专题02 平行线重难点题型专训（22大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题02 平行线重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） 题型一 立体图形中平行的棱 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 反证法证明中的假设 题型四 用反证法证明命题 题型五 同位角、内错角、同旁内角 题型六 同位角相等两直线平行 题型七 内错角相等两直线平行 题型八 同旁内角互补两直线平行 题型九 垂直于同一直线的两直线平行 题型十 两直线平行同位角相等 题型十一 两直线平行内错角相等 题型十二 两直线平行同旁内角互补 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 题型十六 根据平行线的判定与性质求角度 题型十七 根据平行线的判定与性质证明 题型十八 平行公理的应用 题型十九 平行公理推论的应用 题型二十 求平行线间的距离 题型二十一 利用平行线间距离解决问题 题型二十二 平行线综合 知识点01 平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 知识点02 同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点03 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点04 平行线之间的距离 平行线间距离处处相等。 知识点05 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识点06 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 立体图形中平行的棱】 【例1】（2024·上海奉贤·一模）已知长方体如图所示，那么下列直线中与直线不平行也不垂直的直线是 A． B．GH C．HC D． 1．（23-24七年级下·上海闵行·单元测试）如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 3．（2024七年级下·上海虹口·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例2】（2024七年级下·上海宝山·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 1．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）如图中是利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明BC∥EF的条件是(　　) A．∠CAB＝∠EDF B．∠ACB＝∠DFE C．∠ABC＝∠DEF D．∠BCD＝∠EFD 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【经典例题三 反证法证明中的假设】 【例3】（2024七年级下·上海宝山·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 3．（2024七年级下·上海金山·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【经典例题四 用反证法证明命题】 【例4】（2024七年级下·上海·模拟预测）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 1．（23-24七年级下·上海崇明·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是 ． 3．（24-25七年级下·上海宝山期末）已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【经典例题五 同位角、内错角、同旁内角】 【例5】（24-25七年级下·上海徐汇·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，与是内错角的是 ． 3．（2024七年级下·上海静安·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【经典例题六 同位角相等两直线平行】 【例6】（23-24七年级下·上海虹口·单元测试）下列命题中，不正确的是 （         ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 1．（2024·上海·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 3．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【经典例题七 内错角相等两直线平行】 【例7】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，要得到，则需要条件 （填一个你认为正确的条件即可），理由是 ． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·课后作业）在下面的括号内填上推理的依据． 如图，．试说明：． 解：， ． ， ， （________）． ， ， （________）． 【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】 【例8】（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列图形中，由能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是 ． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·单元测试）如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 【经典例题九 垂直于同一直线的两直线平行】 【例9】（24-25七年级下·上海松江·课后作业）在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 1．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD的夹角是 度． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【经典例题十 两直线平行同位角相等】 【例10】（2025七年级下·上海静安·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 1．（2024·上海金山·二模）如图，两条平行线被第三条直线所截．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图， ，，则 ． 3．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）如图，，，．请你求出的度数． 【经典例题十一 两直线平行内错角相等】 【例11】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·上海嘉定·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·开学考试）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 3．（2025七年级下·上海金山·专题练习）（1）如下图，已知，直线，求的度数； （2）如下图，若，则与有什么数量关系？请说明理由． 【经典例题十二 两直线平行同旁内角互补】 【例12】（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，则图中与互补的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案： 方案1 方案2 方案3 过点A作， 则，， ∴． 过点C作，延长BC， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴． 在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（    ） A．方案1和方案2 B．方案1和方案3 C．方案2和方案3 D．方案2 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【经典例题十三 根据平行线的性质探究角的关系】 【例13】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·上海松江·模拟预测）如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 3．（23-24七年级下·上海奉贤·课后作业）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【经典例题十四 根据平行线的性质求角的度数】 【例14】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图所示，直线，直线与相交于点，与直线相交于点，于点，若，则（  ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·上海嘉定·模拟预测）如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 【经典例题十五 平行线的性质在生活中的应用】 【例15】（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 2．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 3．（2024七年级下·上海闵行·模拟预测）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【经典例题十六 根据平行线的判定与性质求角度】 【例16】（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海青浦·期中）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，． （1）若，则的度数为 ； （2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ． 3．（2024七年级下·上海崇明·模拟预测）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【经典例题十七 根据平行线的判定与性质证明】 【例17】（23-24七年级下·上海闵行·课后作业）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 2．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ． 3．（23-24七年级下·上海崇明·阶段练习）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【经典例题十八 平行公理的应用】 【例18】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 1．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【经典例题十九 平行公理推论的应用】 【例19】（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【经典例题二十 求平行线间的距离】 【例20】（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【经典例题二十一 利用平行线间距离解决问题】 【例21】（2024七年级下·上海宝山·模拟预测）（数学知识的综合应用）下列说法中，正确的有（     ）个． ①0既不是正数，也不是负数． ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军． ③不论a 取什么值，不可能等于． ④如图，两条平行线之间梯形的面积最大．    A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    3．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【经典例题二十二 平行线综合】 【例22】（23-24七年级下·上海奉贤·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 1．（23-24七年级下·上海杨浦·课后作业）已知，直线分别与直线交于点G、F，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K在直线上，过点K作直线与直线交于点H，与交于点P，平分交于点Q，直接写出与的数量关系：______； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作平分交于点T，连接交于点L，交于点O，交于点W，过点H作于点I，满足．若，，求线段的长度． 2．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 3．（23-24七年级下·上海金山·模拟预测）如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 3．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，把长方形沿对折，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）如图，在音符中，．若，则的度数为 ． 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 8．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处．若，则 ． 10．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 11．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 12．（24-25七年级下·上海静安·期末）已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 13．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 15．（24-25七年级下·上海虹口·期末）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究． 实践操作，提出问题： (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为________． (2)善思小组的同学们将一个三角板放在一组直线与之间，如图2，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们将三角板按图3方式摆放，使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的数量关系_________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） 题型一 立体图形中平行的棱 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 反证法证明中的假设 题型四 用反证法证明命题 题型五 同位角、内错角、同旁内角 题型六 同位角相等两直线平行 题型七 内错角相等两直线平行 题型八 同旁内角互补两直线平行 题型九 垂直于同一直线的两直线平行 题型十 两直线平行同位角相等 题型十一 两直线平行内错角相等 题型十二 两直线平行同旁内角互补 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 题型十六 根据平行线的判定与性质求角度 题型十七 根据平行线的判定与性质证明 题型十八 平行公理的应用 题型十九 平行公理推论的应用 题型二十 求平行线间的距离 题型二十一 利用平行线间距离解决问题 题型二十二 平行线综合 知识点01 平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 知识点02 同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点03 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点04 平行线之间的距离 平行线间距离处处相等。 知识点05 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识点06 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 立体图形中平行的棱】 【例1】（2024·上海奉贤·一模）已知长方体如图所示，那么下列直线中与直线不平行也不垂直的直线是 A． B．GH C．HC D． 【答案】C 【详解】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误； B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误； C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确； D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误． 故选C． 1．（23-24七年级下·上海闵行·单元测试）如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】根据判断异面直线的方法判断即可. 【详解】由题意得： 与棱AD异面的棱有：BB1,CC1,A1B1,C1D1 故选C. 【点睛】本题考查异面直线的概念：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，熟记概念是本题关键. 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 【答案】 ； AD与BG． 【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可； (2)根据平面内线段的位置关系回答即可. 【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)； (2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一). 故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系. 3．（2024七年级下·上海虹口·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例2】（2024七年级下·上海宝山·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）如图中是利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明BC∥EF的条件是(　　) A．∠CAB＝∠EDF B．∠ACB＝∠DFE C．∠ABC＝∠DEF D．∠BCD＝∠EFD 【答案】B 【分析】根据同位角相等，两直线平行可得，∠ACB＝∠DFE可以说明BC∥EF． 【详解】利用三角尺和直尺画平行线，实际就是画∠ACB＝∠DFE，由同位角相等可判定BC∥EF. 故答案选：B. 【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图，平行线的判定，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图，平行线的判定. 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键． （1）过作水平线即可； （2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可． 【详解】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；              图1 （2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；              图2 【经典例题三 反证法证明中的假设】 【例3】（2024七年级下·上海宝山·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 【答案】B 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：第一步应先假设， 故答案为：． 3．（2024七年级下·上海金山·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 【经典例题四 用反证法证明命题】 【例4】（2024七年级下·上海·模拟预测）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法． 【详解】解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”； 假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾． 故只有“好”． 故选：C． 1．（23-24七年级下·上海崇明·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B＜90°”时，应假设若AB=AC，则∠B≥90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是 ． 【答案】99 【分析】假设这100人中，有2人是不说真话的，这与其中任何2人中，至少有1名是说真话的相矛盾，从而得到这100人中，最多有1人是不说真话的，据此即可求解． 【详解】解：假设这100人中，有2人是不说真话的， 这与其中任何2人中，至少有1名是说真话的相矛盾， 所以，这100人中，最多有1人是不说真话的， 所以，这100人中，有1人是不说真话的，有99人是说真话的， 故答案为：99． 【点睛】本题考查了反证法的应用，这种方法经常在数学证明时使用，要灵活运用． 3．（24-25七年级下·上海宝山期末）已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)有理数 (2)数轴见解析 (3)不是偶数，不是奇数，理由见解析 【分析】（）把代入计算得出结果即可判断求解； （）把代入计算得出结果，再利用勾股定理把所得数在数轴上表示出来即可； （）利用反证法证明即可； 本题考查了无理数的定义，在数轴上表示无理数，反证法，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，是有理数， 故答案为：有理数； （2）解：当时，， 数轴表示如下： （3）解：当时，不是偶数，理由如下： 若是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵是偶数，是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数； 当时，不是奇数，理由如下： 假设是奇数，不妨设(的整数)， ∴， 整理得，， ∵为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∵为偶数， ∴不成立， ∴不是奇数． 【经典例题五 同位角、内错角、同旁内角】 【例5】（24-25七年级下·上海徐汇·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 1．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离以及同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∠A和∠BDC是直线AB、直线BD，被直线AC所截，得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．∠ABD和∠BDC是直线、直线AC被直线BD所截，得到的内错角，因此选项B不符合题意； C．点A到BC的距离是线段AB的长度，因此选项C符合题意； D．线段BD的长是点B到直线AC的距离，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及点到直线的距离，理解同位角、内错角、同旁内角以及点到直线的距离的定义是正确判断的前提． 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，与是内错角的是 ． 【答案】 【分析】内错角在截线的两侧，在被截线的内侧． 【详解】如图所示，与∠C是内错角的是∠2，∠3； 故答案是：∠2，∠3． 【点睛】本题考查了内错角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 3．（2024七年级下·上海静安·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 【经典例题六 同位角相等两直线平行】 【例6】（23-24七年级下·上海虹口·单元测试）下列命题中，不正确的是 （         ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、判断命题的真假，根据平行线的判定定理对各选项逐一判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原说法正确，不符合题意； B、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，原说法正确，不符合题意； C、两条直线被第三条直线所截，位置不确定，不能准确判定这两条直线平行，原说法错误，符合题意； 故选：C． 1．（2024·上海·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等， ∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 2．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 3．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 内错角相等两直线平行】 【例7】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 直接利用平行线的判定方法分别判断即可得出答案． 【详解】解：A、， ， 故A选项符合题意； B、， 不能判定， 故B选项不符合题意； C、， 不能判定， 故C选项不符合题意； D、， 不能判定， 故D选项不符合题意； 故选：A． 1．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意； B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，要得到，则需要条件 （填一个你认为正确的条件即可），理由是 ． 【答案】 （答案不唯一） 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：要得到，利用平行线的判定： ①同位角相等两直线平行，可填； ②内错角相等两直线平行，可填； ③同旁内角互补两直线平行，可填；； 故答案为：（答案不唯一）；同位角相等，两直线平行； 3．（24-25七年级下·上海徐汇·课后作业）在下面的括号内填上推理的依据． 如图，．试说明：． 解：， ． ， ， （________）． ， ， （________）． 【答案】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先证明，可得，根据平行线的判定得出，再证，可得，即可解答． 【详解】解：， ． ， ， （内错角相等，两直线平行）． ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】 【例8】（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行分析即可求解． 【详解】A．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，故该选项不符合题意； B．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，但不能推出直线，故该选项符合题意； C．与是与被直线所截形成的同旁内角，由能推出直线，故该选项不符合题意． D．与是与被直线所截形成的内错角，由能推出直线，故该选项不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列图形中，由能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、D、和是同旁内角，不能判定，故B、D不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定，故C符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐一判断即可，能正确根据平行线的判定进行推理是解题的关键． 【详解】若，则，故判断错误； 若，则，故判断错误； 若，则，故判断正确； ∵，，， ∴， ∴，故判断正确； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·单元测试）如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的定义，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法进行判定求解即可． 【详解】解：∵和是内错角，， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【经典例题九 垂直于同一直线的两直线平行】 【例9】（24-25七年级下·上海松江·课后作业）在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 1．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可． 【详解】、根据作图可知：，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 2．（2024·上海·模拟预测）如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD的夹角是 度． 【答案】50 【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴直线AB与BD的夹角是50度， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2) (3)直线与的位置关系是 【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，又，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得 ， 故答案为：； （3）解：直线与，的位置关系分别是，，直线与，的位置关系分别是，，从开始，直线，，…，与直线的位置关系以，，，为一次循环， ∴，， ∴直线与的位置关系是． 【点睛】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键． 【经典例题十 两直线平行同位角相等】 【例10】（2025七年级下·上海静安·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查真假命题、逆命题．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 1．（2024·上海金山·二模）如图，两条平行线被第三条直线所截．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由对顶角相等得到，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵两条平行线a，b被第三条直线c所截， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，由得出，再根据平行线的性质即可得解．解题的关键是掌握：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）如图，，，．请你求出的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 延长交直线于点，由得，由即可得，即可解答． 【详解】解：延长交直线于点，如图： ， ， ， ． 【经典例题十一 两直线平行内错角相等】 【例11】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【详解】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 1．（2024七年级下·上海嘉定·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·开学考试）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025七年级下·上海金山·专题练习）（1）如下图，已知，直线，求的度数； （2）如下图，若，则与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）．理见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和对顶角，邻补角的知识点，解题的关键是熟练运用平行线的性质以及角之间的关系进行计算和推理． （1）先根据对顶角相等求出与的度数，再利用平行线性质和邻补角关系求出与的度数； （2）根据平行线性质得到角的关系，再结合已知条件得出与的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ， ． （2）．理由如下： ， ． 又， ． 【经典例题十二 两直线平行同旁内角互补】 【例12】（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，则图中与互补的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与邻补角的定义，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由两直线平行，同旁内角互补可得，根据对顶角相等可得，于是有，又由邻补角的定义可得，从而得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ， ， ， 由图得， 故与互补的角是：，，，共个， 故选：． 1．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案： 方案1 方案2 方案3 过点A作， 则，， ∴． 过点C作，延长BC， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴． 在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（    ） A．方案1和方案2 B．方案1和方案3 C．方案2和方案3 D．方案2 【答案】B 【分析】根据平行线的性质即可求解． 本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补”是解题的关键． 【详解】解：方案1： 过点A作， 则（则两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴． 方案2： 过点C作，延长BC， 则（则两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴． 方案3： 过点B作， 则（则两直线平行，内错角相等）， （则两直线平行，内错角相等），， ∵， ∴． 方案1和方案3都没用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据，而方案2用到了， 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    【答案】/96度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：．    3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得，推出，根据平行线的性质得，继而得到，，再根据平行线的性质即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴，，（垂直的定义） ∴， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 【经典例题十三 根据平行线的性质探究角的关系】 【例13】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的有关计算，过点E作交于点Q，根据平分，平分，可得，，即可得．则有．进而可得．则有，即，代入即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点Q， ∵，， ∴，， ∴ 又平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴， 即， ∵， ∴． 故选：A． 1．（2024七年级下·上海松江·模拟预测）如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·课后作业）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    【经典例题十四 根据平行线的性质求角的度数】 【例14】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图所示，直线，直线与相交于点，与直线相交于点，于点，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，由可得，由垂直可得，进而利用平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，如图，由于垂直于地面，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 【详解】解：∵垂直于地面， ∴， 过点B作， ∵平行于地面， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 2．（2024七年级下·上海嘉定·模拟预测）如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，先利用邻补角求得，进而根据角平分线定义得，进而根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质、垂直的定义，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分，求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． （5）根据平行线的性质以及（4）的结论得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ 又∵，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴； （3），理由如下， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴， ∴； （4）∵， ∴ ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴； （5）如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 由（4）可得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【经典例题十五 平行线的性质在生活中的应用】 【例15】（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 3．（2024七年级下·上海闵行·模拟预测）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 【经典例题十六 根据平行线的判定与性质求角度】 【例16】（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．掌握平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质，是解题的关键． 先证明，再根据两直线平行同位角相等可得，再根据对顶角相等可得． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，过点作，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（23-24七年级下·上海青浦·期中）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，． （1）若，则的度数为 ； （2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ． 【答案】 或/或 【分析】（）设交于点，由，则，证明，然后根据平行线的性质即可求解； （）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，当三角形在线段右侧时进行分析即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，如图①，过点作， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； 当三角形在线段右侧时，如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 3．（2024七年级下·上海崇明·模拟预测）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 【经典例题十七 根据平行线的判定与性质证明】 【例17】（23-24七年级下·上海闵行·课后作业）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，所以正确； 因为，，所以，即，所以，所以正确； 无法证明． 所以正确的有3个． 故选C． 2．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握． 由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论． 【详解】解：，， ， ，故正确； ， ， ， ， 即平分，故正确； 无法证得， 故错误； 的余角比大， ， ， ， ， 设，， ， 平分， ， 平分， ， 即， ， 解得， 即，故正确； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海崇明·阶段练习）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案； （3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：过作，如图， ， ， ，， ， 即； （3）解：设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 【经典例题十八 平行公理的应用】 【例18】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等．过点作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差关系计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， 故选：B 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行公理即可判断与的位置关系；过点A作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行；． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十九 平行公理推论的应用】 【例19】（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析． 【分析】（）根据平行线的性质和判定即可求证， （）作，根据平行公理推论得，然后根据平行线的性质即可求解， 本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质和判定，平行公理推论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，如图，作， 则， 由（）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二十 求平行线间的距离】 【例20】（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 1．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 【经典例题二十一 利用平行线间距离解决问题】 【例21】（2024七年级下·上海宝山·模拟预测）（数学知识的综合应用）下列说法中，正确的有（     ）个． ①0既不是正数，也不是负数． ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军． ③不论a 取什么值，不可能等于． ④如图，两条平行线之间梯形的面积最大．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的分类和比较大小，几何图形的面积，掌握几何图形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：①0既不是正数，也不是负数，说法正确； ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军，说法正确； ③当时，等于，原说法错误； ④两条平行线之间图形的面积一样大，原说法错误； 故选B． 1．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高． 【详解】解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    3．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 【经典例题二十二 平行线综合】 【例22】（23-24七年级下·上海奉贤·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 1．（23-24七年级下·上海杨浦·课后作业）已知，直线分别与直线交于点G、F，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K在直线上，过点K作直线与直线交于点H，与交于点P，平分交于点Q，直接写出与的数量关系：______； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作平分交于点T，连接交于点L，交于点O，交于点W，过点H作于点I，满足．若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由角平分线的性质得，由可得，由平行线的判定即可证明平行； （2）分别过P、Q作，则得，则，，则易得； （3）由分别平分，得；过O作， 设，则由平行线的性质及角的和差可得，从而由，得；在中，由面积关系得，再由，，即可求得线段的长度． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过P、Q作， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴ ； 故答案为：； （3）解：∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 过O作，如图， 设， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 即； ∵，且， ∴设， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，互补关系，角平分线的定义等知识，构造平行线，利用平行线的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 【答案】(1) (2)的值不会变化，理由见详解 (3)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的的性质，解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，这个值不会变化，理由如下， 由（1）可知，， ∵，， ∴，即是定值， ∴，不会发生变化； （3）解：当时，如图所示， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； 当时，如图所示，设， 由（2）可知，（Ⅰ）， ∵，平分， ∴，即是等腰三角形， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴②， 把②代入①得，，整理得，（Ⅱ）， 由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，， 解得，， ∴； 当时，如图所示， 同理，是等腰三角形，，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时，， ∵， ∴，即， ∴该种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或或． 3．（23-24七年级下·上海金山·模拟预测）如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为2 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质，利用数形结合探究角的运算关系是解答的关键． （1）由平行线的性质得，则；再由角平分线的定义得，结合已知，即可求解； （2）设交于点H；先求得，由角平分线定义得，则，利用互补关系即可求解； （3）由角平分线与三角形外角的性质得：，，则可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， 即； 平分， ； ， ， ， 即， 即； （2）解：如图，设交于点H； 由（1）知，且， ； 平分，平分， ， ， ；    （3）解：不变； ，，， ； 同理：； 平分，平分， ， ， ， ； 即的值不变，且为2． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质与判定进行分析即可：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之，也成立，可判断①，②，③，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可判断④． 【详解】解∶ ①两直线平行，同旁内角互补 ，是性质，符合题意； ②同位角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ③内错角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是判定定理，不符合题意． 故选∶ A． 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 3．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，把长方形沿对折，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形，得到，得到，结合折叠的性质，得，结合，计算即可． 本题考查了长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握长方形的性质，折叠性质是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴． 故选D． 4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先过点作，过点作，根据平行线的性质可证，根据，，可得，，再根据两直线平行内错角相等可得，，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， ， ，， ， ． 故选：D ． 6．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）如图，在音符中，．若，则的度数为 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 8．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    【答案】① 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念． 9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处．若，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握是解题的关键． 先由平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此利用平角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ． 故答案为：64． 10．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 【详解】（1） （2） （3） 12．（24-25七年级下·上海静安·期末）已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先证，可得，再证，可证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当等于或时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， （1）先证明即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出即可求出结论； （3）分两种情况：当点E在上方时或当点E在下方时，分别根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：（1），， ， ； （2）， ， ； （3）当点E在上方时，设与交于点G， ， ， ， ； 当点E在下方时，设与直线交于点H， ， ， ， ； 综上所述，当等于或时，． 15．（24-25七年级下·上海虹口·期末）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究． 实践操作，提出问题： (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为________． (2)善思小组的同学们将一个三角板放在一组直线与之间，如图2，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们将三角板按图3方式摆放，使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的数量关系_________． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$