专题01 等腰三角形重难点题型归纳（七大类型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题01 等腰三角形重难点题型归纳（七大类型） 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 动点引起的分类】 【题型6 等腰三角形的三线合一运用】 【题型7 等腰三角形的性质与判定综合】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，可以分为是腰或底边两种情况；结合三角形的三边关系可以确定三角形的三边的长度，由此确定选项． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为或， 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若，则以，为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．9或12 【答案】C 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系． 先求出和的值，再利用三角形的三边关系判断出该等腰三角形的三条边长，它们的和即为周长． 【详解】解：∵， ∴，， 则以、为边长的等腰三角形的三边长分别为，，或，，； 由三角形任意两边之和大于第三边， 该等腰三角形的三边长分别为，，； 周长为； 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为5时，，所以不能构成三角形； 当腰为10时，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：A． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用． 分两种情况：当腰长为4或9时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可． 【详解】当腰长为4，底长为9时；，不能构成三角形； 当腰长为9，底长为4时；，能构成三角形； 故等腰三角形的周长为：． 故答案为：22． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，因为一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，所以当腰长为3时，则不满足三边关系，当腰长为6时，则满足三边关系，即可作答． 【详解】解：∵一个等腰三角形中有两边长分别为3和6， ∴当腰长为3时，则，此时不满足三边关系， 当腰长为6时，满足三边关系，则， 故答案为：15． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质．等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况，再分情况求解即可． 【详解】解：当为顶角时，底角为：． 也可以为底角． ∴底角为或； 故选：D． 7．（24-25八年级上·广西防城港·期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和求解． 【详解】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角， 那么顶角． 故它的顶角是或． 故选：D． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】/33度 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的两个底角相等、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴这个等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】解：当顶角为时， 则底角为：； 当底角为时， 则底角为； 故答案为：或． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为； 【详解】解：如图1，当该等腰三角形为锐角三角形时，      ∵，， ∴； 如图2，当该等腰三角形为钝角三角形时，      ∵，， ∴； 综上所述，该等腰三角形顶角的度数是或． 故选C． 11．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；分别求解即可． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴，即顶角为； 当等腰三角形为钝角三角形时， ， ∵，， ∴， ∴，即顶角为； 综上所述，其顶角为或， 故选：C． 12．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，， ∵， ∴， ∴； ∴三角形的底角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，交的延长线于点D， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴三角形的底角为， 综上可知，三角形的底角为或； 故选：D． 13．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，通过分该等腰三角形为锐角三角形和锐角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 14．（23-24八年级上·福建福州·期中）一个等腰三角形，它的一腰上的高线与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】①在上，可得，即可求解；②在(或)的延长线上，可求，即可求解． 【详解】解：①如图，在上，    ， 是上的高， ， ； ②如图，在(或)的延长线上，    同理可求：， ； 顶角的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，理解定义，掌握求法是解题的关键． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 15．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】为等腰三角形，但没有说明哪条边为腰，故分，，三类讨论，确定点的位置，再根据与轴正半轴的夹角为，去掉重合的点，问题得解． 【详解】解：当时，如图，共有2个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 其中、、点重合， 符合条件的点有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类思想，等边三角形的性质，根据题意分别确定符合条件的点，并根据等边三角形的性质，确定出重合的点是解题的关键． 16．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 17．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关键． 由于点的位置不确定，所以应当讨论，当时，可得到点，当时，可得到一点．当时， 【详解】如图所示： ， 分三种情况： 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交点点，，； 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交与另一点，； 当时，作线段的垂直平分线，与 y 轴的交点可得到一点，． 综上所述：使 为等腰三角形的点的个数为4 个， 故选：B． 18．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰．根据题意画出图形，进行判断即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，为半径作圆，如图所示：    根据图可知，两个圆经过的格点有8个，的垂直平分线不经过格点， ∴满足为等腰三角形的格点的个数为8个． 故选：B． 【题型5 动点引起的分类】 19．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)6秒或6.6秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为6秒或6.6秒或秒时，为等腰三角形． 20．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在中，，点在边上，点在上，连接，． 【计算发现】 （1）如图1，当点在边（不与点，重合）上运动时，且点在边上时． ①若，，则______，______． 【猜想验证】 ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展思考】 （2）如图2，当点在边（不与点，重合）上运动，点在边所在的直线上时，若，求的度数． 【答案】（1）①；②，理由见解析（2）的值为或 【分析】（1）①先求出，利用角的和差及三角形外角性质求出结论； ②如图1在线段上，由题意知，，，；，，可知与也即与的关系； （2）分情况讨论，如图2所示：有情况①点在点下方，情况②点在点上方，求解方法同（1）；具体分析见详解． 【详解】解：（1）①， ，， ， ， ②； 理由如下：如图令，， 由题意知，， ，， ， ， ． （2）如图2， 情况①，， ， ． 情况② 时， ， ，，， ， ， ， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是将各角度建立联系．易错点与难点在于分情况讨论． 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)将沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值． (2)问：当t为何值时，为等腰三角形？ (3)现将其沿着直线翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的值为5或或8 (3)为或10时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，利用勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵在中，，，， ∴， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，， 即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图，   ，，， ， 在中，， 即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ， ∴为或10时满足条件． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)、8.4、9、9.5 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用、掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分点在上和在上两种情况，根据等腰三角形的判定定理计算． 【详解】（1） 解： 中，，，， ， ， ， 解得，； （2） 解：当点在上，时，， 则， 当点在上，时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、8.4、9、9.5时，为等腰三角形； 23．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作交线段于点． (1)当时，__________°，__________°；点从向运动时，逐渐变__________；（填“大”或“小”） (2)当__________时，； (3)在点的运动过程中，若是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)25，115，小 (2) (3)的度数是或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义及性质的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理计算即可求解； （2）根据全等三角形的判定方法即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 点从向运动时，逐渐变小， 故答案为：，小； （2）解：∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，且， ∴当时，运用“角边角”可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当时，是等腰三角形， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，； 当时，是等腰三角形， ∴， ∴，则点于点重合，不符合题意，舍去； 当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，若是等腰三角形，的度数是或． 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)存在，10或12或 【分析】（1）由于，根据全等三角形的判定定理“”，当时可判断；易得； （2）根据全等三角形的性质得，由于，所以，则根据三角形内角和得，于是根据垂直的定义即可得到结论； （3）在中，，利用勾股定理计算出，作于N，则四边形为矩形，则，然后进行分类讨论：当时，是等腰三角形，易得；当时，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，则，即可得到；当时，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得则，所以，在中利用勾股定理得到，解得． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴当时， ∵ ∴根据题意 ∴； （2）证明：， ， 而， ， ， ． （3）解：存在． 在中，， ， ． 过点作于点H，则． ①当时，是等腰三角形， ∴； ②当时，是等腰三角形， 则， ， ③当时，是等腰三角形， 则， ， 在中， ， ， 解得． 综上所述，当t为10s或12s或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理．解题的关键是①在判定三角形全等时，选择恰当的判定条件；②要有分类讨论的思想． 【题型6 等腰三角形的三线合一运用】 25．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，由三角形角平分线的定义可得，利用可证得，于是可得，，，由三角形外角的性质可得，则，进而可得，由等角对等边可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长，交于点，   ， ， 平分， ， 又， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等角对等边，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一．过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选：C． 27．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】解： 中，， 是的中线， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选D． 28．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交于E，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行线角平分线得到等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 29．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边性质，延长交于点E，首先证明出，得到，，，然后结合得到，进而得出，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和判定（，，，，），等角对等边性质． 【详解】解：如图所示，延长交于点E， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴ ∴，，， ∴； ∵，即， ∴； ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【题型7 等腰三角形的性质与判定综合】 30．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，一艘轮船以每小时25海里的速度从南向北航行，在处测得灯塔在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西方向上．当轮船到达灯塔的正东方向处时，一共航行了多少海里？ 【答案】75海里 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质以及方向角的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质推断，并根据三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质确定是解决本题的关键．由题意得海里，欲求，需求．由，得，从而得到，由，得，那么，故（海里） 【详解】解：根据题意可知：海里，，， 在中， ． ． ． 在中，． 海里 一共航行了75海里． 31．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与分别相交于点，且．    (1)若，求的度数； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （）由角平分线的定义的，，由平行线的性质得，，即得，，得到，，进而得到的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，掌握以上知识点是解题的关键． 32．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，已知，点D、E分别在上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，再结合等边对等角的性质，得到，即可判断的形状． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形， 理由如下：， ，     ， ，     ， ， ，     是等腰三角形． 33．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，为锐角，为射线上一动点，连接，以为直角边，A为直角顶点，在右侧作等腰，连接．若，． (1)若点在线段上时（不与点重合），试探究并说明和的数量关系与位置关系； (2)当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请在图②中画出相应的图形； 【答案】(1)，，见解析 (2)（1）中的结论仍然成立，见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的性质得到，．再利用等腰直角三角形的性质和垂直定义可证明； （2）（1）中的结论仍然成立．仍然证明得到，．再利用等腰直角三角形的性质和垂直定义可证明． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，如图所示，理由： ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，平分． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定等知识点； （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角性质得出，求出即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】（1）证明：平分， ； （2）解∶， ， ， 平分， ， 35．（24-25八年级上·广西南宁·期中）（1）如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是_____． （2）如图2，点是的中点，点在线段上，如果，求证：． （3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解； （2）延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定及性质和等角对等边即可证明； （3）利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长到E，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （3）延长到，使，连接，如图3所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形重难点题型归纳（七大类型） 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 动点引起的分类】 【题型6 等腰三角形的三线合一运用】 【题型7 等腰三角形的性质与判定综合】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若，则以，为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．9或12 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 4．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（  ） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级上·广西防城港·期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是 ． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 11．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 12．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 13．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 14．（23-24八年级上·福建福州·期中）一个等腰三角形，它的一腰上的高线与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 15．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【题型5 动点引起的分类】 19．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 20．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在中，，点在边上，点在上，连接，． 【计算发现】 （1）如图1，当点在边（不与点，重合）上运动时，且点在边上时． ①若，，则______，______． 【猜想验证】 ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展思考】 （2）如图2，当点在边（不与点，重合）上运动，点在边所在的直线上时，若，求的度数． 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)将沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值． (2)问：当t为何值时，为等腰三角形？ (3)现将其沿着直线翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求t的值． 23．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作交线段于点． (1)当时，__________°，__________°；点从向运动时，逐渐变__________；（填“大”或“小”） (2)当__________时，； (3)在点的运动过程中，若是等腰三角形，求的度数． 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型6 等腰三角形的三线合一运用】 25．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交于E，若，则 ． 29．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则 ． 【题型7 等腰三角形的性质与判定综合】 30．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，一艘轮船以每小时25海里的速度从南向北航行，在处测得灯塔在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西方向上．当轮船到达灯塔的正东方向处时，一共航行了多少海里？ 31．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与分别相交于点，且．    (1)若，求的度数； (2)已知，，求的周长． 32．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，已知，点D、E分别在上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 33．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，为锐角，为射线上一动点，连接，以为直角边，A为直角顶点，在右侧作等腰，连接．若，． (1)若点在线段上时（不与点重合），试探究并说明和的数量关系与位置关系； (2)当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请在图②中画出相应的图形； 34．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，平分． (1)求证： (2)若，，求的度数． 35．（24-25八年级上·广西南宁·期中）（1）如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是_____． （2）如图2，点是的中点，点在线段上，如果，求证：． （3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$