1 第2课时 垂线-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学习题课件(北师大版2024)

第二章 相交线与平行线 1 　两条直线的位置关系 第2课时 　垂　线 1 目 录 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 2 1. 过点P画l的垂线，下列选项中三角尺放法正确的是 （　　） 础 基 练 知识点1 垂线及其性质 B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 3 2. （易错题）在平面内作直线l的垂线，能作出 （　　） A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条 D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 3. （河南郑州郑东新区期末）如图，线段 AB 和 CD相交于点 O，下列条件中能说明 AB⊥CD 的是 （ ） A. AO=OB B. CO=OD C. ∠AOC=∠BOD D. ∠AOC=∠BOC D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 4. 如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时∠ABE=∠FBG，当太阳光线 AB 与地面 CD 所成夹角∠ABC=52°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=________°。 71 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 B O P A 5. 如图，点P在射线OA上。 （1）过点P作射线OA的垂线l； （2）过点P作射线OB的垂线段PD。 D l 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 6. 【新情境 科技进步】数学源于生活，寓于生活，用于生活。下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是 （ ） A. 弯曲河道改直 B. 沿线段MN铺设管道最省力 C. 木板上弹墨线 　　 D. 两钉子固定木条 知识点2 垂线段及其性质 B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 7. 如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC=8，BC=6，CD=4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE的长为整数值的线段有 （ ） A. 3条 B. 8条 C. 7条 D. 5条 C 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 8. （教材P37尝试·交流改编）如图，连接直线l外一点P与直线 l 上各点 O，A1，A2，A3，…，其中 PO⊥l，这些线段 PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是________，理由是___________。 PO 垂线段最短 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 9. （教材P39随堂练习T3改编）如图，是某校七年级一班王明同学在跳远选拔比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得 PA=5.55 m，PB=5.42 m，MA=5.63 m，那么他的跳远成绩应该为________m。 知识点3 点到直线的距离 5.42 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 10. 如图，∠AOB=180°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则与OD垂直的射线是 　　 （　　） A. OA B. OC C. OE D. OB 【解析】因为OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，所以∠DOC=∠AOC，∠COE=∠BOC，所以∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×180°=90°，所以OE⊥OD。故选C。 C 升 提 练 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 12 11. 如图，点C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是 （　　） A. 3，4 B. 4，7 C. 4，4 D. 4，5 B 【解析】因为CD⊥AB，所以∠ACD=∠BCD=90°， 所以∠ACE+∠DCE=90°，∠BCF+∠DCF=90°。 因为EC⊥CF，所以∠ECF=90°， 所以∠DCE+∠DCF=90°， 所以∠ACE=∠DCF，∠BCF=∠DCE。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 所以∠BCF+∠ACE=90°， 则图中互余的角的对数为4。 因为∠ACD=∠BCD=∠ECF=90°， 所以∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ECF=∠BCD+∠ECF=180°。 因为点C是直线AB上一点，所以∠ACB=180°， 所以∠ACE+∠BCE=180°，∠ACF+∠BCF=180°。 又因为∠ACE=∠DCF，∠BCF=∠DCE， 所以∠DCF+∠BCE=180°，∠ACF+∠DCE=180°， 则图中互补的角的对数为7。故选B。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 12. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，点P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 （ ） A. 4.4 B. 5 C. 4.8 D. 4 【解析】过点C作CD⊥AB于点D，如图所示。 因为∠ACB=90°，所以S△ABC=AC×BC=AB×CD， 所以CD====4.8。 因为垂线段最短，所以当点P与点D重合时，PC最小， 即PC最小值为4.8。故选C。 C D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 13. 如图，射线OC的端点O在直线AB上，OE⊥OC于点 O，且 OE 平分∠BOD，OF 平分∠AOE。若∠BOC=70°，则∠DOF=____。 【解析】因为OE⊥OC，所以∠COE=90°。 因为∠BOC=70°，所以∠BOE=∠COE−∠BOC=20°， 所以∠AOE=180°−∠BOE=160°。 因为OF平分∠AOE，所以∠EOF=∠AOE=80°。 因为OE平分∠BOD，所以∠DOE=∠BOE=20°， 所以∠DOF=∠EOF−∠DOE=60°。 60° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 14. 已知∠A=40°，若∠B的两边与∠A的两边分别互相垂直，则∠B=___________。 140°或40° 【解析】如图1，连接AB，因为BC⊥AC，BD⊥AD， 所以∠C=∠D=90°。 由三角形的内角和，得（∠C+∠CAB+∠CBA）+（∠D+∠DAB+∠DBA）=180°+180°=360°， 所以∠CBD=∠CBA+∠DBA=360°-（∠C+∠D+∠CAB+∠DAB）=140°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 【解析】如图2，因为BE⊥AC，BF⊥AD， 所以∠DAC+∠EAD=∠EAD+∠FBE=90°， 所以∠EBF=∠DAC=40°。 所以∠B为140°或40°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 15. 已知OA⊥OB，OC⊥OD. （1）如图1，若∠BOC=50°，求∠AOD的度数； （2）如图2，若∠BOC=60°，求∠AOD的度数； （3）根据（1）（2）的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的数量关系?并根据图1说明理由； （4）如图2，若∠BOC∶∠AOD=7∶29， 求∠BOC和∠AOD的度数. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 解：（1）由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB=∠COD=90°。 因为∠BOC=50°，所以∠AOC=∠AOB−∠BOC=40°， 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=130°。 （2）由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB=∠COD=90°。 因 为 ∠BOC=60° ，所 以 ∠AOD=360° − ∠AOB − ∠BOC −∠COD=120°。 （3）∠AOD+∠BOC=180°。理由如下： ∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 （4）∠AOD+∠BOC=360°−∠AOB−∠COD=180°。 因为∠BOC∶∠AOD=7∶29， 所以∠BOC=180°×=35°，∠AOD=180°×=145°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 16.【新趋势 探究性问题】如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t s（0≤t≤60）。 （1）当t=3时，求∠AOB的度数； （2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值； （3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由。 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 22 解：（1）当 t=3 时，∠AOM=4°×3=12°，∠BON=6°×3=18°， 则∠AOB=180°-∠AOM-∠BON=150°。 （2）依题意，得4t+6t=180+80，解得 t=26， 所以当∠AOB第二次达到80°时，t的值为26。 （3）存在。当0≤t≤18时，180-4t-6t=90，解得t=9； 当 18≤t≤60 时，4t +6t=180+90 或 4t +6t=180+270，解得t=27或t=45。 综上所述，在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9或27或45。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$