精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高三下学期第六次质量检测（2月）数学试题

重庆市南开中学高 2025 届高三第六次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知 ，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 2 D. 3 2. 已知数列等比数列，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 记数据的平均数为 ，方差为，数据的平均数为，方差为，若，为非零常数，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（ ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A. 1265.5 B. 1897.5 C. 2846.5 D. 3795.5 5. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线 的焦点为 ，双曲线 经过 且与抛物线 交于 两点，若 为等腰直角三角形，其中 为坐标原点，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的对称中心为 C. 函数一个极小值点为 D. 函数在区间上单调递增 10. 已知椭圆 左、右顶点分别为 为椭圆上异于 的动点. 记 ， 的面积为 ，则下列各式的值与点 的位置无关的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于 的方程:有两个正根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则_____. 13. 若，，且，则的最小值是_____. 14. 小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有_____种. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值范围. 16 已知函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）证明: 在 上均恰有一个零点. 17. 把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. （1）求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，点为的中点，且. （1）求； （2）平面与线段、、分别交于、、三点，且，. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）是否存在，使得为直角三角形? 若存在，求；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 . （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学高 2025 届高三第六次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知 ，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，进而求出其虚部. 【详解】依题意，，所以的虚部为3. 故选：D 2. 已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列性质计算可得该数列公比，即可得解. 【详解】设数列公比为，则， 则. 故选：C. 3. 记数据的平均数为 ，方差为，数据的平均数为，方差为，若，为非零常数，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的定义计算判断. 【详解】由，得， 对于AB，，AB错误； 对于CD，，C正确，D错误. 故选：C 4. 《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（ ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A. 1265.5 B. 1897.5 C. 2846.5 D. 3795.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用棱柱的体积公式计算得解. 【详解】依题意，“城”的形状是底面为等腰梯形的直四棱柱， 其中等腰梯形的两底分别为2丈、4丈，高为5丈，因此底面积（平方丈） 直四棱柱的高为126.5丈，所以体积（立方丈）. 故选：B 5. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助赋值法，分别令及，再解出方程组即可得. 详解】令，则，令，则， 故有，解得，即. 故选：A. 6. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，数形结合后可得的最小值为点到射线的距离，再结合正弦定义计算即可得. 【详解】令，，则，故， 则，故的最小值为点到射线的距离， 即. 故选：B. 7 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，则有、、，结合导数计算可得其单调性，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又、、， 由，故. 故选：C. 8. 已知抛物线 的焦点为 ，双曲线 经过 且与抛物线 交于 两点，若 为等腰直角三角形，其中 为坐标原点，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先根据抛物线方程求出焦点的坐标，再结合为等腰直角三角形求出、两点的坐标，最后将、两点坐标代入双曲线方程，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，所以抛物线的焦点. 因为为等腰直角三角形，且抛物线与双曲线都关于轴对称，所以，则直线的方程为. 联立，将代入可得，解得或. 当时，，即； 当时，，所以，由对称性可知. 因为双曲线经过和，将点坐标代入双曲线方程可得，即，解得. 将和代入双曲线方程可得，化简得，移项可得，即. 对于双曲线，其渐近线方程为. 由，可得，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的对称中心为 C. 函数的一个极小值点为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出解析式，再利用正弦函数的性质逐项判断. 【详解】对于A，由图象知，，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 函数的解析式为，A正确； 对于B，由，得，函数的对称中心为，B错误； 对于C，，函数的一个极小值点为，C正确； 对于D，当时，，而当时，取得最小值， 因此函数上不单调，D错误. 故选：AC 10. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 为椭圆上异于 的动点. 记 ， 的面积为 ，则下列各式的值与点 的位置无关的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，设出点的坐标，利用斜率坐标公式求出，再逐项分析计算判断. 【详解】由对称性，不妨令点轴上方，设， 而，则， 对于A，，与点的位置有关，A错误； 对于B，，与点的位置无关，B正确； 对于C，，与点的位置无关，C正确； 对于D，，与点的位置无关，D正确. 故选：BCD 11. 已知关于 的方程:有两个正根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】把等式分离参数并构造函数，单调探讨性，结合零点的意义判断A；取值判断B；利用不等式的性质判断C；利用不等式性质，结合对数函数性质，作差并利用导数确定正负判断D. 【详解】对于A，，函数在上递增， 因此函数在上递减，在上递增，， 是直线与函数的两个交点，则，A正确； 对于B，取，，则，而， 此时，B错误； 对于C，，而，因此，C正确； 对于D，，则，于是， ，令函数，， 函数在上单调递增，，因此，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：作差构造函数，利用导数探讨单调性是判断选项D的关键. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】借助两角差的正切公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 若，，且，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则， 则， 当且仅当，即、时等号成立. 故答案为：. 14. 小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有_____种. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，按公差情况分类列出各个结果即可. 【详解】公差为0的情况有6种：111，222，333，444，555，666； 公差为的情况有8种：123，234，345，456，321，432，543，654； 公差为的情况有4种：135，246，531，642， 所以3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有18种. 故答案为：18 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解得到和，进而得到通项公式.（2）先根据第（1）问的结果求出的表达式，再用裂项相消法求出，然后将恒成立转化为小于一个关于的式子的最小值问题，借助导数求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 根据等差数列的性质：可得，则，即. 由等差数列的前项和公式，可得，即. 联立方程组， 解得. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，则，. 所以. 则 因为对恒成立，即恒成立. 因为，所以恒成立. 令，. 对求导得，所以在上单调递增. 则， 所以. 16. 已知函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）证明: 在 上均恰有一个零点. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来判断函数的增减区间； （2）结合函数的单调性以及特殊点的函数值，结合零点存在性定理来确定零点个数. 【小问1详解】 首先求函数的定义域和导数. 函数的定义域为. 对求导可得，，. 然后令，即，则，解得或. 接着分情况讨论： 当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减. 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，；当时，，且，由（1）可知， 当时，在取得极大值，在上恰有一个零点. 当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点. 当时，在取得极大值，且， 所以在上恰有一个零点. 综上所得，，在上均恰有一个零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用，考查转化能力，通过构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 17. 把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. （1）求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得. 【小问1详解】 设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； 【小问2详解】 （i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，点为的中点，且. （1）求； （2）平面与线段、、分别交于、、三点，且，. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）是否存在，使得为直角三角形? 若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合题意可建立适当空间直角坐标系，设出，表示出直线与直线的方向向量后可得，计算即可得解； （2）结合题意，可表示出、、；（i）求出平面的法向量与直线的方向向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得解；（ii）分为直角，为直角，为直角进行讨论，结合数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 由底面，、平面， 故、，又底面是矩形，故， 故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则、、、 则、， 由，则， 解得，即； 【小问2详解】 由，则、、， ， 则，，， 则， ，， （i）当时，，， 设平面的法向量为， 则有 ，则可取， 又，则， 则直线与平面所成角的正弦值为； （ii）若为直角，则有， 解得或，由，故无解； 若为直角，则有， 即，解得或，由，故； 若为直角， 则有 ，因，故无解. 综上所述：. 19. 已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 . （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得椭圆方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值；（ii）在（i）的条件下可得过原点，且，再在折后的几何体中补形并探讨外接球最小时的球心位置，并利用体积法求出内切球半径. 【小问1详解】 依题意，，，解得， 所以所求方程为. 【小问2详解】 （i）设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （ii）当取最大值时，是边长为2的等边三角形， 过原点， 将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形， 则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球． 过等腰梯形外心即中点作直线平面， 过中心作直线平面，则即为三棱锥外接球球心， 即为三棱锥外接球半径，显然与重合时三棱锥外接球半径最小， 此时平面，三棱锥为正四面休，与交点即为中心， 平面，而平面，则，在等腰梯形中， ，，则，即， 由平面，于是平面，而平面， 因此，因此， ， 则三棱锥表面积为，设三棱锥内切球半径为， 则，解得. 【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $