3 8.1.3 向量数量积的坐标运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 　 第八章　8.1　向量的数量积 知识目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　 2.能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式．　 3.能根据向量的坐标判定两个向量垂直. 素养目标 通过推导向量数量积的坐标运算及通过求夹角与模，体会逻辑推理素养与数学运算素养，培养学生数学抽象核心素养；利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 平面向量数量积的坐标表示，使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究． 问题1.在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 问题导思 知识点一　向量数量积的坐标表示 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1，e2}，使得a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，因此a·b＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝x1x2e1·e1＋x1y2e1·e2＋y1x2e2·e1＋y1y2e2·e2＝x1x2＋y1y2，从而a·b＝____________．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (1)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 新知构建 x1x2＋y1y2 知识点二　向量的模与夹角的坐标表示 1．向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝__________． 已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，所以不存在讨论角的终边所在象限的问题． 微提醒 知识点三　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由于a⊥b⇔a·b＝0，故a·b＝x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b⇔_______________． 即两个向量垂直的等价条件是它们相应坐标乘积的和为0. x1x2＋y1y2＝0 (1)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下： a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 微提醒 1．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a·b＝ A．－4 B．－2 C．2 D．4 自主检测 a·b＝－2＋6＝4.故选D． √ 因为向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，且a·b＝3，所以－x＋6＝3，解得x＝3.故选B． √ √ 2 5．已知平面向量a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)，则a与b的夹角余弦值等于 ________． 返回 合作探究 返回 题型一　向量数量积的坐标运算 角度1　向量数量积的简单运算 例1　 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 点拨： 解：方法一　(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2. 因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8， a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， 所以(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 方法二　因为a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， 所以3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4，3)， 所以(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 角度2　几何图形中的向量数量积 点拨：根据所给图形建立平面直角坐标系， 用向量坐标进行求解． 规律方法 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　　 对点练1.已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝ 5，则向量c＝________． 题型二　平面向量的模 例3　 (1)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝ √ 点拨：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0. √ 点拨：求向量模的方法 ①利用公式|a|＝ 求解； ②利用数量积求解； ③利用公式a2＝|a|2求解． 规律方法 求向量的模的两种基本策略 1．字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　　 √ (2)已知|a|＝10，b＝(1，2)，且a·b＝10，则a的坐标为________________． (10，0)或(－6，8) 题型三　平面向量的夹角 √ (2)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝______. 2 方法二　易知c是以ma，b对应线段为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形．由已知得|b|＝2|a|，|ma|＝|b|，即m|a|＝|b|，所以m＝2. 规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤 √ (2)已知向量a＝(2，－1)，b＝(0，1)，(a＋kb)·b＝3，则k＝________． 因为向量a＝(2，－1)，b＝(0，1)，所以(a＋kb)·b＝a·b＋kb2＝－1＋k，又－1＋k＝3，解得：k＝4. 4 返回 随堂演练 返回 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，则a·(2a＋b)＝ A．0 B．1 C．－1 D．2 由题意，向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，可得a2＝2，a·b＝1×(－1)＋(－1)×3＝－4，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×2－4＝0.故选A． √ √ 3．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D． √ 7 返回 课时测评 返回 1．已知a＝(3，－1)，b＝(x，2)，且a·b＝－5，则x＝ A．－11 B．11 C．－1 D．1 因为知a＝(3，－1)，b＝(x，2)，由a·b＝－5＝3x－2＝－5，解得x＝－1.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________． 因为a⊥b，所以a·b＝－4×6＋3m＝0，解得m＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则2|a|2－3a·b＝________． 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________． ma－b＝(m＋1，－m)．因为a⊥(ma－b)，所以a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，所以m＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值；(4分) 解：若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若a∥b，求|a－b|.(6分) 解：若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)， |a－b|＝|(1，0)－(3，0)|＝|(－2，0)|＝2； 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)． 故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb，λ∈R. (1)求λ为何值时，|c|最小？此时b与c的位置关系如何？(7分) 解：由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得 c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)， b·c＝0，所以b⊥c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求λ为何值时，a与c的夹角最小？此时a与c的位置关系如何？ (10分) 返回 解：设向量a与c的夹角为θ，则 要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大， 解得λ＝0，c＝(1，2)． 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. 如右图，以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，E(，1)，所以＝(，0)，＝(，1)．设F(t，2)(0≤t≤)，则＝(t，2)，＝(t－，2)．因为·＝t＝，所以t＝1，则＝(t－，2)＝(1－，2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 因为a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝ －.所以a＋b＝＋(1，－2)＝，|a＋b|＝ ＝. 对点练2.(1)已知向量＝(－1，2)，＝(x，－5)，若·＝－7，则||＝ A．5 B．4 C．6 D．5 4．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为 A． B．∪(2，＋∞) C． D． (－2，2) 5．已知向量a＝(m，1)，b＝(－1，2)，若(a－2b)⊥b，则a与b夹角的余弦值为 A．－ B． C．－ D． |c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， $$