1 7.1.1 角的推广-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.1.1　角的推广 　 第七章　7.1　任意角的概念与弧度制 知识目标 1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．　 2.理解象限角的概念．　 3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置. 素养目标 通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养；借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象、数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？ 问题导思 提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针． 问题2.跳水运动员在空中连续转体一周半，运动员转过多少度的角？ 提示：540°. 问题3.我们现在把角的概念推广到了任意角，按照旋转方向将角分为正角、负角、零角三类，能否按照角的终边所处的位置将角进行分类？ 提示：可以．我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 知识点一　任意角的概念 1．角的概念 一条射线绕其______旋转到另一条射线所形成的______称为角．这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为______． 新知构建 端点 图形 转角 2.角的表示 如图所示， (1)始边：射线OA． (2)终边：射线OB． (3)顶点：射线的端点O. (4)记法：图中的角α也可记为“∠α”或“∠AOB”． 在不引起混淆的情况下，“∠α”可以简记为“α”． 3．角的分类 当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．因此，角的概念经过以上的推广以后，包括以下三类： 名称 定义 图形 正角 一条射线按________方向旋转而成的角 负角 一条射线按________方向旋转而成的角 零角 射线__________ 逆时针 顺时针 没有旋转 (1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反的旋转方向的角． (2)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线绕它的端点按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转或是没有旋转得到的． (3)角的概念推广以后，角的大小可以是任意的，不再局限于0°～360°(角α在0°～360°范围内指0°≤α<360°，其他类同)． (4)角的形成包含两个“元素”，旋转的方向与旋转的绝对量的大小． 微提醒 知识点二　终边相同的角与象限角 1．终边相同的角 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上． 一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可．任意两个终边相同的角，它们的差一定是_______的整数倍．因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为___________________________． 360° S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} (1)角α为任意角，条件“k∈Z”是必要条件． (2)k·360°－α＝k·360°＋(－α)． (3)“两个角的终边相同”是“两个角相等”的必要不充分条件．与角α终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． 微提醒 2．象限角 (1)定义 在平面直角坐标系中，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上时，____________________，就把这个角称为第几象限角． (2)象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 {α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z} 角的终边在第几象限 (1)若角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不落在x轴的正半轴上，则不能判断这个角是第几象限角． (2)象限角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}，但其本质是一样的． 微提醒 1．475°角的终边所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 自主检测 因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以115°是第二象限角，故475°角的终边所在的象限是第二象限．故选B． √ 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角．故选B． √ 3．与800°角终边相同的角可以表示为，k∈Z. A．k·360°＋40° B．k·360°＋60° C．k·360°＋80° D．k·360°＋180° 与800°角终边相同的角可以表示为800°＋k1·360°＝80°＋(k1＋2)·360°(k1∈Z)，即k·360°＋80°(k∈Z)．故选C． √ 4．α＝2 025°，则α的终边在第________象限． 因为2 025°＝5×360°＋225°，180°<225°<270°，所以α的终边落在第三象限． 三 5．下图中，射线OA绕端点O旋转到OB，OB1，OB2位置所成的角α＝________，β＝________，γ＝________． 图①中，OA旋转到OB所成的角是一个正角，α＝360°＋30°＝390°.图②中，OA旋转到OB1，OB2所成的角分别是一个负角和一个正角，β＝－(360°－210°)＝－150°，γ＝210°－150°＝60°. 60° 390° －150° 返回 合作探究 返回 题型一　任意角的概念及应用 例1　 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题： ①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有 A．1个　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 ①错误.0°角是象限界角；②③④正确． √ 点拨：利用任意角的有关概念来判断． (2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________． 点拨：首先看角的正负，然后再求转动了多少度． －960° 规律方法 与角的概念有关问题的解决方法 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．　　 对点练1.有下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角大于第一象限角； ④第二象限角是钝角； ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确命题的序号为________． ①锐角是第一象限角，故①正确；②－320°是第一象限角，但是－320°是负角，故②错误；③120°是第二象限角，400°是第一象限角，显然③错误；④480°是第二象限角，但不是钝角，故④错误；⑤0°<180°，不是钝角、直角，也不是锐角，故⑤错误．故答案为①. ① 题型二　终边相同的角 例2　 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角． 点拨：根据与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，写出与75°角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360°～1 080°范围内的角． 解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}． 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°. 综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角． 规律方法 1．写出终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在[0°，360°]内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁． 2．终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　　 对点练2.(1)终边在x轴上的角α的集合是 A．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} 当α的终边在x轴非负半轴上时，α＝n·360°，其中n∈Z；当α的终边在x轴非正半轴上时，α＝180°＋n·360°＝(2n＋1)180°，其中n∈Z，所以综上知：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}．故选A． √ (2)若角2α与240°角的终边相同，则α＝ A．120°＋k·360°，k∈Z　　 B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B． √ 题型三　象限角与区间角的表示 角度1　象限角的判定 例3　 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： (1)－120°；　 点拨： 解：因为－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，是第三象限角． (2)660°； 解：因为660°＝300°＋360°，所以在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，是第四象限角． (3)－951°. 解：因为－951°＝129°－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－951°角终边相同的角是129°角，是第二象限角． 角度2　区间角的表示 例4　 如图所示，写出终边落在阴影区域(不包括边界)的角的集合． 点拨： 解：方法一　在0°～360°范围内，终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角α应分别满足45°＜α＜135°，225°＜α＜315°. 所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ中的角的集合分别为A＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋135°，k∈Z}，B＝{α|k·360°＋225°＜α＜k·360°＋315°，k∈Z}． 故满足题意的角的集合为A∪B＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|k·360°＋225°＜α＜k·360°＋315°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋45°＜α＜2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋45°＜α＜(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z} ＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋135°，k∈Z}． 方法二　终边落在第一、三象限内的边界线上的一个角为45°，则终边落在该边界线上的角可写为45°＋k·180°，k∈Z；终边落在第二、四象限内的边界线上的一个角为135°，则终边落在该边界线上的角可写为135°＋k·180°，k∈Z，故所求角的集合为{α|k·180°＋45°＜α＜135°＋k·180°，k∈Z}． 规律方法 象限角的判定方法 1．根据图象判定，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． 2．将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．　　 对点练3.(1)若α是第四象限的角，则180°－α是 A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 若α是第四象限的角，即：k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z，所以k·360°<－α<k·360°＋90°，k∈Z，k·360°＋180°<180°－α< k·360°＋270°，k∈Z，则180°－α是第三象限的角．故选C． √ (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合． 若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z； 若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z； 所以，角α的终边在题图中阴影区域内时， 30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z. 故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}． 易错点　以偏概全 若α是第一象限角，则－ 是 A．第一象限角 B．第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 易错精析 典例 √ 误区警示：用分类讨论法解决分角象限问题时要注意找准分类角度，分类要做到不重不漏，切忌以偏概全. 返回 随堂演练 返回 1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是 A．120° B．－120° C．240° D．－240° 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°.故选D． √ 2．与－460°角终边相同的角可以表示成 A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈Z C．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.故选C． √ 3.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α＝ A．－480° B．－240° C．150° D．480° 由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，所以α＝480°.故选D． √ 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________． 观察图形可知，角α的集合是{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}． {α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} 返回 课时测评 返回 1．下列说法正确的是 A．不相等的角终边一定不相同 B．60°角与600°角是终边相同的角 C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为60° 对于A，30°与390°是不同的角，但终边相同，故A错误；对于B，600°＝360°＋240°，与60°终边不同，故B错误；对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角，故C错误；对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，所以钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为 ×360°＝60°，故D正确．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．钟表的分针在1.5小时内转了 A．180° B．－180° C．540° D．－540° 钟表的分针按顺时针旋转，所以1.5小时转了－360°×1.5＝－540°.故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是 A．315°－5×360° B．45°－4×360° C．－315°－4×360° D．－45°－10×180° 可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间．因为0°≤α<360°，所以k＝－5，则α＝315°.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是 A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 因为0°<α<90°，所以270°<360°－α<360°.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．下列各角中，与735°终边相同的角是 A．5° B．15° C．25° D．35° 与735°终边相同的角为α＝735°＋k·360°，k∈Z，取k＝－2，得α＝15°，所以15°与735°终边相同．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．在区间[－720°，－360°]上，与角210°终边相同的角为________． －510° 因为210°－2×360°＝－510°∈[－720°，－360°]，所以与角210°终边相同的角为－510°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________． 由条件知，2α＝α＋k·360°.所以α＝k·360°(k∈Z)，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°. 0° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合________________________ _______________． 阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}． ＋125°，k∈Z} {α|k·360°≤α≤k·360° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)549°； (3分) 解：549°＝189°＋360°，而180°＜189°＜270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边． (2)－60°；(3分) 解：－60°＝300°－360°，而270°＜300°＜360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)－504°.(4分) 解：－504°＝216°－2×360°，而180°＜216°＜270°. 因此，－504°角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°角有相同的终边． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为α是第四象限角， 所以k·360°＋270°<α<k·360°＋360°(k∈Z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为α＝k·360°＋120°，k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．电影《流浪地球》作为一部优秀的国产科幻电影，最终中国内地累计票房为46.55亿人民币．电影片长125分钟，讲述了太阳即将毁灭，人类试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事．在电影播放的时间里，钟表的分针转过的角度为 A．30° B．－30° C．750° D．－750° √ 分针是顺时针旋转的，因此分针1分钟转过的角度为－6°，则分针125分钟转过的角度为－6°×125＝－750°.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)下列给出的角中，与－660°终边相同的角有 A．60° B．780° C．－120° D．－1 740° √ √ √ 与－660°终边相同的角为k·360°－660°，k∈Z，令k＝2，可得2×360°－660°＝60°，令k＝4，可得4×360°－660°＝780°，令k＝－3，可得－3×360°－660°＝－1 740°.故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．若角β的终边与60°角的终边相同，在0°～360°范围内，终边与角 的终边相同的角为___________________． 20°，140°，260° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)下列四个结论中，正确的是 A．角α和角β的终边重合，则α－β＝k×360°，k∈Z B．角α和角β的终边关于原点对称，则α＋β＝k×360°＋180°，k∈Z C．角α和角β的终边关于x轴对称，则α＋β＝k×360°，k∈Z D．角α和角β的终边关于y轴对称，则α＋β＝k×360°＋180°，k∈Z √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，因为α，β终边重合，所以α＝β＋k×360°，k∈Z，即α－β＝k×360°，k∈Z，故A正确；对于B，由180°＋α与α是终边关于原点对称的两个角，所以角α和角β的终边关于原点对称，必有角α＝180°＋β＋k×360°，k∈Z，即α－β＝k×360°＋180°，k∈Z，故B错误；对于C，由－α与α是终边关于x轴对称的两个角，所以角α和角β的终边关于x轴对称，必有角β＝－α＋k×360°，k∈Z，即α＋β＝k×360°，k∈Z，故C正确；对于D，由180°－α与α是终边关于y轴对称的两个角，所以β与180°－α的终边相同，即β＝k·360°＋(180°－α)，k∈Z，所以α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z，故D正确．故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为α是第二象限角，所以90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 分针按顺时针方向转动，则转过的角是负角，角度值为－360°×2＝ －960°. 正解一：由题意知k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，则k·180°<<k·180°＋45°，k∈Z，所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z.当k为偶数时，－为第四象限角； $$