11.3.1 平行直线与异面直线-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 知识层面 1．能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题．　2．理解异面直线的定义，会判断两直线异面．　3．理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题． 素养层面 借助两直线平行的判定与性质，提升逻辑推理核心素养；通过等角定理的学习，培养直观想象核心素养． 前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质． 问题．“平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，”这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件，在空间中这两个结论还成立吗？ 提示：在空间中这两个结论还成立，即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行． 学生用书第72页 知识点一　平行直线 1．定义 在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线． 2．性质 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)平行于同一条直线的两条直线互相平行． 上述结论(2)通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为：如果a∥b，a∥c，则b∥c. (3)等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,_并且方向相同，那么这两个角相等． [微提醒]　等角定理的推论 (1)空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向相反，那么这两个角相等． (2)空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补． (3)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点二　异面直线 1．异面直线的定义 异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线． 2．异面直线的表示 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示． 3．异面直线的判定方法 与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 知识点三　空间四边形 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 空间四边形用表示顶点的4个字母表示． 1．若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 答案：C 解析：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那么这两个角互补；如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．所以如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 故选C． 2．下列说法中正确的是(　　) A．若两直线无公共点，则两直线平行 B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行 C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线 D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线 答案：B 解析：对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A-BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．故选B． 3．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(　　) A．5 B．10 C．12 D．14 答案：B 解析：如图所示，由三角形的中位线定理，可得EH綉BD，FG綉BD，所以EH綉FG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10．故选B． 4．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直线是异面直线的对数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段，它们所在直线是异面直线的有：AB和CD，AB和GH，CD和EF，CD和GH，EF和GH，共5对．故选C . 5．下列命题： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ②和两条异面直线都垂直的直线有且仅有一条； ③和两条异面直线都相交的两条直线异面或相交； ④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面． 其中真命题的个数是________． 答案：1 解析：①分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线，因此不正确； ②和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因此不正确，可举例正方体中相互异面直线的棱； ③和两条异面直线都相交的两条直线异面或相交，正确； ④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c不一定是异面直线，不正确. 其中真命题的个数是1． 学生用书第73页 题型一　空间平行线的传递性 例1　如图，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． 点拨：利用空间平行线的传递性证明a∥b时，先寻找一条直线c，使a∥c，b∥c.进而可得a∥b. 证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1． 因为E是AA1的中点， 所以EQ綉A1D1． 因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1， 所以EQ綉B1C1， 所以四边形EQC1B1为平行四边形， 所以B1E綉C1Q. 又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綉C1F， 所以四边形DQC1F为平行四边形， 所以C1Q綉FD． 又B1E綉C1Q，所以B1E綉FD， 故四边形B1EDF为平行四边形． 证明两直线平行的方法 1．平行线的定义，即在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线． 2．利用三角形的中位线平行于底边． 3．利用空间平行线的传递性． 4．平行四边形的对边互相平行． 对点练1．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为棱AB，AD，CD，BC的中点． (1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)当对角线AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？(给出一个满足题意的条件即可，不必证明) 解：(1)证明：连接BD，因为E，F分别为棱AB，AD的中点， 所以EF∥BD，EF＝BD． 同理HG∥BD，HG＝BD． 所以EF∥GH且EF＝GH. 所以四边形EFGH是平行四边形． (2)当AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形． 题型二　等角定理的应用 例2　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点． 求证：∠B1BF＝∠D1EA1． 点拨：―→ 证明：取BB1的中点M，连接EM，C1M. 在矩形ABB1A1中，易得EM綉A1B1， 因为A1B1綉C1D1， 所以EM綉C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形， 所以D1E∥C1M. 在矩形BCC1B1中，易得MB綉C1F，所以四边形BFC1M为平行四边形，所以FB∥C1M，所以D1E∥FB． 又BB1∥EA1，且∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同， 所以∠B1BF＝∠D1EA1． 学生用书第74页 依据空间等角定理证明两角相等的步骤 1．证明两个角的两边分别对应平行． 2．判定两个角的两边的方向都相同或者都相反． 对点练2．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证： (1)四边形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1． 证明：(1)连接AC，在△ACD中， 因为M，N分别是棱CD，AD的中点， 所以MN是三角形ACD的中位线， 所以MN∥AC，MN＝AC． 由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1． 所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1， 所以四边形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1， 又因为ND∥A1D1， 所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补， 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角， 所以∠DNM＝∠D1A1C1． 题型三　异面直线的判定问题 例3　(一题多解)如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点． 求证：PN与MC为异面直线． 点拨：根据异面直线的判定方法进行解答． 证明：方法一　因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，所以点N与点M不重合． 因为N∈平面ABC，P∉平面ABC， CM⊂平面ABC，N∉CM， 所以由异面直线的判定方法可知，直线PN与MC为异面直线． 方法二(反证法)　假设PN与MC不是异面直线， 则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α， 于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. 因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点， 所以点M与点N不重合． 因为M∈α，N∈α，所以直线MN⊂α. 因为A∈MN，B∈MN， 所以A∈α，B∈α，即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾． 所以假设不成立． 故PN与MC为异面直线． 判定或证明两条直线异面的思路 1．既不平行也不相交的两条直线为异面直线． 2．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 3．反证法——证明立体几何问题的一种重要方法． 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而证明原结论是正确的． 对点练3．如图为正方体表面的一种展开图，则在原正方体中，四条线段AB，CD，EF，GH所在直线中互为异面直线的有________对． 答案：3 解析：还原后的正方体如图，其中AB与CD，AB与GH，EF与GH为异面直线，共 3对． 易错点　等角定理理解不准确致误 已知空间两个角α，β，且α与β的两边分别平行，α＝60°，则β＝________． 正解：因为角α与β的两边分别平行，所以α与β相等或互补，又α＝60°，所以β＝60°或β＝120°. 答案：60°或120° 易错探因：在求解本题时，容易忽略对两组边的方向的考虑而得出错误答案60°. 误区警示：等角定理的应用一定要考虑角两边的方向．如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行且方向相同，或两组对应边平行且方向都相反，那么这两个角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补． 学生用书第75页 1．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案：A 解析：因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同理可证HG∥PN，所以EF∥HG.故选A． 2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 答案：B 解析：因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.故选B． 3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 答案：D 解析：画出图形，得到结论． 如图①，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图②，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，故选D． 4．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的有________． 答案：②④ 解析：图①中连接GM(图略)，则四边形GHNM为平行四边形，所以GH∥MN；图③中HG与NM延长后与三棱柱的侧棱交于一点；图②、图④中GH与MN为异面直线． 学科网（北京）股份有限公司 $$