第16章 分式 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第16章 分式 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．代数式中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】分母中含有字母的式子就叫做分式；注意是一个具体的数，不是字母． 本题考查分式的定义，关键是分式定义的熟练掌握． 【详解】解：在中，分式有，共1个， 故选：A 2．若分式有意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故选B． 3．为了人体的健康，国家质检局规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤制品的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在千克以下，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此解答即可． 【详解】解：， 故选：B 4．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 移项得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 故选：D． 5．如果把分式中都扩大3倍，那么分式的值会（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：把分式中都扩大3倍， ∴， ∴分式的值会缩小3倍， 故选：C ． 6．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了分式方程的实际应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系是解决问题的关键． 设该厂原来每天生产个零件，则采取了新技术后每天生产个零件，根据采取新技术前后共用天完成任务列出方程即可． 【详解】解：设该厂原来每天生产个零件， 依题意得：， 故选D． 7．下面是两同学化简的部分过程．甲、乙两同学解题的依据分别是（    ） 甲：原式乙：原式 A．分式的基本性质、乘法对加法的分配律 B．分式的基本性质、乘法交换律 C．等式的基本性质、乘法对加法的分配律 D．等式的基本性质、乘法交换律 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算和乘法对加法的分配律，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据甲、乙的解题过程即可得出结论． 【详解】解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：A． 8．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键．把变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，根据分式方程的解法，将分式方程化为整式方程得，由题中已知得到不等式，，求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是为且． 故选：C． 10．已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子…的结果为（   ） A．t B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，求出所求式子的值．根据题意，可以写出前几项的值，即可发现数字的变化特点，从而可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ，， ， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 12．约分： . 【答案】 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．把分子分母都约去公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 13．分式的值为0，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，解一元一次方程等知识点，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键．根据分母不为零且分子为零的条件进行解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：， 故答案为：． 14．若，则的大小关系为 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，本题需先分别求出的值，再进行比较，即可求出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，代数式求值等．根据题意可得，再将其代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，需缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为米，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键． 先求出实际施工时每天铺设跑道的长度为米，再根据结果提前2天完成任务建立方程即可． 【详解】解：由题意得：实际施工时每天铺设跑道的长度为米， 则可列方程为， 故答案为： ． 17．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键． 先根据，，求得，，，再将其代入分式求值即可； 【详解】解：，，， ， ， ， 即，，， 原式； 故答案为： 18．若一个三位自然数中（其中，，，，为整数），是一个完全平方数，且，那么这样的数称为“和方数”．例如：一个三位数198，∴，∴198是“和方数”，则最大的“和方数”为 ；若一个“和方数“能被6整除，且为整数，则满足条件的“和方数”的最小值为 ． 【答案】 990 396 【分析】根据题意可设，，为整数，，根据“和方数”的定义可求出或或，根据，可得、的值，即可求出最大和方数；根据能被6整除，得出“和方数“或或或或，再结合为整数，得出或，即可作答．本题主要考查了因式分解的应用，实数的新定义，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意，设，，为整数，且一个三位自然数， ∵，是一个完全平方数， ∴， ∴， ∴或或， ∴当时，则， ∵，，，为整数 ∴， 此时“和方数”， ∴当时，则， ∵，，，为整数， ∴或或， 此时“和方数”或或， ∴当时，则， ∵，，，为整数， ∴或或或或或或或或， 此时“和方数”或或或或或或或或， ∴最大的“和方数”为， ∵一个“和方数“能被6整除， ∴“和方数“或或或或， ∵为整数， ∴当时，则不是整数，故舍去； ∴当时，则， ∴当时，则， ∴当时，则不是整数，故舍去； ∴当时，则； 综上：满足条件的“和方数”的最小值为． 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算、分式方程的求解，熟练掌握运算法则及运算步骤是解题的关键． （1）原式利用乘方的意义、绝对值的代数意义、算术平方根以及负整数指数幂计算即可； （2）利用解分式方程的步骤求出x的值，再将所求得的x值代入进行检验，即可得出答案． 【详解】解：（1）原式． （2）去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 检验：当时，． 原分式方程的解是． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后将代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．为落实全民健身国家战略，丰富广大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作，两种纪念章．经了解，每个种纪念章比每个种纪念章多4元，用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，，两种纪念章每个各为多少元？ 【答案】每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元 【分析】本题主要考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，设种纪念章为元/件，则种纪念章为元/件，由此列式求解即可． 【详解】解：设种纪念章为元/件，则种纪念章为元/件， 根据题意得：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ∴， 答：每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元． 22．阅读理解 [提出问题]已知，求分式的值； [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)[解决问题]设，则，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 ____； (2)[拓展应用]已知，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把a，b，c的值代入进行计算，即可解答； （2）仿照（1）的解题思路进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， 将它们分别代入中， 则2， 故答案为：； （2）解：设t， ∴， ∴． 23．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 24．发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 (1)如果，那么的值是_______，的值是_________； (2)如果． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（）根据多项式的乘法法则计算即可求解； （）①由多项式的乘法法则可得，，再把值代入展开后的结果中计算即可求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即可求解； 本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴，， ∴ ； ② ． 25．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1），；（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：；（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．代数式中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若分式有意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．为了人体的健康，国家质检局规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤制品的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在千克以下，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．如果把分式中都扩大3倍，那么分式的值会（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 6．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（　　） A． B． C． D． 7．下面是两同学化简的部分过程．甲、乙两同学解题的依据分别是（    ） 甲：原式乙：原式 A．分式的基本性质、乘法对加法的分配律 B．分式的基本性质、乘法交换律 C．等式的基本性质、乘法对加法的分配律 D．等式的基本性质、乘法交换律 8．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 9．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子…的结果为（   ） A．t B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．计算： ． 12．约分： . 13．分式的值为0，则的值为 ． 14．若，则的大小关系为 （用“<”连接）． 15．已知，则 ． 16．学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，需缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为米，则所列方程为 ． 17．已知，，，则的值为 ． 18．若一个三位自然数中（其中，，，，为整数），是一个完全平方数，且，那么这样的数称为“和方数”．例如：一个三位数198，∴，∴198是“和方数”，则最大的“和方数”为 ；若一个“和方数“能被6整除，且为整数，则满足条件的“和方数”的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．（1）计算：； （2）解方程：． 20．先化简，再求值：，其中． 21．为落实全民健身国家战略，丰富广大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作，两种纪念章．经了解，每个种纪念章比每个种纪念章多4元，用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，，两种纪念章每个各为多少元？ 22．阅读理解 [提出问题]已知，求分式的值； [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)[解决问题]设，则，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 ____； (2)[拓展应用]已知，求分式的值． 23．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 24．发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 (1)如果，那么的值是_______，的值是_________； (2)如果． ①求的值； ②求的值． 25．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$