第2章 四边形 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

四边形单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2．下列说法错误的是（　　） A．有一个角为直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理判断即可． 【详解】 解：A、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故本选项说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说法正确，不符合题意； C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说法正确，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形． 3．多边形每一个内角都等于，则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形内角和定理列出方程求出n的值，再根据多边形从一个顶点出发的对角线共有条进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形为十二边形 ∴此多边形从一个顶点出发的对角线共有条， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，正确列出方程求出多边形的边数是解题的关键． 4．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A．24 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC⊥BD， OA=AC=3， OB=BD=2， AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长为4． 故选C． 5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x． 【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB = CD， ∴AE = DC， 而∠AFE =∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF = DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD = BC = 6，CD = AB = 4， ∵△AEF≌△CDF， ∴FC = FA， 设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2， 即x2=42+（6﹣x）2，解得x =， 则FD = 6﹣x =． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 6．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　) A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据菱形周长求出边长，根据勾股定理求出AO2+BO2=5，利用公式变形得出（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可． 【详解】解：如图 四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，菱形的周长为， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，完全平方公式变形应用；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直． 7．如图，四边形中，R、P分别是上的点，E、F分别是的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【分析】如图，连接 先证明的长度是定值，再证明 可得的长度是定值，从而可得答案. 【详解】解：如图，连接 四边形中，R、P分别是上的点，当点P在上从C向D移动而点R不动， 的长度是定值， E、F分别是的中点， 的长度是定值. 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键. 8．如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可： 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC． ∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB=4． ∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16． 故选C． 9．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长． 【详解】解：如上图所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC， ∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查三角形中位线定理．解题关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 10．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　）    A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据点B与D关于AC对称，连接BE，设BE与AC交于点P′，即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．再利用勾股定理即可得出结果． 【详解】如图，连接BE，设BE与AC交于点P′， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于AC对称， ∴P′D=P′B， ∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度． ∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3， ∴BE==． 故选A．    【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题，找出P点位置是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求得结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等． 12．如图，在的正方形网格中，与线段，能组成一个中心对称图形的是 ．    【答案】 【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，能与原图形重合，就说明这个图形是关于某个点成中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：如图所示：   ，   只有线段与线段，能组成一个中心对称图形，线段，，绕点旋转后能与原图形重合． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，能与原图形重合，就说明这个图形是关于某个点成中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 13．已知矩形两条对角线所成的一个角为，矩形的短边长，则长边长 ，对角线长 ． 【答案】 【分析】根据题意画出矩形，其中，则有，根据矩形的性质易得，从而可以判断出为等边三角形；根据等边三角形的性质易得，则有，即对角线的长，在中，利用勾股定理便可求出的长，即长边的长． 【详解】解：如图：    ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形两条对角线所成的一个角为 ∴，， ∴为等边三角形 ∴， ∴， 在中，， 即长边长为，对角线长为． 故答案为：；． 【点睛】熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理是解决本题的关键． 14．如图，顺次连接四边形四边的中点，则四边形的形状一定是 ． 【答案】平行四边形 【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，由三角形中位线的性质可得一组对边平行且相等，再根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】如图，连接， ∵分别是四边形边的中点， ∴, ∴且 ∴四边形是平行四边形, 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．如图，在四边形ABCD中，∠A=450，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N．则∠1 ＋∠2 = 　． 【答案】225° 【详解】如图，∵∠A=45°，∠A＋∠ANM＋∠AMN=180° ∴∠ANM＋∠AMN=180°－∠A=135° 又∵∠1＋∠2＋∠ANM＋∠AMN=360° ∴∠1＋∠2=360°－135°=225° 16．如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°， ∵∠ACG=∠AGC， ∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°， ∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°， ∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°， 在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2， 由勾股定理，AB=． 【点睛】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形；4.直角三角形斜边上的中线；5.勾股定理． 17．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，EF=，则AB的长是 ． 【答案】1 【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD. ∵， ∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AB=DE=CD，即D为CE中点. ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°. ∵， ∴∠DCF=∠ABC=60°. ∴∠CEF=30°. ∵EF=， ∴CE=2 ∴AB=1 故答案为：1 18．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6的周长． 【详解】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的； 顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的； 顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的； 顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的； … 故第n个正方形周长是原来的， 以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴周长为4， ∴第六个正方形A6B6C6D6周长是． 故答案为． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？ 【答案】 【分析】设四边形的四个外角的度数分别为，再根据多边形外角和为建立方程求出四个外角的度数，进而求出四个内角的度数． 【详解】解：设四边形的四个外角的度数分别为． 由题意得，， 解得． ∴四个外角分别为． ∴这个四边形各内角的度数分别为． 【点睛】本题主要考查了四边形外角和，熟知四边形外角和为是解题的关键． 20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 【答案】证明见解析 【分析】首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD=BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴ADCF， ∴∠1=∠2． ∵点E是AB边的中点， ∴AE=BE． 在△ADE与△BFE中， ∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴AD=BF， ∴BC=BF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角． 21．（8分）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：□ABCD是矩形； （2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）AB＝AD（答案不唯一）．理由见解析． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论； （2）根据正方形的判定方法添加即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：AB＝AD（答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定证得AC＝BD是解题的关键． 22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）四边形BCFD是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=60°，即可得出∠ABC=60°，进而求出△AEF≌△BEC（ASA）； （2）利用平行线的判定方法以及直角三角形的性质得出，进而求出答案． 【详解】证明：（1）∵E是AB中点， ∴AE=BE， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， 在△AEF和△BEC中 ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）； （2）∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠DAB=60°，∠CAB=30°， ∴∠DAC=90°， ∴， ∵E是AB的中点，∠ACB=90°， ∴EC=AE=BE， ∴∠ECA=30°，∠FEA=60°， ∴∠EFA=∠BDA=60°， ∴， ∴四边形BCFD是平行四边形．    【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定方法，得出∠ABC=60°是解题关键． 23．（9分）已知：如图，四边形是正方形，、是延长线上的点，且，，求证：．    【答案】见详解 【分析】由题意知，是等腰三角形，所以，再根据正方形的角的特点以及平行线内错角相等定理，求得；然后由正方形四条边相等、对边平行、、等条件求得中的边与边关系，从而解得的角与角关系，最后由等角对等边定理，求得结论． 【详解】证明：∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查的是正方形的性质，在正方形中，四条边相等，对边平行，四个角都是直角，所以在解题过程中要充分利用它的性质． 24．（9分）如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）必过中点这个点，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）直线EG经过正方形ABCD的中心， 连接BD交EG于点O，易证△EOB≌△GOD．可得BO=DO即点O为BD的中点．所以直线EG经过正方形ABCD的中心． 试题解析： （）∵四边形是正方形． ∴，． ∵． ∴． ∴≌≌≌． ∴，． ∴四边形是菱形． ∵，． ∴． ∴． ∵四边形是菱形，． ∴四边形是正方形． （）直线经过正方形的中心，理由如下： 连接交于点． ∵四边形是正方形． ∴． ∴． ∵，，． ∴≌． ∴，即点为的中点． ∴直线经过正方形的中心． 25．（10分）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明见解析 (3)图见解析，的度数为或 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 26.（10分）【问题背景】 小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题： 证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． （1）请完成证明中的两个填空、处的内容； 参考小明同学思考的方法，继续解决问题： （2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）【联系拓展】如图3，的三条中线分别为，，．若的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）． 【答案】（1），；（2）10；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）作，，两线交于F，连接，证是直角三角形，得，再证是等边三角形，得，根据四边形是平行四边形可得答案； （3）连接，，过作交直线于点，连接，，交于点，由的三条中线分别为，，，得到和都是的中位线，再证明四边形、、是平行四边形，得到，，再根据三角形中线有关的面积规律求出以，，的长度为三边长的三角形的面积等于． 【详解】（1）证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． 故答案为：，； （2）解：过A作，过D作，两直线交于F，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：连接，，过作交直线于点，连接，，交于点， ∵的三条中线分别为，，， ∴和都是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴以，，的长度为三边长的三角形的面积等于． 【点睛】本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形中位线的性质，与三角形中线有关的面积问题等知识点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四边形单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A．  B．  C．   D．   2．下列说法错误的是（　　） A．有一个角为直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 3．多边形每一个内角都等于，则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A．24 B．16 C． D． 5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（    ） A． B． C． D． 6．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　) A．2 B． C．3 D．4 7．如图，四边形中，R、P分别是上的点，E、F分别是的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 8．如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 9．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　）    A． B． C．9 D． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为 ． 12．如图，在的正方形网格中，与线段，能组成一个中心对称图形的是 ．    13．已知矩形两条对角线所成的一个角为，矩形的短边长，则长边长 ，对角线长 ． 14．如图，顺次连接四边形四边的中点，则四边形的形状一定是 ． 15．如图，在四边形ABCD中，∠A=450，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N．则∠1 ＋∠2 = 　． 16．如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ． 17．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，EF=，则AB的长是 ． 18．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 ． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？ 20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 21．（8分）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：□ABCD是矩形； （2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由． 22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）四边形BCFD是平行四边形．    23．（9分）已知：如图，四边形是正方形，、是延长线上的点，且，，求证：．    24．（9分）如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由． 25．（10分）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 26.（10分）【问题背景】 小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题： 证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． （1）请完成证明中的两个填空、处的内容； 参考小明同学思考的方法，继续解决问题： （2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）【联系拓展】如图3，的三条中线分别为，，．若的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$