2024-2025学年高二数学下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.2.3简单复合函数的导数

简单复合函数的导数 (时间:45分钟满分:100分) 基础巩固 一 选择题 1.(5分)下列所给函数为复合函数的是 _~ A.y=ln(x-2) B. v-lnx十x-2 C. y-(x-2)lnx D.y-lnxx-2 2.(5分)若函数f(x)满足f(x十1)=(er-e-→)sinx,则f(1)=( _. A.0 B. 1 C.2 D.-1 3.(5分)设aER,函数fx)=e十ae-x的导函数是f(x),且f(x)是奇函数,则 a的值为( ) A.1 B.-12 C.12 D.-1 4.(5分)若y'=2x2x十1,则此函数可能是( _~ A.y-ln(x2十x) B.y-x-12ln(2x+1) C.v-2(2x+1)-2 5.(6分)(多选)函数f(x)=x3十x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1, 则P点的坐标可以为 _~ A.(1.0) B.(2.8) C.(-1,-4) D.(1,4) 二、填空题 6.(5分)已知直线y=x十1与曲线y=ln(x十a)相切,则a的值为 7.(5分)已知函数f(x)=f(0)ln(2x十1)-2x+cosx,则f(0)= 8.(5分)已知f(x)在R上可导,F(x)=f(x3-1)+f(1-),则F’(1)= 三、解答题 9.(10分)求下列函数的导数: (1)y-(1+2x2)8 (2)=1r(1-x2): (3)y-sin2x-cos2x: (4y-cosx2 10.(10分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离S(单位: m) 关于时间i单位:s)的函数为S一S(t)一5一25-9t2求函数在t1s时的导数,并解释 它的实际意义. 能力提升 11.(5分)曲线v一e-2x十1在点(02)处的切线与直线v=0和v-x围成的三角形的 面积为( ) A.13 B. -12 C.23 D.1 12.(6分)(多选)已知点P在曲线v一4ex十1上,a为曲线在点P处的切线的倾斜角, 则a的取值可以是( _ A.I/4 B.12 C.3i4 D.7rr8 13.(5分)设f6(x)=sin2x+cos2x,fi(x)=f'(x),f(x)=/i'(x),..,f+(x)=fn'(). nEN,则/2o24(x)一. 14.(10分)已知函数f(x)=-3十x+1,g(x)-e-2x+1. (1)分别求出/fx)和g(x)的导数 (2)若曲线v=fx)在点(1.1)处的切线与曲线v=g(x)在x=t(tER)处的切线平行,求( 的值. 创新拓展 15.(13分)记f(x),g’(t)分别为函数f(x),g(x)的导函数.把同时满足f(xo)=g (xo)和f(xo)=g'(xo)的xo叫做f(x)与g(x)的“O点”. (1)求fx)-2x与g(x)-x2-2x+4的“O点”; (2)若fx)=ax^{}+12与g(x)=lnx存在“O点”,求实数a的值简单复合函数的导数 (时间：45分钟满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1.(5分)下列所给函数为复合函数的是() A.y=In(x-2) B.y=Inx+x-2 C.y=(x-2)Inx D.y=lnxx-2 [解析]函数y=ln(x一2)是由函数y=lnu和u=x一2复合而成的，而B、C、D中 的函数分别为函数y=lr与函数y=x一2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定 义.故选A, [答案]A 2.(5分)若函数x)满足x+1)=(ex-ex)sinx,则f(1)=() A.0 B.1 C.2 D.-1 [解析]由r+1)=(er-e-x)sinx两边分别求导得：f”(x+l)=(er+e-*)sinx-十 (er-e-x)cosx,当x=0时，f(1)=(e0+e)sin0+(e0-e)cos0=0,所以f(1)=0.故选 A. [答案]A 3.(5分)设a∈R,函数x)=er十aer的导函数是f(x),且P(x)是奇函数，则 a的值为() A.1 B.-12 C.12 D.-1 [解析]f()=er-ae-x为奇函数，由f(0)=1一a=0得a=1,经检验，符合题 意 [答案]A 4.(5分)若y=2x2x十1，则此函数可能是() A.y=In(x2+x) B.y=x-12n(2x+1) C.y=2(2x+1)-2 D.y=-142x+12 [解析]A中，y'=2x+1x2+x,错误：B中，y=1-12×22x+1=2x2x+1, 正确；C中，y'=-8(2x十1)3，错误；D中，y'=(2x十1)3，错误. [答案]B 5.(6分)（多选）函数x)=x3+x一2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x一1， 则P点的坐标可以为( A.(1,0) B.(2,8) C.(-1,-4) D.(1,4) [解析]设P(xo,yo),由f(x)=3x2+1,得3x20+1=4,所以xo=±1.当xo=1时， 0)=0,当x0=一1时，)=一4，因此P点的坐标为(1,0)或（一1，一4）.故选AC [答案]AC 二、填空题 6.(5分)己知直线y=x十1与曲线y=n(x十a)相切，则a的值为 [解析设直线y=x十1切曲线y=n(x十a)于点(o,%),则%=1十xo,%=ln( +a),又y'=lx+a,y'x=n=lx0+a=l,即w十a=1.又w=no十a,%=0, ∴.xo=-1,∴.a=2 [答案]2 7.(5分)已知函数x)=f(0n(2x+1)一2x十cosx,则f(0)= [解析]因为x)=∫(0)n(2x+1)-2x+cosx,所以(x)=f(0)×22x+1-2 sinx,f(0)=f(0)×2-2,解得f(0)=2. [答案]2 8.(5分)已知x)在R上可导，Fx)=x3-1)十1一x3),则F(1)=」 [解析由Fx)=x3-1)+1一x),得F'(x)=(x3-1)(x3-1)'+f(1一x3) (1-x3)'=3x2(r3-1)-3x2f(1-x3),∴.F'(1)=3f(0)-3f(0)=0. [答案]0 三、解答题 9.(10分)求下列函数的导数： (1y=(1+2x2: (2y=1\r(1-x2); (3y=sin2x-cos2x; (4)v=cosx2 [解](1)设u=1十2x2,y=8, .yx′=(8)'(1+2xr2)′=8u7.4x=8(1+2x2)74x=32x(1+2x2)7 (2)设u=1-x2(-1<1),y=业-， 则y'x=(2-)'(1-x2)'=2-1avs4\a1\co1(-\f(12)u)(-2x)=1-x2)2- (3)v,'=(sin2x-cos2x)'=(sin2x)'-(cos2x)'=2cos2x+2sin2x= 22sin\a\vs4\al\col(2x+\f(n 4)). (4)设u=x2,y=c0sl,则以x'=(cosW)/'(2)'=(-sin)2x=(-sinr2)2x=- 2xsinx2. 10.(10分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，己知梯子上端下滑的距离S(单位：m) 关于时间（单位：s)的函数为S=S(t)=5一25一9t2.求函数在t=1s时的导数，并解释 它的实际意义 [解]函数S=5-25一9t2可以看作函数S=5-u和u=25-92的复合函数，其中 u是中间变量.由导数公式可得S'=一12-，4，'=一18t.故由复合函数求导法 则得S,'=Sw'4,'=2-\avs4\al\col(-\f(12)u)(-18t)=9t\r(25-9t2),将 t=1代入S'(0,得S'(1)=2.25它表示在1s附近，梯子上端下滑的速度每秒大约增 加2.25m/s. 能力提升 11.(5分)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的 面积为() A.13 B.-12 C.23 D.1 [解析]y'=(-2x)'e-2x=-2e2x,∴.在点(0,2)处的切线斜率为k=-2e0=- 2,.切线方程为y-2=一2(x-0),即y=-2x+2.如图，由y=-2x+2,y=x,）得 交点坐标为alvs4 alcol(f223),y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴.所求面积为 S=12×1×23=13. y=-2x+2 [答案]A 12.(6分（多选）己知点P在曲线y=4ex+1上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角， 则a的取值可以是( A.I4 B.I2 C.3元4 D.78 [解析]因为y=4ex+1,所以y'=-4ex ex+12=-4exe2x+2ex+1=- 41ex.因为e>0,所以er+1ex≥2（当且仅当x=0时取等号），所以y'∈[-1,0)，所以tana ∈[-1,0).又因为a∈[0，π)，所以a∈\f(3r4),r). [答案]CD 13.(5分)设f6x)=sin2x+cos2x,f(x)=f6'(x),f(x)=f'(c),…,fm+1(x)=fm'(x): n∈N,则024(x)= [解析]因为f6(x)=sin2x十cos2x,所以f(x)=f6'(x)=2(cos2x-sin2.x),f(x)=f1 (x)=22(-sin2x-cos2x),f(x)='(x)=23(-cos2x+sin2x),f(x)='(x)=24(sin2x+ cos2x),通过以上过程可以看出fx)满足以下规律：对任意n∈N,fn+4x)=2f(x),故 f2024(x)=f505×4+4(x)=22024(sin2x+cos2x). [答案]22024(sin2x+cos2x) 14.(10分)已知函数x)=-x3+x+1,g(x)=e-2x+1 (1)分别求出x)和g(x)的导数； (2)若曲线y=x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(x)在x=(t∈R)处的切线平行，求t 的值. [解1(1)由导数公式得f(x)=-3x2+1, 由复合函数求导法则得g'(x)=一2e-2x+1 (2)由f(x)=一3x2+1可得曲线y=x)在点(1,1)处的切线的斜率为k=f(1)=一3 +1=-2, 从而切线方程为y一1=一2(x-1), 即y=-2x十3 由g'(x)=一2e一2+1，可得曲线y=g(x)在x=(t∈R)处的切线斜率为g'(0=一 2e-2+1, 由题意可得一2e一21+1=-2，解得1=12， 所以1的值为12. 创新拓展 15.(13分)记(x),g'(x)分别为函数x),g(x)的导函数.把同时满足xo)=g (o)和(xo)=g'(o)的x0叫做x)与gx)的“Q点”· (1)求)=2x与gx)=x2-2x+4的“0点”； (2)若x)=ar2+12与gx)=lnx存在“Q点”，求实数a的值. [解1(1)因为(x)=2,g'(x)=2x-2, 设为函数x)与gx)的一个“Q点”. 由o)=g(xo)且(o)=g'() 得2x0=xolal(22=2x0-2, 解得0=2. 所以函数x)与g(x)的“Q点”是2. (2)因为f(x)=2ax,g'(x)=1x, 设0为函数x)与gx)的一个“Q点”. 由xo)=g(xo)且(o)=g'(o) 得ax o al(2121x0,② 由②得a=12o代入①得lnxo=1,所以xo=e 所以a=12o=12e2.