精品解析：江苏省扬州市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末检测 高二数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 4. 设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 5. 设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 过抛物线焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知，，，均为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知圆与圆，下列选项正确的有（ ） A 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆的一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 11. 平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（ ） A. 曲线经过点 B. 曲线是中心对称图形 C. 的最大值为 D. 为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于直线的对称点坐标为____________． 13. 某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为____________m．（精确到0.01m）参考数据： 14. 设数列前项和为，已知则____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知菱形中，，，边所在直线过点，求： （1）边所在直线的方程； （2）点的坐标． 16. 设等差数列的前项和为，已知，，求： （1）数列的通项公式； （2）数列前项和． 17. 已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 18. 已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 19. 已知有穷数列满足且，集合，记中元素个数． （1）若数列满足，求和的值； （2）若数列满足，求中所有元素之和； （3）若数列满足，，则数列是等差数列吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举反例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末检测 高二数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 2. 双曲线渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可. 【详解】即，故渐近线方程. 故选：A 3. 设等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列性质通过，求得，进而可求解； 【详解】由是等差数列，， 可得：，， ，所以， 所以， 故选：B 4. 设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 因为直线与圆相切， 故，故，所以点在圆内. 故选：C 5. 设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定方程，由点到直线距离等于，列出等式求解即可； 【详解】由题意易知直线方程为：，即， 原点到直线的距离为， ， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 6. 过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 7. 已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【详解】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 8. 已知，，，均为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 10. 已知圆与圆，下列选项正确的有（ ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心为， 若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确； 若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确； 若，则，又， 两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； ，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为， 所以到直线的距离为， 所以弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11. 平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（ ） A. 曲线经过点 B. 曲线是中心对称图形 C. 的最大值为 D. 为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，根据题意求出点的轨迹方程，利用点与曲线的位置关系可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；设，则直线的方程为，与直线方程与曲线方程联立，可求出的取值范围，可判断C选项；由三角函数的定义结合曲线方程可判断D选项. 【详解】设点，则， 整理可得，即， 即曲线的方程为. 对于A选项，因为，即曲线经过点，A对； 对于B选项，在曲线上取点，则点关于原点的对称点为， 则， 所以，曲线关于原点中心对称，B对； 对于C选项，令，则直线的方程为， 联立可得， 可得，则，解得， 所以，没有最大值，C错； 对于D选项，由题意可知，且， 则为定值，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出曲线的方程，结合曲线方程与对称性进行判断. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于直线的对称点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 13. 某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为____________m．（精确到0.01m）参考数据： 【答案】0.65 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ， 设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得， 故圆拱所在的圆的方程是， 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 14. 设数列的前项和为，已知则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前项和与通项关系转化所求连续项和式，令由前几个连续和发现规律，猜想并证明再应用结论求解即可. 【详解】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若，则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知菱形中，，，边所在直线过点，求： （1）边所在直线的方程； （2）点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可. 【小问1详解】 因为边所在直线过点，，所以 因为为菱形，所以，所以， 又，所以，整理得. 小问2详解】 因为，，所以. 因为为菱形，所以，所以 因为，，所以中点坐标为， 所以 联立方程组， 解得，所以. 16. 设等差数列的前项和为，已知，，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的通项公式、前n项和公式及已知列方程求基本量，即可得的通项公式； （2）应用分组求和、裂项相消法求. 【小问1详解】 等差数列中，由，得，由，得， 联立，解得，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 整理得. 17. 已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以， 因为圆经过点，所以， 因为圆与直线相切，所以， 联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为， 又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 18. 已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1：将点代入椭圆方程，结合的关系求解； 法2：利用椭圆定义求解的值，再结合的关系求解； （2）设，，由可到直线的距离，直线与椭圆方程联列方程组，得点的坐标，从而可得的长，由直角三角形面积公式得面积，再求最值. 【小问1详解】 法1：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆经过点，所以， 因为右焦点为，所以， 联列方程组，解得， 所以椭圆的标准方程为. 法2：设椭圆的半焦距为， 因为右焦点为，所以，左焦点为， 因为椭圆经过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 椭圆的右顶点， 显然直线的斜率存在，设斜率为，则，， 点到直线的距离， 所以， 联列方程组，消去整理得， 所以，所以， 所以， 所以， 若，则斜率取时，显然更大， 故最大时， 令，则， 由基本不等式得最大时，，， 所以当最大时，直线的方程为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知有穷数列满足且，集合，记中元素个数为． （1）若数列满足，求和的值； （2）若数列满足，求中所有元素之和； （3）若数列满足，，则数列是等差数列吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举反例． 【答案】（1）， （2） （3）是等差数列，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用定义计算可求得，由已知可得，进而可得，结合题意还可得，从而可得结论； （2）先证明：从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同，又不论为何值，均与其他项各相加一次，从而可求中所有元素之和； （3）一方面，有①，另一方面，②，可得①②中的项一一对应，从而可得，结合已知可得结论. 【小问1详解】 ，， 一方面，由可得， 即，，所以； 另一方面，由可得， 所以. 综上，. 【小问2详解】 先证明：从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同. 若、、、满足，， 使得，即， 不妨设，则（*）， 若，（*）式左边是奇数，右边是偶数，不可能成立， 若，则，此时取出的两项为相同的两项， 所以，从数列中取出的两项不同，则得到的两项之和不同. 又不论为何值，均与其他项各相加一次， 所以中所有元素之和为. 又， 所以中所有元素之和为； 【小问3详解】 是等差数列.证明如下： 由可得， 所以， 又因为，就不能再取其他的值. 一方面，有① 另一方面，② 由①，在和之间，有个从小到大不等的项， 由②，在和之间，有个从小到大不等的项， 且①中的项均应在②中，故只能一一对应， 即，即， 又得均成立， 所以是等差数列. 【点睛】关键点点睛：第3问，关键在于通过分析得，结合已知可证结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$