3 7.2.1 三角函数的定义&7.2.2 单位圆与三角函数线-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.2.1　三角函数的定义 7.2.2　单位圆与三角函数线 　 第七章　7.2　任意角的三角函数 知识目标 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．　 2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号． 3.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、 余弦和正切．　 4.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 素养目标 通过任意角的三角函数、三角函数线的概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养；借助角在各象限符号的判断和三角函数线的应用，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？ 问题导思 提示：在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边． 问题2.如图，锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，你能 否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广 到α是任意角时的情形呢？ 问题3.根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号． 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 1.锐角三角函数的坐标解释 新知构建 2．任意角的三角函数的定义 名称 定义 定义域 说明 正弦 sin α＝__ ____ ①α为任意角， ②P(x，y)， ③OP＝r 余弦 cos α＝__ ____ 正切 tan α＝__ ___________________ R R 对任意角的三角函数的理解 (1)三角函数是以角α为自变量，比值为函数值的一类函数，是正弦函数、余弦函数、正切函数等的统称，比值中的x不是自变量，y也不是函数值． (2)要明确sinα是一个整体，而不是sin与α的积，如同f(x)表示自变量为x的函数一样，离开α的“sin”“cos”“tan”等是无意义的． 微提醒 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号得出的．由于原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值，所以根据三角函数的定义可知： (1)正弦函数值的符号取决于_________的符号； (2)余弦函数值的符号取决于_________的符号； (3)正切函数值的符号由__________________的符号共同决定，即x，y同号为正，异号为负． 纵坐标y 横坐标x 纵坐标y与横坐标x 由上可得各三角函数在每个象限的符号，如图所示． 三角函数在各象限的符号的理解及记忆 三角函数在各象限的符号可简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值的符号均为正；第二象限内正弦值为正；第三象限内正切值为正；第四象限内余弦值为正． 微提醒 知识点三　单位圆与三角函数线 1．单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． 2．三角函数线 设角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于M. 各象限内的三角函数线如下表所示： 图形 第一象限 第二象限 图形 第三象限 第四象限 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示． (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段，在作三角函数线时，一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆． (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点． (4)三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长，正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值． 微提醒 1．下列选项中符号为负的是 A．sin 110° B．cos(－60°) C．tan 4 D．cos 自主检测 √ 2．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝ √ 3．已知角α的正弦线的方向与y轴正方向相同，余弦线的方向与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则 A．sin α＋cos α＝0 B．sin α－cos α＝0 C．tan α＝0 D．sin α＝tan α 由题意，得sin α＞0，cos α＜0，且|sin α|＝|cos α|，所以sin α＋cos α＝0.故选A． √ 4．已知角α的终边过点P(sin 1，cos 1)，则α是第________象限角． A．一 B．二 C．三 D．四 √ 返回 合作探究 返回 题型一　任意角的三角函数值 点拨：利用cos θ求x―→代入定义求值 又x≠0，所以x＝±1.又3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． (2)已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求sin α，cos α的值． 点拨：先确定角α终边上一个点的坐标，然后利用三角函数的定义求得sin α，cos α的值． 解：因为角α的终边落在直线y＝－3x上， 所以角α的终边落在第二象限或第四象限． 若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点(－1，3)， 若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点(1，－3)， 规律方法 已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1．先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 2．在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝ ，cos α＝ .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．　　 对点练1.(1)已知角α的终边经过点P(－4，3)，则sin α＝____；tan α＝___． (2)已知角θ的终边在直线4x＋3y＝0上，求3tan θ＋5cos θ的值． 设角θ的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)， 题型二　三角函数线及应用 点拨： 解：在平面直角坐标系中作单位圆，如图所示． 过单位圆与x轴正半轴的交点A作单位圆的切线，与OP的反向延长线交于点T， 规律方法 三角函数线的画法 1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线．得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． 2．作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线 ．　　 对点练2.利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1； 所以满足条件的所有角α的集合为 所以满足条件所有角α的集合为 题型三　三角函数值符号的判断与应用 例3　 (1)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(－210°)； 点拨：确定角的终边所在的象限→分别判断三角函数值符号→得出式子的符号 解：因为145°角是第二象限角， 所以sin 145°>0. 因为－210°＝－360°＋150°， 所以－210°角是第二象限角， 所以cos(－210°)<0， 所以sin 145°cos(－210°)<0. ②sin 3·cos 4·tan 5. 所以sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0， 所以sin 3·cos 4·tan 5>0. (2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定角α终边所在的象限． 点拨：确定2α的范围→确定α的范围→判断α的终边的位置 解：因为sin 2α>0，所以2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)． 当k为偶数时，可知α为第一象限的角； 当k为奇数时，可知α为第三象限的角． 所以α为第一或第三象限的角． 又因为cos α<0，所以α为第二或第三象限的角， 或α终边在x轴的非正半轴上． 综上知，角α的终边在第三象限． 规律方法 判断三角函数值正负的两个步骤 第一步：定象限：确定角α所在的象限； 第二步：定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．　　 [注意]　若sin α>0，α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． 对点练3.若角θ满足条件sin θcos θ<0，且cos θ－sin θ<0，则θ在 A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为sin θcos θ<0，所以θ在第二、四象限，又因为cos θ－sin θ<0，当θ在第二象限时，sin θ>0，cos θ<0，满足条件，当θ在第四象限时，sin θ<0，cos θ>0，不满足条件，所以θ在第二象限．故选B． √ 返回 随堂演练 返回 1．已知P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝ A．1 B．－5 √ √ A．0 B．1 C．2 D．3 √ 4．若sin θ≥0，则θ的取值范围是____________________． sin θ≥0，如图中阴影所示，利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z. [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 返回 课时测评 返回 1．若sin α>0，tan α<0，则α是 A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 由sin α>0，可得α的终边可能在第一或第二象限，也可能与y轴非负半轴重合；由tan α<0，可得α的终边可能在第二或第四象限．因为sin α>0，tan α<0两式都成立，所以α的终边只能在第二象限，于是角α是第二象限的角．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．对三角函数线，下列说法正确的是 A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在 D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在 √ 终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错误．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．sin 2·cos 3·tan 4的值 A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不确定 √ 因为2和3均为第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，因为4为第三象限的角，所以tan 4>0.所以sin 2·cos 3·tan 4<0.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知角α的终边经过点P(3，4)，则5sin α＋10cos α的值为 A．11 B．10 C．12 D．13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．sin 4，cos 4，tan 4的大小关系是 A．sin 4<tan 4<cos 4 B．tan 4<sin 4<cos 4 C．cos 4<sin 4<tan 4 D．sin 4<cos 4<tan 4 √ 作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 因为P(tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0.当tan α<0时，α角的终边在二、四象限，当cos α<0时，α角的终边在二、三象限，所以α为第二象限角，即α的终边在第二象限． 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知角α的终边过点P(－8m，－3)，且cos α＝－ ，则m的值为 ________，sin α＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点P′(－1，－2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(13分)判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(5分) 解：因为105°，230°分别为第二、第三象限角， 所以sin 105°>0，cos 230°<0. 于是sin 105°·cos 230°<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以3是第二象限角，所以cos 3<0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是 A． B．cos α－sin α C．sin αcos α D．sin α＋cos α √ √ 由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0.选项A， >0；选项B，cos α－sin α>0；选项C，sin αcos α<0；选项D，sin α＋cos α符号不确定． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由如图所示的三角函数线知： b＜a＜c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，过点T(x0，sin x0)，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，下列说法正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(m，m＋1)，且cos α＝ . (1)求m的值；(7分) 因为α为第一象限角，则m>0，所以m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求sin α(sin α＋cos α)的值．(10分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 － 例1　 (1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值． － 则sin＝||，cos ＝－||，tan ＝－||. 因为角α的终边经过点P(3，4)，则sin α＝＝，cos α＝＝，所以5sin α＋10cos α＝4＋6＝10.故选B． － 11．已知角α的终边经过点(m，2)，且cos α＝－，则实数m＝ A．－ B．±2 C．2 D．－2 整理得7m2－18m－9＝0，解得m＝3或－， $$