专题7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 离散型随机变量的判断】 2 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 2 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 5 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 5 【题型5 两点分布】 6 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 7 【题型7 分布列与其他知识综合】 8 【知识点1 离散型随机变量及其分布列】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于 函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)= pi，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，，n； ②p1+p2++pn=1. 3．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 离散型随机变量的判断】 【例1】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【变式1-3】（24-25高二下·江苏·课后作业）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 【例2】（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【变式2-1】（21-22高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【变式2-2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【变式2-3】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3】（2025高三·全国·专题练习）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 0.36 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 【例4】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设随机变量的分布列如下表，则（    ） 1 2 3 4 P a A． B． C． D． 【知识点2 两点分布】 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型5 两点分布】 【例5】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【变式5-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【变式5-2】（23-24高二下·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【变式5-3】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ． 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例6】（24-25高二下·全国·随堂练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式6-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式6-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 求随机变量的分布列． 【变式6-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【题型7 分布列与其他知识综合】 【例7】（23-24高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲至少有1次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 【变式7-1】（2024·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间，，，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．    (1)若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为ξ，求ξ的分布列； (2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率． 【变式7-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 离散型随机变量的判断】 2 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 3 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 7 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 8 【题型5 两点分布】 10 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 11 【题型7 分布列与其他知识综合】 13 【知识点1 离散型随机变量及其分布列】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于 函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)= pi，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，，n； ②p1+p2++pn=1. 3．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 离散型随机变量的判断】 【例1】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【解答过程】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 【解题思路】根据随机变量的定义判断. 【解答过程】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误； 选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确； 选项C是一个事件而非随机变量，故C错误； 选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误． 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【解题思路】由离散型随机变量的实际含义即可求解. 【解答过程】由试验次数的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开， 如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，都能确定能开锁的钥匙. 所以的所有可能取值为：. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二下·江苏·课后作业）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【解题思路】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误； 对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； 对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误. 故选：C. 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 【例2】（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 【变式2-1】（21-22高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【解题思路】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【解答过程】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【解答过程】（1）表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”， 所以； （2）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下所示： 【变式2-3】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 【解题思路】（1）计算出后，结合的可能取值计算对应概率即可得； （2）由题意可得，计算即可得. 【解答过程】（1），故， 的可能取值为、、、， ，， ，， 故其分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）由，可得， 故. 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3】（2025高三·全国·专题练习）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质可求的值. 【解答过程】由，解得， 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1，代入计算即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以． 故选：B． 【变式3-2】（23-24高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 0.36 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解题思路】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可. 【解答过程】由已知得，解得或（舍去）. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 【例4】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可. 【解答过程】设任取1盆的编号为随机变量， 则的可能取值为0，1，2，…，9， 且 ， ． 故选：B. 【变式4-2】（23-24高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【解答过程】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 【变式4-3】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设随机变量的分布列如下表，则（    ） 1 2 3 4 P a A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，解可得 ，结合分布列计算，即可得答案. 【解答过程】根据题意，，解得，则， 结合分布列： . 故选：C. 【知识点2 两点分布】 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型5 两点分布】 【例5】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【解题思路】根据两点分布的概念计算即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【解题思路】利用两点分布的性质可得答案. 【解答过程】依题意可得， ， 所以 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二下·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【解题思路】根据概率之和为1即可求解. 【解答过程】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，则 ． 【解题思路】根据随机变量X服从两点分布，得到，再结合条件求解. 【解答过程】解：由随机变量X服从两点分布，得， 又因为， 所以． 故答案为：. 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例6】（24-25高二下·全国·随堂练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解题思路】根据计算. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的分布列的性质得， 解得， 随机变量， ． 故选：A. 【变式6-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 求随机变量的分布列． 【解题思路】由题意得当，5时，；当，4，6时，；当时，．结合互斥概率加法公式计算相应的概率即可得解. 【解答过程】由，得 当，5时，； 当，4，6时，； 当时，． 则， ， ， 所以随机变量Y的分布列为 Y 1 0 P 【变式6-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）先根据及的所有可能取值得的所有可能取值，再根据的取值的概率求出的取值的概率，从而可得的分布列； （2）根据的分布列可求出结果. 【解答过程】（1）由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9， 则， 或 ， 或 ． 可得随机变量的分布列如表所示． 0 1 4 9 （2）因为，， 又因为，所以. ∴实数的取值范围是． 【题型7 分布列与其他知识综合】 【例7】（23-24高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲至少有1次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 【解题思路】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果． （2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列． （3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果． 【解答过程】（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响， 射击3次，相当于3次独立重复试验，故； （2）依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且， 即，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件， 则，、为互斥事件，， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. 【变式7-1】（2024·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【解题思路】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可. （2）利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的概率公式，列式解方程即得. （3）利用（2）的结论，求出的可能值及对应的概率列出分布列. 【解答过程】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ， 整理可得，而，所以. （3）依题意，甲､乙､丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间，，，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．    (1)若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为ξ，求ξ的分布列； (2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率． 【解题思路】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列； （2）记事件为“该学生复评晋级”，事件为“该学生初评是”，由条件概率公式与全概率公式代入求解即可. 【解答过程】（1）依题意的所有可能取值为，，，， 所以，， ，， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 （2）记事件为“该学生复评晋级”，事件为“该学生初评是”， 所以． 【变式7-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 【解题思路】（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得. 【解答过程】（1）的可能取值为2和3， 则， 所以随机变量的分布列为： 2 3 （2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，， 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$