则半径的平方与高的积也就不相同，所以体积不一定相同，据此判断。 【详细解答】由于长和宽不相同，根据圆柱体积＝底面积×高, 则长和宽为轴得到的圆柱体底面半径和高各不相同， 所以体积不一定相等。 原题说法错误。 故答案为: × 12．（2分）圆柱的侧面展开图是一个正方形时，它的高与底面直径的比是1∶π。（ ） 【正确答案】× 【解题思路】圆柱的侧面展开图的长等于圆柱的底面周长，一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明该圆柱的底面周长等于圆柱的高，根据圆的周长＝πd，即可计算出这个圆柱的高与底面直径的比。 【详细解答】设这个圆柱的底面直径为d，圆柱的高为h。 则圆柱的底面周长为πd， 因为这个圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以这个圆柱的底面周长＝圆柱的高，即πd＝h， h∶d ＝πd∶d ＝π∶1 所以它的高与底面直径的比是π∶1，原题说法错误。 故答案为：× 13．（2分）一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，量得正方形的边长是18.84厘米，则这个圆柱的底面半径是3厘米。（ ） 【正确答案】√ 【解题思路】圆柱的侧面展开图是一个正方形时，正方形的边长等于圆柱底面的周长。圆的周长＝2×π×半径， 通过公式，可以推导出计算半径的方法，据此解答。 【详细解答】正方形边长为18.84厘米，即圆柱底面周长为18.84厘米。 18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（厘米） 则这个圆柱的底面半径是3厘米。 故答案为：√ 14．（2分）圆锥的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的4倍，体积不变。（ ） 【正确答案】√ 【解题思路】假设圆锥底面半径2厘米，高6厘米，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出变化前后的体积，比较即可。 【详细解答】假设圆锥底面半径2厘米，高6厘米。 变化前体积：3.14×22×6÷3 ＝3.14×4×6÷3 ＝25.12（立方厘米） 变化后体积：3.14×（2÷2）2×（6×4）÷3 ＝3.14×12×24÷3 ＝3.14×1×24÷3 ＝25.12（立方厘米） 变化前的体积＝变化后的体积，体积不变，说法正确。 故答案为：√ 15．（2分）高相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍。（ ） 【正确答案】× 【解题思路】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，根据圆柱和圆锥的体积公式可知：圆锥和圆柱底面积和高都相等时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，只有高相等时，底面积无法确定，所以也就无法确定体积的大小关系，据此解答。 【详细解答】底面积和高都相等时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。原题表述错误。 故答案为：× 三、选择题（满分10分） 16．（2分）小明做了一个圆柱和几个圆锥，规格如下图，将圆柱内的水倒入（    ）号圆锥，正好倒满。 A． B． C． D． 【正确答案】A 【解题思路】根据题意，计算出圆锥和圆柱内的水体积然后进行比对，逐项计算圆锥的体积，数据相等则为正好倒满，圆锥的体积＝×圆锥底面积×高，圆柱体积＝圆柱底面积×高，将数据代入公式计算，据此解答。 【详细解答】圆柱内的水＝3.14×52×6 ＝78.5×6 ＝471 A．×3.14×52×18 ＝×3.14×25×18 ＝×78.5×18 ＝471 B．×3.14×62×18 ＝×3.14×36×18 ＝×113.04×18 ＝×2034.72 ＝678.24 C．×3.14×52×15 ＝×3.14×25×15 ＝×78.5×15 ＝×1177.5 ＝392.5 D．×3.14×62×15 ＝×3.14×36×15 ＝×113.04×15 ＝×1695.6 ＝565.2 故答案为：A 17．（2分）把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积增加了80平方厘米。求这个圆柱体的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．800 C．1256 D．628 【正确答案】A 【解题思路】沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积会增加两个相同的长方形的面积，长方形的长等于圆柱的底面直径，长方形的宽等于圆柱的高，用增加的表面积除以2求出一个长方形的面积，再用长方形的面积除以底面直径，求出圆柱的高，再根据圆柱的体积＝底面积×高解答。 【详细解答】80÷2＝40（平方厘米） 40÷10＝4（厘米） 3.14××4 ＝3.14××4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 所以这个圆柱体的体积是314立方厘米。 故答案为：A 18．（2分）一个圆柱的侧面展开图近似是一个正方形，圆柱的高是5厘米，这个圆柱的侧面积约是（    ）平方厘米。 A．5 B．10 C．25 D．无法确定 【正确答案】C 【解题思路】据题意可知，圆柱的侧面展开是近似正方形，圆柱的高就是这个正方形的边长，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可得解。 【详细解答】（平方厘米） 这个圆柱的侧面积约是25平方厘米。 故答案为：C 19．（2分）如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是（    ）。 A．40×40×6 B． C．40×3.14×40 D． 【正确答案】C 【解题思路】圆柱的直径等于正方体棱长，即直径是40厘米；圆柱的高是正方体的棱长，即40厘米；圆柱的底面周长＝πd，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据即可。 【详细解答】由分析可知，圆柱的侧面积的计算方法为： 底面周长×高 ＝πdh ＝3.14×40×40 故答案为：C 20．（2分）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3 【正确答案】B 【解题思路】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆锥体积看作1，则圆柱体积是3，削去部分的体积是（3－1），两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出削去部分与圆柱体积的比即可。 【详细解答】（3－1）∶3＝2∶3 削去部分与圆柱体积的比是2∶3。 故答案为：B 四、计算题（满分6分） 21．（6分）计算下面各图形的体积。（单位：cm） 【正确答案】314cm3；113.04cm3 【解题思路】（1）图形是一个底面直径为10cm、高为12cm的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 （2）图形是一个底面直径为6cm、高为8cm的半圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积，再除以2即可。 【详细解答】（1）×3.14×（10÷2）2×12 ＝×3.14×52×12 ＝×3.14×25×12 ＝314（cm3） 圆锥的体积是314cm3。 （2）3.14×（6÷2）2×8÷2 ＝3.14×32×8÷2 ＝3.14×9×8÷2 ＝113.04（cm3） 圆柱的体积是113.04cm3。 五、作图题（满分6分） 22．（6分）在如图的方格图中，画出左边圆柱体侧面的展开图。 【正确答案】见详解 【解题思路】圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。据此作图。 【详细解答】圆柱底面周长：3.14×2＝6.28（cm） 圆柱的高是2cm。 如下图所示： 六、解答题（满分48分） 23．（6分）如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。整个大棚的空间是多少立方米？ 【正确答案】565.2立方米 【解题思路】由题意可知：整个大棚的空间等于底面直径是6米，高是40米的圆柱体积的一半，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h，求出体积再除以2即可得解。 【详细解答】3.14×（6÷2）2×40÷2 ＝3.14×32×40÷2 ＝3.14×9×40÷2 ＝28.26×40÷2 ＝1130.4÷2 ＝565.2（立方米） 答：整个大棚的空间是565.2立方米。 24．（6分）一个棱长是8厘米的正方体容器装有7.4厘米高的水，现在把一个底面周长是18.84厘米，高是6厘米的圆锥形铜块完全浸没在这个容器的水中，请问有水溢出吗？如果有，溢出多少毫升水？ 【正确答案】有，18.12毫升 【解题思路】已知一个棱长是8厘米的正方体容器装有7.4厘米高的水，则容器内无水部分的高度是（8－7.4）厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出容器内无水部分的体积； 现在把一个底面周长是18.84厘米、高是6厘米的圆锥形铜块浸没在水中，先根据圆锥的底面周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铜块的体积； 把铜块的体积与容器内无水部分的体积进行比较，如果铜块的体积小于或等于无水部分的体积，则水不会溢出；反之，如果铜块的体积大于无水部分的体积，则水会溢出，再用减法求出溢出水的体积。 【详细解答】容器内无水部分的体积： 8×8×（8－7.4） ＝8×8×0.6 ＝38.4（立方厘米） 圆锥的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆锥的体积： ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52＞38.4，有水溢出； 56.2－38.4＝18.12（立方厘米） 18.12立方厘米＝18.12毫升 答：有水溢出，溢出18.12毫升水。 25．（6分）张伯伯家的小麦丰收了！堆成了一个圆锥形的小麦堆，底面周长是米，高米。如果每立方米小麦大约重千克，这堆小麦大约重多少吨？ 【正确答案】吨 【解题思路】要求这堆小麦的重量，先求得麦堆的体积，麦堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求麦堆的重量。圆锥的体积＝底面积×高× 。应用此公式计算时，注意圆锥的底面是一个圆形，要应用圆的面积公式计算。 【详细解答】（米） 答：这堆小麦大约重4.71吨。 26．（6分）营养学家建议：儿童每天应摄入水量约1500毫升。明明如果每天用图中圆柱形的玻璃杯喝5杯水，能达到要求吗？ 【正确答案】能 【解题思路】根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据，计算出1杯水的体积，再乘5，即5杯水的体积，再与每天应摄入水量比较即可判断。 【详细解答】3.14×（6÷2）2×11×5 ＝3.14×32×11×5 ＝3.14×9×11×5 ＝1554.3（立方厘米） ＝1554.3（毫升） 1554.3毫升＞1500毫升 答：能达到要求。 27．（6分）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【正确答案】18.84平方厘米 【解题思路】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【详细解答】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 28．（6分）小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 【正确答案】2.5分钟 【解题思路】已知鱼缸内两块石头的高度分别为10厘米和6厘米，向鱼缸内注水，要将两块石头完全淹没，那么水的高度是10厘米；根据长方体的体积公式V＝abh，求出水和两块石头的总体积； 再用总体积减去两块石头的体积，即是注水的体积；其中圆柱形石头的体积根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解； 最后用注水的体积除以水每分钟的流量，即可求出注水的时间。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详细解答】将两块石头完全淹没时，水和两块石头的总体积： 65×25×10 ＝1625×10 ＝16250（立方厘米） 圆柱形石头的体积： 3×（16÷2）2×6 ＝3×82×6 ＝3×64×6 ＝1152（立方厘米） 注水的体积： 16250－（3848＋1152） ＝16250－5000 ＝11250（立方厘米） 11250立方厘米＝11.25立方分米 注水的时间：11.25÷4.5＝2.5（分钟） 答：至少需要2.5分钟能将两块石头完全淹没。 29．（6分）一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 【正确答案】150.72立方厘米 【解题思路】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详细解答】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【考点点评】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 30．（6分）下面3张纸的面积都是36平方分米，将这些纸分别按下图所示的方式卷成圆柱，接口处忽略不计。 （1）几号纸卷成的圆柱体积最大？（请写出主要解答过程） （2）通过上面的解答，你有什么发现？ 【正确答案】（1）①号体积最大 （2）长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【解题思路】（1）根据圆柱的底面周长公式：，分别求出3个图形的底面半径，再根据圆柱的体积公式：，分别求出3个图形的体积，即可比较大小。 （2）根据解答，结合公式可知，长方形的长就是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 【详细解答】（1）①号的底面半径：18÷2÷＝9÷（分米） ①号的体积： ＝ ＝ ＝（立方分米） ②号的底面半径：12÷2÷＝6÷（分米） ②号的体积： ＝ ＝ ＝（立方分米） ③号的底面半径：9÷2÷＝÷（分米） ③号的体积： ＝ ＝ ＝ ＝（立方分米） ＞＞ 答：①号纸卷成的体积最大。 （2）通过上面解答发现，长方形的长是圆柱的周长，周长越大，半径越大，底面积就大，圆柱的体积就大。 学科网（北京）股份有限公司 $$