3 5.1.3 数据的直观表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.1.3　数据的直观表示 知识层面 1.了解柱形图、折线图、扇形图的统计意义及应用．　2.能够利用茎叶图解决实际问题．　3.会列频数分布直方图，会列频率分布直方图．　4.能够根据图示信息计算样本的数字特征加以分析，并解决实际生活中的统计问题． 素养层面 通过频率分布直方图及频率分布折线图的学习，培养直观想象、数据分析素养；借助茎叶图及频率分布直方图解决实际问题，提升数学运算素养． 2024年某市居民的支出构成情况如下表所示： 食品 衣着 家庭设备用 品及服务 医疗 保健 交通和 通信 教育文化 娱乐服务　 居住 杂项商品 和服务 39.4% 5.9% 6.2% 7.0% 10.7% 15.9% 11.4% 3.5% 问题　(1)要直观、形象地表示这些数据间的数量关系，应作出哪种统计图？ (2)要直观、形象地表示这些数据在全部数据中所占的比例，应作出哪种统计图？ 提示：(1)柱形图．(2)扇形图． 知识点一　柱形图、折线图、扇形图 1．柱形图(也称为条形图) 作用 形象地比较各种数据之间的数量关系 特征 (1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例 (2)每一矩形都是等宽的 2.折线图 作用 形象地表示数据的变化趋势 特征 一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据 3.扇形图(也称为饼图、饼形图) 作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例 特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比 知识点二　茎叶图 作用 (1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征 (2)可以看出一组数的分布情况，可能可以得到一些额外的信息 (3)比较两组数据的集中或分散程度 特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列 [微提醒]　茎叶图的统计意义 茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来表示单组数据．茎叶图反映数据的大致集中趋势，并能直接得到中位数(一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置的数或中间两个数的平均数，称为该组数据的中位数)，对数据的稳定性作出判断． 知识点三　频数分布直方图与频率分布直方图 1．画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤 (1)找出最值，计算极差； (2)合理分组，确定区间； (3)整理数据； (4)作出有关图示． 学生用书第55页 频数分布直方图 纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比 频率分布直方图 纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1 2.频数分布折线图和频率分布折线图 把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交． [微提醒]　1. 频率分布表的理解 由频率的定义不难得出，各组数据的频率之和为1，因为各组数据的个数之和等于样本容量．在列频率分布表时，可以利用这种方法检查是否有数据的丢失．因此表格最后一行可加上“合计”． 2．频率分布直方图的理解 (1)每一组数对应的矩形高度是，而不是. (2)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各个小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (3)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和等于1. 1．某校高二年级学生到校方式的条形统计图如图所示，根据条形统计图可知骑自行车的人数占高二年级学生总人数的(　　) A．20% B．30% C．50% D．60% 答案：B 解析：高二年级学生总人数为60＋90＋150＝300，所以骑自行车的人数占高二年级学生总人数的×100%＝30%. 2．某淡水湖由A，B，C，D等河流汇聚而成，其水源结构的扇形统计图如图所示，据图可知B所占的百分比为(　　) A．25% B．20% C．18% D．15% 答案：B 解析：由图可知，B所占的百分比为×100%＝20%. 3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 答案：B 解析：由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，所以数据落在区间[22，30)内的频率为＝0.4. 4．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本频数为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 答案：B 解析：因为样本容量为32 ，某组样本的频率为0.25, 所以该组样本的频数＝0.25×32＝8.故选B. 5．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)[50，55)，[55，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人． 答案：48 解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人). 题型一　统计图表的综合应用 例1　随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了解他的好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日这天行走的情况分为四个 学生用书第56页 类别：A(0～5 000步)(说明：“0～5 000”表示大于等于0，小于等于5 000，下同)，B(5 001～10 000步)，C(10 001～15 000步)，D(15 000步以上)，统计结果如图所示： 请依据统计结果回答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了________位好友； (2)已知A类别好友人数是D类别好友人数的5倍． ①请补全柱形图(图(1))； ②扇形图(图(2))中，“A”对应扇形的圆心角为________； ③若小陈共调查了150人，请根据调查数据计算其中有多少位好友在6月1日这天行走的步数超过10 000步． [思路点拨]　(1)由B类别人数及其所占百分比可得总人数． (2)①设D类别人数为a，则A类别人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全柱形图；②用360°乘以A类别人数所占比例可得；③用样本容量乘以样本中C，D类别人数之和所占比例可得． 解：(1)本次调查的好友人数为6÷20%＝30. (2)①设D类别好友人数为a，则A类别好友人数为5a. 根据题意，得a＋6＋12＋5a＝30，解得a＝2. 即A类别好友人数为10，D类别好友人数为2. 补全柱形图如图所示． ②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×＝120°. ③被调查的150人中，6月1日这天行走的步数超过10 000步的好友人数为150×＝70. 1．综合应用统计图解决问题的思路 柱形图可以直观地表示各个项目的具体数量．扇形图能够清晰地显示各个项目占总体的百分比，解决统计类问题时常需将两种统计图结合，不能孤立分开． 2．求百分比确定扇形圆心角的度数 在扇形图中，每部分对应扇形的圆心角的度数＝360°×该部分占总体的百分比．所以要求圆心角的度数，则需求出该部分占总体的百分比．　　 对点练1.某校高一年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，年级主任随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和如图所示的扇形图． 学生读书数量统计表 阅读量/本 学生人数 1 15 2 a 3 b 4 5 则m＝________，a＝________，b＝________． 答案：50　10　20 解析：由题意可得，m＝15÷30%＝50，b＝50×40%＝20，a＝50－15－20－5＝10，即m的值是50，a的值是10，b的值是20. 题型二　茎叶图的绘制及其应用 例2　在某杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下： 10，28，31，17，23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，15，22，11，24，27，17. 在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下： 27，39，33，24，28，19，32，41，33，27，35，12，36，41，27，13，22，23，18，46，32，22. 学生用书第57页 (1)用茎叶图表示这两组数据； (2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？ [思路点拨]　(1)题干中的数据是十位数分别为1，2，3，4的两位整数，选择1，2，3，4为茎，绘制茎叶图．(2)从数据的分布情况作出解释，答案不唯一，只要合理、符合实际即可． 解：(1)茎叶图如图所示． (2)杂志上的文章每个句子的字数集中在10～30之间，而报纸上的文章每个句子的字数集中在20～40之间．还可以看出杂志上的文章每个句子的平均字数比报纸上的文章每个句子的平均字数要少，说明杂志作为科普读物，需通俗易懂、简明． 绘制茎叶图的注意点 1．绘制茎叶图时需注意“叶”的位置的数字位数只有一位，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一． 2．茎叶图可用于确定数据的中位数，判断数据大致集中在哪个茎，是否关于该茎对称，是否分布均匀等．　　 对点练2.甲、乙两位同学高三8次物理模拟考试成绩如图所示，甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则m＝________． 答案：5 解析：由题意知，甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，即×(73＋79＋82＋85＋80＋m＋83＋92＋93)＝84，解得m＝5. 题型三　频率(频数)分布直方图的绘制及应用 例3　某地某月1～20日中午12时的气温(单位：℃)如下： 22　31　25　15　18　23　21　20　27　17 20　12　18　21　21　16　20　24　26　19 (1)将下列频数分布表补充完整： 气温分组 划记 频数 12≤x＜17 3 17≤x＜22 22≤x＜27 27≤x＜32 2 (2)补全如下图所示的频数分布直方图； (3)根据频数分布表或频数分布直方图，分析数据的分布情况． [思路点拨]　(1)根据数据采用画“正”字计数法记录即可．(2)由(1)中所得表格补全图形即可．(3)根据频数分布表或频数分布直方图给出合理结论即可． 解：(1)补充表格如下： 气温分组 划记 频数 12≤x＜17 3 17≤x＜22 正正 10 22≤x＜27 正 5 27≤x＜32 2 (2)补全频数分布直方图如下图所示． (3)答案不唯一．如由频数分布直方图知，气温分布在17≤x<22的天数最多，共有10天． 　 给出数据绘制频率(频数)分布直方图的题目，涉及数据较多，找到最大值和最小值确定极差是合理分组的前提．需注意：(1)为使各数据都在分组内，可将区间两端点的数据进行适当调整；(2)正确计算数据落在各小组的频数．　　 对点练3.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组 学生用书第58页 距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是(　　) 答案：A 解析：由茎叶图知，各组频数统计如下表： 分组 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 频数 1 1 4 2 4 3 3 2 上表对应的频率分布直方图中应有8个小矩形，故排除C，D；又区间[0，5)，[5，10)内的频数分别为1，1，则在频率分布直方图中，它们对应的小矩形的高应相等，故排除B.选A. 题型四　频率分布直方图的相关计算问题 例4　如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________． [思路点拨]　 由“＝样本容量”求出样本中的城市总数→ 样本中的城市总数×气温不低于25.5℃的城市的频率＝气温不低于25.5℃的城市个数 答案：9 解析：样本中平均气温低于22.5℃的城市的频率为0.10×1＋0.12×1＝0.22，样本中的城市总数为11÷0.22＝50，样本中平均气温不低于25.5℃的城市的频率为0.18×1＝0.18，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18＝9. 与频率分布直方图有关的关系式 由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： (1)矩形面积＝组距×＝频率． (2)各矩形的面积之和等于1. (3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．　　 对点练4.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30，40)的同学比支出的钱数在[10，20)的同学多26人，则n的值为________． 答案：100 解析：由频率分布直方图可得支出的钱数在[30，40)的同学有0.038×10n＝0.38n个，支出的钱数在[10，20)的同学有0.012×10n＝0.12n个，又支出的钱数在[30，40)的同学比支出的钱数在[10，20)的同学多26人，所以0.38n－0.12n＝0.26n＝26，解得n＝100. 学生用书第59页 1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是(　　) 答案：D 解析：用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是柱形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图． 2．国庆节期间，某市一周每天最高气温(单位：℃)情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是(　　) A．22　　　　　　　 B．24 C．25 D．27 答案：B 解析：中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将这组数据重新排序为20，22，22，24，25，26，27，所以中位数是按从小到大排列后第4个数为24.故选B. 3．某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　) A．40 B．45 C．50 D．60 答案：C 解析：由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20×(0.005＋0.010)＝0.300，由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是＝50.故选C. 4．(多选)某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则下列结论正确的是(　　) 2 a 3 6 6 2 0 4 2 A．a＝8 B．6人年龄的平均数为35 C．6人年龄的75%分位数为36 D．6人年龄的方差为 答案：ACD 解析：因为这6人年龄的极差为14，即42－(20＋a)＝14，解得a＝8，故A正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为(28＋30＋32＋36＋36＋42)＝34，故B错误； 又6×75%＝4.5，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C正确； 又6人年龄的方差s2＝[(28－34)2＋(30－34)2＋(32－34)2＋(36－34)2＋(36－34)2＋(42－34)2]＝，故D正确． 故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $$