14、6.4.2 向量在物理中的应用举例-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．4.2　向量在物理中的应用举例 [学习目标]　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用，培养数学建模核心素养． 应用一　向量与力 例1　设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，|F1|＝1 N，|F2|＝2 N，F1和F2的夹角为.求： (1)F3的大小； (2)〈F3，F2〉的大小． 解：(1)因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝ ＝(N). (2)如图，以三个力的作用点O为坐标原点，F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．将向量F1，F3正交分解． 设∠MOC＝θ， 由受力平衡知 将|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝代入 得即 又因为θ∈，所以θ＝， 所以〈F3，F2〉＝π－＝. 平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理矢量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则、向量的正交分解等方法转化为代数方程来计算．　　 对点练1．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功． 解：如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系， 则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4). 又位移s＝(4，4)， 所以合力F所做的功W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J). 所以合力F所做的功为24 J. 学生用书第36页 应用二　向量与速度、加速度、位移 例2　一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ 解：如图所示， 设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，则当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，所以||＝ ＝2，又AB＝，所以用时0.5 h，易知sin ∠EAD＝，所以∠EAD＝30°.所以该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h． 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．　　 对点练2．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________ m，方向是北偏东________． 答案：60　30° 解析：如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则||＝＝60(m)，tan ∠BOA＝＝，所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 应用三　向量与功 例3　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 解：如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(8×10－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J． 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).　　 对点练3．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 答案：－40 解析：因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). 又因为＝(－1，4)，所以F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力做的功为－40. 知识 (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题． 方法 转化法 易错误区 不能将物理问题转化为向量问题． 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为(　　 ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． 答案：C 解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.人的速度和风速方向相反，|v1＋v2|＝＝＝|v1|－|v2|.故选C. 2．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　 ) A．5 N B．5 N C．5 N D．5 N 答案：D 解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝＝5(N).故选D. 3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　 ) A．7 B．10 C．14 D．70 答案：D 解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.故选D. 4．已知平面内两个粒子A，B从同一发射源C(1，2)射出，在某一时刻，它们的位置分别为A(3，3)，B(2，4)，相应的位移分别为sA，sB，则sA在sB上的投影向量为________． 答案：(，) 解析：sA＝(2，1)，sB＝(1，2)，则sA在sB上的投影向量为sB＝(，). 学科网（北京）股份有限公司 $$