16、6.4.3 第2课时 正弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 [学习目标]　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．　2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题，培养逻辑推理及数学运算核心素养． 知识点　正弦定理 问题1.在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示：(1)如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 因为＋＝，所以j·(＋)＝j·. 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos ， 也即a sin C＝c sin A，所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝. 因此＝＝. (2)当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得＝＝. 问题2.在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示：观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 1．正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径． (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 2．正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R_sin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)＝＝＝＝2R； (5)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. 角度1　已知两角及任意一边解三角形 例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解：因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋). 学生用书第40页 已知两角及一边解三角形的一般步骤 　　 对点练1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值． 解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由＝，得c＝＝＝ ＝4(＋1). 所以A＝45°，c＝4(＋1). 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形． 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝，因为b<a，所以A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. [变式探究] (变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形． 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝， 因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 　　 对点练2．(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝(　　) A． B． C．或 D．或 (2)在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B＝(　　) A．60° B．60°或120° C．60°或150° D．120° 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b<a，所以B<A，所以B＝.故选A. (2)a<b⇒A<B⇒B>30°，由正弦定理可知＝，所以sin B＝＝＝，因为B∈(30°，180°)，所以B＝60°或120°.故选B. 应用一　判断三角形的形状 例3　(1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是________三角形； (2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是________三角形． 答案：(1)等腰　(2)等腰或直角 解析：(1)由正弦定理＝，得＝.又a cos B＝b cos A，所以＝，所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin (A－B)＝0.因为A，B是三角形内角，所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形． (2)由正弦定理得＝，得＝.又a cos A＝b cos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形． 利用正弦定理判断三角形形状的方法 1．化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． 2．化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．　　 学生用书第41页 对点练3．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的直角三角形 答案：C 解析：已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝，C＝，则△ABC是等腰直角三角形．故选C. 应用二　三角形解的个数的判断 例4　不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 解：(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而 <<1， 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝. 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 已知两边及其中一边的对角 判断三角形解的个数的方法 1．应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 2．在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 对点练4．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　 ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 答案：ABD 解析：对于A，因为＝，所以sin B＝＝1，所以B＝90°，即只有一解；对于B，因为sin C＝＝>，且c>b，所以C>B，故有两解；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，所以b＝＝＝，故有一解；对于D，因为＝，所以sin B＝＝<，又b<a，所以有一解．故选ABD. 知识 (1)正弦定理．(2)正弦定理的变形推论．(3)利用正弦定理解三角形．(4)三角形解的个数的判断． 方法 化归转化、数形结合． 易错误区 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：根据正弦定理，得＝＝.故选A. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆半径等于(　　) A．2 B． C． D．1 答案：D 解析：设△ABC外接圆半径为R，根据正弦定理可得2R＝＝＝＝2，所以R＝1，即△ABC外接圆半径为1.故选D. 3．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　 ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 答案：C 解析：由正弦定理和已知条件，得＝，所以sin B＝>1，所以此三角形无解．故选C. 4．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝________． 答案：1∶1∶ 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶. 学科网（北京）股份有限公司 $$