第二十二章 四边形 同步习题 2024-2025学年冀教版数学八年级下册

第二十二章 四边形 同步习题 2024-2025学年冀教版数学八年级下册 一、单选题 1．根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，设三角形纸片ABC的内角和为a，外角和为b，将该纸片剪掉一角得四边形BCDE，设四边形BCDE的内角和为m，外角和为n，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ． 8．用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为 ． 9．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ． 10．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件： ，使四边形ABCD成为菱形． 11．如图，线段AB两点的坐标分别为、，在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 12．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 三、解答题 13．小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱中沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？ 14．图，点D为△ABC边AC上一点，过点D作DE∥AB，点O为BE的中点，连接AO并延长，交DE的延长线于点F，连接AE、BF． (1)试判断四边形ABFE的形状，并说明理由； (2)若AB＝BF，AC＝10，，求OC的长． 15．如图，在菱形中，，周长是．求：    (1)两条对角线的长度； (2)菱形的面积． 16．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF． 求证：（1）≌； （2）． 17．活动1 用多边形镶嵌平面 【描述定义】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖、铺砌）平面． 【活动目的】通过用多边形镶嵌平面的图案的过程，进一步理解平面镶嵌，掌握多边形的镶嵌的条件． 【理论支撑】在每个公共顶点处，各角的和是． 【进程跟踪】小组成员在掌握正多边形内角的基础上，通过观察与计算，利用方程思想求得正整数解，从而用理论支撑进行镶嵌操作.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？ 问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？ 验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①_____________，整理得②____________， 我们可以找到方程的正整数解为③____________． 结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④__________个正方形和⑤_________个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D C B D 1．B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 【详解】解：A、只有一个角为的平行四边形无法判断为菱形，故不合题意； B、由已知角可得一组邻边相等，这样的平行四边形为菱形，故符合题意； C、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； D、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； 故选：B． 2．C 【详解】试题解析：∵△ACE≌△BDF， ∴AC=BD、CE=DF、AE=BF， ∵AB=CD=EF， ∴平行四边形有▱ACDB、▱CEFD、▱AEFB三个， 故选C. 点睛：利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形即可； 3．D 【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果． 【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°， ∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 4．C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 根据折叠的性质可得出，进而、，再证，根据全等三角形的性质可得出，设，则，，，依据中，，解方程，即可确定的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 根据折叠可知：， ，． 在和中， ， ， ，， ， 设，则，，， ， 中，， 即， ， ， 故选：C． 5．B 【分析】取AB的中点G，接DG，CG，过C作于点H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：取AB得中点G，连接DG，CG，过点C作交AB延长线与H． ∵点D是AE的中点，点G是AB的中点， ∴AD = ED，AG=BG， ∴DG是的中位线， ∴DG=BE， ∵AB=BC=BE=2， ∴DG=1，BG=1， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴HG= BG +BH=2， 在中， ， ∵， ∴， ∴当且仅当D、G、C三点共线时，线段CD取最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关解题的键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答． 6．D 【分析】利用多边形的外角和都等于，根据三角形及四边形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：，，，， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形与四边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握和运用多边形的内角和与外角和定理是解决本题的关键． 7． 【分析】本题考查矩形的知识，熟知矩形的性质是解题的关键； 本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，结合已知条件，列出等式进行计算即可． 【详解】∵矩形的周长为， ∴cm， ∴cm．① ∵的周长比的周长多cm， ∴cm． ∵点是矩形的对角线的交点， ∴， ∴cm．② 联立①②，解得cm， cm． ∴cm， cm． ∴矩形的各边长分别为． 故答案为： 8．10/十 【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是的正多边形即可解答． 【详解】解：正五方形的一个内角度数为， ∴需要的多边形的一个内角度数为， ∴需要的多边形的一个外角度数为， ∴第三个正多边形的边数为． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 9．（答案不唯一） 【分析】】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下： ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：∠A=90°（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 10．AB=AD. 【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定． 【详解】添加AB=AD， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为AB=AD． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 11．（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）/（﹣，﹣）或（﹣6，﹣4） 【分析】先证明OB＝AB，再分△ABO≌△BAC和△ABO≌△ABC两种情况，画出图形，再进行求解即可． 【详解】解：∵线段AB两点的坐标分别为、， ∴OB＝，AB＝， ∴OB＝AB， 以点A，B，C为顶点的三角形与全等，存在两种情况： ①△ABO≌△BAC，如图1， ∴OA＝BC，AC＝BO， ∴四边形ACBO是平行四边形， ∵点A（﹣4,0），点（﹣2，﹣4），点O（0，0）） ∴点C的坐标是（﹣6，﹣4）； ②△ABO≌△ABC时，如图2，连接OC交AB于点P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵AC＝AO，BC＝BO， ∴AB是OC的垂直平分线， ∴∠APO＝90°， ∵， ∴ 由勾股定理得， AP＝， ∵， ∴PF＝， ∴OF＝， ∵PFCE，OP＝PC， ∴ OE＝2OF＝，CE＝2PF＝， ∴点C的坐标是（﹣，﹣）； 综上所述，点C的坐标是（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）． 故答案为：（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣） 【点睛】.此题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式、平行四边形的判定和性质、勾股定理、垂直平分线的判定和性质、全等三角形的性质等知识，分情况讨论是解决此题的关键． 12．3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．不一定，如要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等． 【分析】根据正方形的判定定理求解即可．正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形；2.对角线垂直的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形． 【详解】不能认为小颖买的这块纱巾一定是正方形． ∵菱形也满足要求，如要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形；2.对角线垂直的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形． 14．(1)平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据点O是BE的中点，有OB＝OE，由得到，则有，即可证得，则有，又有，即四边形ABFE是平行四边形； （2）在平行四边形ABFE中，AB＝BF，即可判断平行四边形ABFE是菱形，即有，，在直角三角形AOC中，，，则，利用勾股定理即可求出OC． 【详解】（1）四边形ABFE是平行四边形，理由如下： ∵点O是BE的中点， ∴OB＝OE， ∵， ∴， ∴， 在△ABO和△FEO中， 有： ∴， ∴， 又∵， ∴四边形ABFE是平行四边形． （2）解：在平行四边形ABFE中，AB＝BF， ∴平行四边形ABFE是菱形， ∴， ∴， 在直角三角形AOC中， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形等知识，证得是解答本题的关键． 15．(1)， (2) 【分析】（1）由四边形是菱形，，可得是含的直角三角形，进而可求得答案； （2）由菱形的面积等于对角线乘积的二分之一可求得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∴， ∴， ∵菱形的周长是. ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：. 【点睛】本题考查了菱形的性质和面积求法，熟练掌握相关知识是解题关键． 16．（1）证明见详解；（2）证明见详解； 【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠BAE=∠DCF，再根据BE//DF得到∠BEF=∠DFE，所以它们的邻补角相等，三角形全等； (2)由三角形全等得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证． 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，AB∥CD， ， ∵BE∥DF， ， ， ≌． ≌， ， ∵BE∥DF， 四边形BEDF是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用． 17．猜想1：①；②；③；④1；⑤2； 猜想2：能；见解析 【分析】猜想1：根据题意列出方程组，整理方程组，求出方程组的正整数解即可； 猜想2：仿照题干中提供的方法，列出方程组，求出方程组的正整数解即可得出答案． 【详解】解：猜想1： 在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：①， 整理得：②， 方程的正整数解为③， 结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面． 故答案为：①；②；③；④1；⑤2． 猜想2：能；验证如下： 设围绕某一个点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得方程：， 整理得：， ∴方程的正整数解为：或， 方案1：在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形； 方案2：在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），二元一次方程组的应用，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$