精品解析：广西钦州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量监测数学试题

钦州市2024年秋季学期高一年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第六章，第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查集合的补集运算. 【详解】由，则． 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B 3. 某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例关系，即可列式求解. 【详解】女生被抽取的人数为. 故选：B 4. “”是“是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据是幂函数求出的值，再根据充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】若是幂函数，则，得， 所以“”是“是幂函数”的充要条件， 故选：B 5. 我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 21.55% B. 21.65% C. 21.4% D. 21.7% 【答案】A 【解析】 【分析】把给定的数据由小到大排列，再利用百分位数的定义求解即得. 【详解】将这组数据从小到大排列为10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%. 因为，所以这组数据的75%分位数为. 故选：A 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 7. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数. 故选：C 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 25 B. 6 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质和函数单调性逐项判断即可. 【详解】由，，得，A正确； 当时，，B错误． 因为是增函数，，所以，C正确； 因为是减函数，，所以，D错误； 故选：AC 10. 已知集合A，B满足，，则A，B可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】应用已知分别求交集及并集判断A，B，C选项，结合指数函数及对数函数值域判断D. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由得所以，，C正确； 对于D，因为，，所以，D错误. 故选：AC. 11. 已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为奇函数，且则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 13. 函数的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，根据单调性可得函数的最小值. 【详解】由得，则定义域为． 因为在上都是增函数， 所以在上是增函数， 所以的最小值为． 故答案为：1. 14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可. 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算性质求值. （2）根据对数的概念和换底公式进行计算. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数（，且）的图象过点，． （1）求，的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数解析式，解方程组即可求解； （2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得，所以， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为． 17. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】（1）. （2）37.5吨. （3）平均数为37吨，方差为81. 【解析】 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【小问1详解】 由图可得，得. 【小问2详解】 设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. 【小问3详解】 估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 18. 已知是偶函数，，且在上单调递增． （1）比较与2的大小； （2）求不等式的解集； （3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用函数在上单调递减即可计算比较； （2）应用函数是偶函数结合函数的单调性解不等式即可； （3）分别应用函数在上单调递减，在上单调递增，结合对数不等式计算求解. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以． 又在上单调递增，所以在上单调递减， 则，即． 【小问2详解】 由，得， 得，解得或， 即不等式的解集为． 【小问3详解】 当时，在上单调递减，在值域为，所以不等式不恒成立． 当时，上单调递减，在上单调递增， 要使不等式在上恒成立，则，得，得，即． 综上，的取值范围为． 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】（1）①；②是凹函数，证明见解析 （2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【解析】 分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【小问1详解】 ①根据题意，， 所以； ②是凹函数； ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故是凹函数. 【小问2详解】 ， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钦州市2024年秋季学期高一年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第六章，第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. “”是“是幂函数”（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 21.55% B. 21.65% C. 21.4% D. 21.7% 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 25 B. 6 C. 10 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合A，B满足，，则A，B可能（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 11. 已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为奇函数，且则______. 13. 函数的最小值为________． 14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）. 16. 已知函数（，且）的图象过点，． （1）求，值； （2）求不等式的解集． 17. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 18. 已知是偶函数，，且在上单调递增． （1）比较与2的大小； （2）求不等式的解集； （3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $