8 7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第1课时　正弦型函数的性质与图象(一) 　 第七章　7.3　三角函数的性质与图象 知识目标 1.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．　 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅．　 3.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解 y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响以 及它们的物理意义． 素养目标 通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象． 将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？ 问题导思 问题．(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？ 提示：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝ . (2)如何作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？ 提示：方法一：五点法作图．方法二：图象的变换． 知识点一　正弦型函数的性质 1．正弦型函数 (1)定义：形如___________________的函数； (2)条件：A，φ，ω都是常数，且A≠0，ω≠0. 新知构建 y＝Asin(ωx＋φ) 2．函数y＝Asin (ωx＋φ)的性质 函数 y＝Asin (ωx＋φ) 定义域 ____ 值域 [－|A|，|A|] 单调性 当A＞0，ω＞0时，将ωx＋φ视为整体，代入y＝sin x相应的单调区间求解；当A＜0或ω＜0时，注意单调性的变化 奇偶性 当φ＝__________时为奇函数， 当φ＝____________时为偶函数 周期性 T＝_____ 图象的 对称性 将ωx＋φ视为整体，代入y＝sin x图象相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解 R kπ(k∈Z) (1)若无特别说明，则本书中所说的周期一般都是最小正周期． (2)一般地，函数y＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝ . (3)正弦函数是奇函数，反映在图象上正弦曲线关于原点O对称． (4)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 微提醒 知识点二　参数A，φ，ω对函数图象的影响 1．A(A＞0)对函数图象的影响． Asinx sin(x＋φ) sinωx 微提醒 知识点三　x＝Asin(ωt＋φ)中，常数A，φ，ω的实际意义 1．振幅|A|：小球能偏离__________的最大距离． 2．初相φ：决定______时小球的位置，即在Asin φ中起关键作用． 平衡位置 t＝0 一次运动 运动次数 自主检测 √ 2．函数f(x)＝sin 的奇偶性为 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 √ √ √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　正弦型函数的图象变换 点拨：本题考查三角函数的图象变换问题 方法一：伸缩变换再平移变换，最后上下平移； 方法二：先平移变换，再伸缩变换，最后上下平移． 解：方法一　y＝sin x的图象 规律方法 解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．　　 √ 题型二　作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 点拨：方法一：可由图象变换把y＝sin x 方法二：利用“五点法”作图． 规律方法 1．作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，一般有两种方法： 方法一：由y＝sin x经过图象变换求得； 方法二：五点法作图． 2．五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤． (1)列表，令ωx＋φ＝0， ，2π，依次得出相应的(x，y)值； (2)描点； (3)连线得函数在一个周期内的图象； (4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．　　 描点作图，图象如图所示． 题型三　正弦型函数的性质 角度1　已知函数求值域(最值) 角度2　求正弦型函数的单调区间 点拨：求解与正弦型函数有关的单调区间问题，主要利用整体换元法，转化为求正弦函数的单调区间问题，然后构造不等式组，通过解不等式组即可得到所求函数的单调区间． 角度3　求函数的周期 例5　 求下列函数的周期： 点拨：可以用定义法求解，也可以利用公式直接求解； 点拨：可以利用图象求解． 角度4　函数的奇偶性 点拨：结合正弦函数图象利用诱导公式可求． √ 角度5　函数图象的对称性 点拨：方法一：利用整体换元法求对称轴； 方法二：可逐项代入函数值最大(小)的是对称轴． √ 规律方法 π 3 2 易错点一　忽略三角函数的有界性 例1　 函数y＝cos2x＋2asin x－3，a∈R的最大值为___________________ ______________． 易错精析 a2－2或－2a－3 或2a－3 正解：y＝1－sin2x＋2asin x－3＝－sin2x＋2asin x－2＝－(sin x－a)2＋a2－2. ①若a∈[－1，1]，则当sin x＝a时，y取得最大值， ymax＝a2－2； ②若a<－1，则当sin x＝－1时，y取得最大值， ymax＝－2a－3； ③若a>1，则当sin x＝1时，y取得最大值， ymax＝2a－3. 易错探因：本题若忽视正弦函数的有界性，就会得到下面的错解： y＝1－sin2x＋2asin x－3＝－sin2x＋2asin x－2， 令t＝sin x，则y＝－t2＋2at－2. 由二次函数的性质知，当t＝a时，y取得最大值，ymax＝a2－2. 误区警示：在解决含有正弦函数及正弦型函数的最值问题时，一定要注意sin(ωx＋φ)∈[－1，1]这一隐含条件． 易错点二　忽略定义域 误区警示：解决与三角函数有关的复合函数问题时，定义域是先要考虑的问题，要在定义域内思考问题． 返回 随堂演练 返回 √ √ √ 返回 课时测评 返回 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．将函数y＝sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(x)的图象，则 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的函数图象向左平移 个单位，最后所得到的图象对应的解析式 是_____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 >  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)用“五点法”画出函数的草图；(4分) 解：列表． 描点连线如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)函数图象可由y＝sin x的图象怎样变换得到？(6分) 解： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)指出f(x)的频率、振幅、初相、对称轴方程；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求f(x)在区间[0，2π]上的值域．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(15分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： (1)将上表数据补充完整，并写出函数y＝f(x)的解析式；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以表格补充如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)将函数y＝f(x)图象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求使g(x)≥0成立的x的取值集合．(9分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)写出函数f(x)的解析式；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 024个零点．(10分) ①当a>1或a<－1时，函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上无交点； ②当a＝1或a＝－1时，函数f(x)与y＝a在[0，π]上仅有一个交点，此时要使得函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上有2 024个交点，则n＝2 024； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 kπ±(k∈Z) y＝sin xy＝____________ 2．φ对函数图象的影响． y＝sin xy＝________________ 3．ω(ω＞0)对函数图象的影响 y＝sin xy＝____________． 5．将函数y＝sin图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 对点练1.先将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin x C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin X 0 π 2π x y 0 2 0 －2 0 ，π， x π 4π 7π x－ 0 π 2π y＝sin 0 0 － 0 例4函数y＝2sin＋1的单调递增区间为_____________________． ，k∈Z 显然当k＝0时，φ＝－满足题意．故选B． 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 1．奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． 2．单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调减区间． 3．对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴． (2)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________， 单调递增区间是___________________________． (k∈Z) ，k∈Z 例2　 函数y＝log2的单调递增区间为_____________________． 又y＝sin的单调递增区间为 4．函数y＝sin，x∈[0，2π]的单调递减区间为________________． ， 5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的周期为π，将其图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，现将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，若g＝，则f ＝ A． B．－ C． D． y＝sin sin＝sin＝sin ，因为0<<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin <sin ，即sin<sin . 2x＋ 0 π 2π x － y 1 2 1 0 1 ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 2 －2 0 ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 解：由题设得g(x)＝f ＝2sin≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z， 即 ，k∈Z. ④当a＝时，函数f(x)的图象与y＝a在[0，π]上有3个交点，此时要使函数f(x)的图象与函数y＝a在[0，nπ]上有2 024个交点，则正整数n不存在． $$