福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期第一次周考（质检模拟）数学试题

福建省厦门第一中学2025届高三下学期周考一 数学试卷 满分：150分考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合A={xEN|-2sx≤2}，B=-1,},则AUB= A.0,} B.{-1, C.{-1,0,1,2 D.{-2,-1,01,2 2. 若名则：的患部为 A含 B. c D昌 3.设函数f(x)=血|2x+1川-血|2x-1川，则f(x) A是偶函数。且在仔网单调递地 B.是奇函数，且在 )单调递减 C.是偶函数，且在(0引单调递增 D、是奇函数，且在(0)单调递诚 4. 已知向量店=(3，m),AC=山，V),且丽+A=B-A闷，则△ABC的面积为 A.25 B.3W5 C.45 D.65 5. 已知血cosa=l,tam(a-B)=-子，则tam6= 1+cos2a B.5 c, 6 D.7 6。已知变量和变量y的-组成对样本数据为，=23，，共中云-骨共回归直线 方程为少=2x-子当增加两个样本数据(-)和亿，9)后，重新得到的回归直线方程斜率为 3,则在新的回归直线方程的估计下，样本数据(4,10)所对应的残差为 A.-3 B.-2 C.-1 D,1 7.日知F是双曲线5：苔芳-1(a>0,6>0)的左焦点，0为坐标原点，过点F且斜率 为5的直线与B的右支交于点M,与左支交于点N,=3源，M1ON,则E的离 心率为 A.2 B.3 C. D.月 8.在△ABC中，角A,B为锐角，△ABC的面积为4，且cos2A+cosB=2-sinC,则△ABC 周长的最小值为 A.4N2+4 B.4W2-4 C.2W2+2 D.22-2 高三数学试卷共4页第1页 CS扫描全能王 】亿人在用的扫描A如时 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.掷一枚质量均匀的骰子，记事件A:掷出的点数为偶数：事件B:掷出的点数大于2.则 A.P(A)<P(B) B.P(4B)+P(B+P(B)=1 C.P(AB>P(AB D.P(BA>P(A|B) 10.过抛物线y=2x(p>0)的焦点F的直线1交抛物线于点A,B,交其准线于点C,B在线 段AC上，若BC=2BF,且AF=4,O为坐标原点.则 A.p=2 B.以AB为直径的圆与准线相切 C.直线！斜率为 3 D. 地=1 S.2 11.如图，点P(a,)是以(1,0)(0,1)(-1,0)，(0，-1)为顶点的正方形边上的动点，角日以0x为始 b 边，oP为终边，定义5(0)+日c0)回+9，则 A.S(0)+C(0)=1 s-C(o) C.8e0,.s0259 2 D.v0e04}2s(o>s20) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(《父-+列的展开式中可的系数为▲一 13.平行四边形ABCD中，ABBD=0,沿BD将四边形折起成直二面角A-BD-C，且 2园+BD=4,则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为▲一· 14.已知函数f)=x(x-e)+e“+me(x-e)有三个零点，为，为，且x<0<为<为，则 m-(急-怎-〔怎-的范国为· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{a,}的前n项和为Sn,4=(t≠-1)，a-S。=n. (1)当t为何值时，数列{a,+1是等比数列？ ②)设数列6}的前0项和为，4=1，点亿，g)在直线产子上：在的条 件下，求数列 b. a.+1 的前n项和R, 高三数学试卷共4页第2页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A时 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,G中，AA⊥平面ABC,M、N分别为BB、AC的中点， AA=AB=AC=1. (1)求证：WW平面AB,C: (2)已知平面A8C与平面BCC的夹角的为子，求MN与平面ABC所成角的正弦值。 C B M 17.(15分) 阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以 借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围 棋对奔的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo),三个 阶段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛 结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，青，寻记该机手连胜 两局的概率为卫，试判断该棋手在第二局与谁比赛卫最大，并写出判断过程， (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局， 比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜 的概率为，乙获胜的概率为B,且每局比赛结果相互独立. ()若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值： 《过若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M,证明：P心)。 高三数学试卷共4页第3页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描ApD 18.(17分) 已知函数f(x)=nx+ax-b,其中a,b∈R. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)若函数g(x)=f(x) ()证明：曲线y=g(x)图象上任意两个不同点处的切线均不重合； (i)当b=1时，若x∈(-1，+oo),使得g(x+1)-2sinr<0成立，求实数a的取值范围. 19、(17分) 如图，已知圆锥PO的高PO与母线所成的角为a,过A的平面与圆锥的高所成的角为B, 该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C,椭圆C的长轴为AA,短轴为B,B,长轴长为 2a,C的中心为N,再以BB,为弦且垂直于P0的圆截面，记该圆与直线PA交于C,与 直线PA交于C, (1)用a,a,B分别表示NC,WC: 1 2)若c0sa=7,co9f= 9’a=3. ()求椭圆C的焦距； ()椭圆C左右焦点分别为R,E,C上不同两点D,E在长轴同侧，且DF∥EF,设 直线E，FD交于点2，记Se=s,设SF=f(S),请写出f(S)的解析式（不要 求求出定义域) A2 0 高三数学试卷共4页第4页 智扫描全能王 】亿人在用的扫描Ap 福建省厦门第一中学2025届高三下学期周考一参考答案 一、单选题：CCDA DBBA 1.【答案】C 2【贷1c【云，那：品化筒耶：调号2- 1+i 0+i00-) 1-i2 ，因 为1，所以：-，在中，虚都为号 3.【答案】D【详解】由了(=px+-px-得(y定义域为≠±号， 关于坐标原点对 称，又f(-x)=1-2-l-2x-=l血2x--lnl2x+=-f(x: f代倒为定义城上的奇函数。可排除ACc:当z(时，f-=h2x+--2, y=(2x+)在(2司上递增，y=-2在(2)上递减，f在( 上递增， 排膝B当x(,》时，f-(-2z-小--2小-h=(+22 ~1=1+2在(，司》上单调递减。)=血μ在定义城内单调递增， 根据复合函数单调性可知：儿)在(0司上单调递减，D正确 4.【答案】A【详解】因为丽+AC=4-AC, 得到 A丽+2BAC+AC=B-2B.AC+AC，化简得B.AC=0,所以AB L AC, 又B=(3,m),AC=1,,所以3+V3m=0,得到m=5, 所以丽=，同)，则-V3+(=25,d=1+3=2, 所以aMBC的面积为S=×@a=x25x2=25, 5.【答案】D【详解】因为血aos2=1,所以si血=2cosa且i血≠0，所以 1+cos2a tana-tan(a-B) 2* =1. aa2年又a-分所以@月a--i+mama-可胃 6.【答案】B【详解】空=号 8×8=9,增加两个样本点后x的平均数为0兰=1： 了=2×号--2，“2=2x8=16,增如两个样本点后y的平均数为16+5+9=3， 84 10 3=3×1+6,解得6=0，新的经验回归方程为y=3x,则当x=4时，y=12, 样本点(4,10)的残差为10-12=-2. 7.【答案】B【详解】如图，设MF中点为P,设右焦点为R,连接M,PF,ON, 因为M=3NF,所以MN=3F,且设NF列=k, 高三数学答案共8页第1页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A时 故MN=3k,MF=4k,因为P是M证的中点，所以PF=2k,得到N=k,则NP=F, 即N是PF的中点，因为O是FR的中点，所以ON是△FFP的中位线， 故ONPR,因为MF⊥ON,所以MF⊥PF,由三线合一性质得M=FF=2c, 因为MF的斜率为汽，所以如O=汽，则s 2 在or中w明=克散华-子，即k=子， 则=4x名c- c,由双曲线定义得|MF-Ml=2a, 3 得到c-2G=2,即号=20，化简得8=-3，放B正确 3 8.【答案】A【详解】依题意，absi血C=4,absi如C=8, cos+cos'B=2-sinC1-sin A+1-sin2 B=2-sinC, sinA+sin'B=sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, sinA(sinA-cosB)+sinB(SinB-cosA)=0,由于A,B是锐角，所以sinA>0,sinB>0, si血A-cosB与siB-cosA一正一负，或simA-cosB=sinB-cosA=0, 若 sin A-cos B>0 4>o8=行 simB-cosA<0'即 曲B<as4=油任-A 由于0<420<B<受-4<0-8<0， 2 4>-B 所以0<受-4<受0<受-B<登所以 A+B>元 2 2 2 此不等式组无解，所以 B<-A 2 A+B<π 血B-caA<0不破立同理可得品日08不成立所以血A-o0sB=血B-as4=0， sin A-cos B>0 sin A-cosB<0 sin 4=cos B=sin 所以 所以4+B=受C-受所以abs血C=b=8, 2 sin B=cos A=sin 所以三角形ABC的周长a+b+c=a+b+Va+22Wab+V2ab=4W5+4, 当且仅当a=b=2W2时等号成立，所以三角形ABC的周长的最小值为4W2+4, 二、多项选择题：9.ABD10ABD11BCD 9.【答案ABDr详解1由题意(0=3，M)=4,M0=6,则P-号=P@)=-2 n(2)3' 故A正确；由全概率公式P(A回+P(AB=P(回，则P(A⑧+P(aB+P(B)=P(®)+P(8)=1, 故B正确；事件AB表示掷出的点数为偶数且不大于2，则(AB=1,事件AB表示掷出的点数为 奇数且大于2，则()=2，则P(回=名<P(=行，放C错误： 高三数学答案共8页第2页 C3扫描全能王 】亿人在用的扫描ApD 1 PB10=P4=3_2 P)==号，P(AB)=P(AB2=及=号，则P(B10>P(1),故D正确. P(B) 2 2 IO.【答案】ABD【详解】由题意，不妨设A在第一象限，分别过A、B作AD、BE垂直于准线 1,垂足分别为D,E,作图如下： 由图可知F-BA,A=AD,在RtaBEC中，由B-BC∠EBC=60, 又BEIl AD,∠CAD=60°，在RtAADC,JAC=2AD|=8, r=4,则F是AC的中点，即在RIAADC中，Fr=AD=2,所以p=2,故A对， 由A易知cr-aG-h=4,由24F-BG,则F-手 即A-5,所以以AB为直径的圆的半径r=手， 在直角佛形ABD中，中位线的长度为0A0+-号 则以AB为直径的圆的圆心到准线1的距离d=号r,故B正确： 对于C,由A可得∠CAD=60°，则直线AB的倾斜角为60°，即斜率为tan60°=V3,由对称性 可知，直线斜率为土5，C错误；对于D, S.0ceBC 1 S.0 AB 2 =,故D正确： 11.【答案】BCD【详解】对于A,当8>严时，易知a<0,依题意可知 S(o)+C(0o)回+历回+网1，故A错误： 对于B,因为角日以Ox为始边，OP为终边，P(a,b),可得日+以Ox为始边，Og为终边， 2 2(aa:所以@+引问钢co,数BE瑞 a 对于C,由S0)29血0可得 b、5b +阿2Va+b’ 由9(0动，可得6>0，则不等式等价于匠+F≥似+0， 即可得口+6≥4+bW,显然该不等式成立，即C正确： 对于D,设角0的终边与正方形在第一象限的边交于P(a,b),角20的终边与正方形在第一象限 的边交于Q(c,d),如图所示：设A(1,0),易知OP平分∠AO0, 由角平分线定理可得号器>1，因此可得25>d,即2S0)>820),可餐D正确 三顿空题：2-6心1以细14() 2.【答案】-60【解折】(K-+=c以-y 高三数学答案共8页第3页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A时 可项对应i=1,C(x2-=Cc()=60c"(-I, y项对应r=3系数为60，故心-+少展开后9系数为-60 13.【答案】4π【详解】在图1中，因为AB.BD=0,所以AB⊥BD, 因为ABCD为平行四边形，所以CD⊥BD,AB=CD, 在图2中，因为A-BD-C为直二面角，所以面ABD⊥面CBD, 又因为面ABDO面CBD=BD,ABC面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥面CBD, 因为BCC面CBD,所以AB⊥BC,同理：CD⊥AD, 即AC为Rt△ABC与Rt△ACD的公共斜边，故AC为三棱锥A-BCD的外接球的直径， 因为AC2=AB2+BC2=AB+(CD'+BD）=2AB2+CD2=2A+|BD=4, 所以AC=2,则三棱锥A-BCD的外接球的半径为1，故其表面积为4r×?=4红. 4【答案)（月【解折】）=0，两边同时除以e(-)变形为产+ x-g+m=0, 有e 之m=0,设后=1即+ +雅=0，所以2+(m-+1-m=0 令8-产g因-。产，所以g侧在(@，)上造增，Q+回)上道减， 且g(0)=0,g0)=】,当x>0时，g>0其大致图像如下. 要使关于x的方程产+，二。+侧=0有三个不相等的实数解5,5，， 且x<0<为<x: 结合图像可得关于t的方程g()=+(m-1)1+1-m=0一定有两个不等的实数根5，专2 且头<0<4合从而1<m<1+。+5=1-m,%=1-m,则子=，点=各=： 所以各-ě-ě--4--6-%-明-4-6+)+=-m-0-+旷=1 各-j各-急-小m-1 四、解答题： 15.【详解】(1)由a-Sn=n,得a。-S.=n-1(n≥2)， 两式相减得a-a。-(S.-S)=1,即a=2a+1,所以a+1=2(a,+1)(m22),…2分 由a,=t及a-Sn=n,得a2=t+1, 因为数列包.+号是等比数列，所似只需要名士-中名=2，解得1=0，…4分 a+1t+1 此时，数列{a,+1号是以4+1=1为首项，2为公比的等比数列…5分 (2)由(1)得a,=2-1,因为点（亿，2）在直线￡-上=号上， n+1n21 所似品子-宁散侣份}是8子-为首项为公堂的等差数3儿， ……7分 高三数学答案共8页第4页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A时 则名=1+-0，所以工=a+型 …8分 2 当m≥2时，b=T-T=+_a-严=n, 2 2 8=1满足该式，所以6=，点 10分 gt12 1.2 2 22 2+. 2 =2-n+2 1- 2 2 所以R=4-”+2 2 …13分 16.【详解】(1)如图，取AC的中点2，连接B,2、N№， 因为N、Q分别为4C、4C的中点，则04且0-4， 因为BBAA且BB=AM,M为B照的中点，则BMA且BM=号4， 2 所以，BMIN2且BM=NO,则四边形MB,ON为平行四边形，所以，MNIB,2, 因为MW丈平面AB,C,B,2c平面ABC,所以，MN∥平面ABC.…5分 (2)取BC中点O,过O作AA的平行线Oy, 依题意，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O-z,设 C(a,0,0),B(-a,00),A(0,b,0),a>0,b>0,则d2+b2=1,B(-a,0,1),A(0,b,1) 设平面AB,C的法向量为m=(名，，名)，则 m·AB=a既+y=0 m.C4=-ax+y+名=0' 取x=b,可得m=(b,-a,2ab)， …8分 设平面BCC的法向量为i=(0,10), a 1 cos(m= m元 m同√a+b6+4a262' …“不艺…10分 化简可得3a2-=4ab,即4a2-1=4松2-4a,解得a=b= A C12分 2 此时不= 322_1 442 平面ABC的一个法向量为7=(0,0，) 则os(远，r）= 2 …14分 9.1.1 V8+8+4 所以W与平面ABC所成角的正弦值为 …15分 17.【详解】(1)该棋手在第二局与甲比赛p最大， 提手与甲、乙、丙肚塞装准的据率分别为宁青子记A宁马宁 高三数学答案共8页第5页 CS扫描全能王 】亿人在用的扫描A 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为卫，比赛 顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为2， 5 则m=I0-PA+A0-A月+I0-A)pA+AB0-B川=RB+p)-2pAB-24' …2分 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率A=P,+乃)-2pPB=石 …3分 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率Pm=A(+P)-2P,B8' …4分 因为卫m>卫2>Pm,所以该棋手在第二局与甲比赛p最大…5分 (2)(i)因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则ax+B=1, 由题意得X的所有可能取值为：2,4,5， P(X=2)=a2+B2, P(x=4=(ap+Ba)a2+(a3+Ba)=2a0(a2+B2) P(x=s)=(ap+Ba(a明+fa)a+(邺+Ba)(a明+faB=4a2B, …7分 所以X的分布列为： X 2 4 5 P a2+f2 2a8(a2+B） 4a2p2 所以X的期望为：E()=2(a2+B)+8a(a2+B)+20aB1 =20-2a)+8aβ0-2a)+20a2B2=4a2B2+4ap+2,…8分 由1=a+B22a丽，得a明≤京当且仅当a=月=取等号，则0<≤宁 因此B幻=4wB+4a0+2=Qal++1s2×+P+1-号 所以E()的最大值为 4 …10分 (i)设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”， 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA,BB,AB,BA,其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件 BB表示“乙赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最 后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以P(M)=P(AA)1+P(BB)0+P(AB)P(M)+P(B4)P(M） =P(4)P()+P()P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M) =a'+aBP(M)+BaP(M)=a'+2aBP(M), 因此1-2ap)PM)=a,得PM)=2A而a+B=1, a' a' 2 所以PM)a+r-2apr+2a0+f-2a0a+F …15分 18.【详解】(1)f()=ir+ax-b,得f)=上+a=1+a …1分 ①当a之0时，(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增；…2分 高三数学答案共8页第6页 CS扫描全能王 】亿人在用的扫描A