9.3 第1课时 分式方程及其解法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

9.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 课题 分式方程及其解法 课型 新授课 教学内容 教材第115-117页的内容 教学目标 1.了解分式方程的概念. 2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过2个），会检验根. 3.在探究分式方程及其解法的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣. 教学重难点 教学重点：理解并掌握解分式方程的基本思路和解法. 教学难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值． 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，创设情景，引入课题 回顾方程的概念，引出非整式方程（分式方程）. 老师：同学们判断一下，下列哪些是方程？哪些是整式方程，哪些不是整式方程？ (1) 2x+5=7； (2) 9x–5； (3) 6y+1>2y； (4) 7–2=5； (5) 4x+3y=3； (6) ； (7) . 答案：是方程的有：(1)(5)(6)(7)，其中(1)(5)(6)等号两边都是整式，为整式方程.(7)等号两边不全是整式，含分式，不是整式方程. （给出章首引言中的问题，在实际问题中引出分式方程） 为了满足经济高速发展的需要，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列出运行速度. 兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1 776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高48%,运行时间缩短约6h,求直快列车的速度. 若设直快列车的速度为x km/h,则直快列车运行时间为 h,高铁列车运行时间为 h,可以得到方程 . 像，这样的式子和我们以前学过的整式有什么不同?得到的方程如何解答? 老师：这是路程-速度问题，首先我们一起分析题意. 设列车提速前的速度为x km/h，填写下表：(提问学生回答) 列车 路程 速度 时间 直快 1 776km x km/h h 高铁 1 776km x(1+48%) km/h h 老师：根据上面的表格，我们知道是路程不变，速度变大了，相应的所用时间就减少了，也就是条件中“运行时间缩短约6 h”，所以请同学们说一下可以得到怎样的等量关系？ 学生：提速前所用时间-提速后所用时间=4 h. 可以列方程，得. 老师提问：如果设直快列车所用时间为t h，那么又能得到什么样的方程呢？请同学们交流一下. 学生：设直快列车所用时间为t h，那么高铁列车的时间为(t-6)h. 可以根据速度关系：直快列车速度×(1+48%)=高铁列车速度，列方程，得. 老师：同学们的分析与所列方程都很正确. 2.探索新知，归纳知识 老师：请同学们观察一下，这两个方程有什么共同的特点呢? 学生：这两个方程都是只含有一个未知数，且分母中都含有未知数. 老师：像这两个方程这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程. （随堂练习）判断一下，下面是分式方程的为______. 答案：②④ 老师：知道了什么是分式方程，那么如何解分式方程呢？ 可整理，得. 老师提问：（1）这个方程和我们以前学过的方程有什么区别？ 这个方程的分母中含有未知数. （2）以前学过的方程中有分母时怎么解？ 以前是先去分母，再解方程. （3）对于这个方程该怎么解？尝试解答. 同样先去分母，再解方程. (老师板书方程解法，让学生归纳解方程的步骤) 解：方程两边同乘以1.48 1.48×1 776-1 776=8.88x， 解这个整式方程，得x=96. 把x=96代入上述分式方程检验： 左边==6=右边. 所以x=96是该分式方程的解. 因而，直快列车的速度为96 km/h. 学生：先去分母，化为整式方程，然后解整式方程（一元一次方程），最后验根（检验根的合理性）. 老师总结：解分式方程的步骤如下： （1）去分母：方程的两边都乘以各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程； （2）解方程：解这个整式方程； （3）验根：将整式方程的解代入原方程的最简公分母，看其是否为零； （4）下结论：舍去使公分母为零的增根. 老师：你学会了解分式方程了吗？试试下面这个题： 【探究】解方程，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？ 学生：去分母， 得2–=–1–2(–3). 去括号、移项，得2x-x=-1-2+6. 解得=3. 把=3代入原方程检验时，原方程中分式的分母为零， 分式没有意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解. (师生互动，带领学生阅读教材，讨论增根产生的原因和概念) 对于上面我们探究的分式方程，x=3是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根，像x=3这样的根，称为原方程的增根.解分式方程时，去分母可能产生增根，所以解分式方程必须验根. 老师：同学们可以用自己的语言说一下增根的概念. 学生：使公分母等于0的未知数的值就是这个分式方程的增根. 老师：产生增根的原因呢？ 学生：因为在去分母时，在分式方程的两边同时乘以一个等于0的整式，所以得到的根使分式方程无意义. 老师：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 【教材例题】 例1 解方程： （学生自己解，老师最后出示答案，纠正错误） 解:方程两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3）， 得（x-1）（x-3）-2（x+3）（x-3）=-x（x-3）. 展开，得x²-4x+3-2x²+18=-x²-3x. 解方程，得x=21. 检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0. 所以，原方程的根是x=21. 老师最后做总结： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根. 3.学以致用，应用新知 考点1 列分式方程 【例1】（教材P119习题9.3T1）某地修建一条轻轨铁路，要使工程提前3个月完成，需将原定的工作效率提高12%.如果设原计划完成这项工程用x个月，那么x应满足怎样的方程？ 答案： 考点2 解分式方程 【例2】 解方程： (1)＝； (2)＝－3. 解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x， 去括号，得5x－10＝7x，移项、合并同类项，得2x＝－10，系数化为1，得x＝－5. 检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0， 所以x＝－5是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2. 检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0， 所以原方程无解． 考点3 由分式方程的解确定字母的取值范围 【例3】关于 x 的方程的解是正数，则a的取值范围是_________. 解析：去分母得 2x＋a＝x-1，解得 x＝-a-1. 因为关于x的方程的解是正数， 所以x＞0且x≠1.所以-a-1＞0且-a-1≠1， 解得a＜-1且a≠-2. 答案：a＜-1且a≠-2 考点4 与分式方程的增根相关的问题 【例4】 若关于 x 的方程有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4. 所以m=3x-6. 因为该分式方程有增根，所以x-2=0，即x=2.所以m=0. 4.随堂训练，巩固新知 （1）解下列分式方程： 解：①方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解. ②方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x， 解得x=1.5. 检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0， 所以原分式方程的解是x=1.5. ③原分式方程可化为 , 方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ， 解得x=6， 检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0， 所以原分式方程的解是x=6. （2）如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．3 答案：B （3）若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2. 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10， 解得m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(-2)＝－10， 解得m＝6. 所以m的值是1，－4或6. 5.课堂小结，自我完善 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. （2）分式方程的解法：一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程. （3）增根：像x=3这样的根，是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，称为增根.（也可以说是使分式方程的公分母为0的未知数的值） 6.布置作业 课本P117练习第1-2题，P119习题9.3第2、3题. 通过回顾方程，观察出整式方程和分式方程的区别，从而自然过渡到分式方程的概念. 教学中引领学生思考实际问题，以提问引导的方式进行. 通过此部分设计，使学生感知研究分式方程在实际生活中的必要性. 鼓励学生从不同的角度分析问题、解决问题，拓展学生的思维. 及时巩固分式方程概念问题，加强易错点的点拨.（π是实数，不是字母） 通过一步一步提问的分式引导学生，由含分母的整式方程的解法类比得到分式方程的解法. 鼓励学生根据教师的板书过程，分组交流讨论、总结出解分式方程的步骤. 带领学生探究分式方程有无解可能性，以及体会验根的必要性. 先引入有解的分式方程，再引入无解的分式方程，最后解释为何会存在无解，从而表明需要验证，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣. 让学生巩固解分式方程，鼓励学生交流、讨论，能自我纠正或互相纠正错误. 带领学生明白，等式两边同乘一个整式，方程的解不变（这个结论的前提是这个整式是非零的）. 解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解． 注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验． 增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 板书设计 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.解分式方程的一般步骤 教后反思 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法，来学习分式方程的解法，从而归纳出解分式方程的基本步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要验根，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验的必要性，避免解题出错． 学科网（北京）股份有限公司 $$