17.5 一元二次方程的应用 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

17.5 一元二次方程的应用 一、一元二次方程的常见类型 1.几何问题：通过一元二次方程，可以计算矩形、圆形等几何图形的边长、面积等。例如，已知矩形的长和宽与某未知量之间的关系，可以建立一元二次方程来求解矩形的面积。 2.增长率问题：涉及到数量的增长或减少，如经济增长率、人口增长率、折旧率等。在解决这类问题时，需要理清原始数量、最终数量、增长率或降低率以及增长的次数之间的数量关系，从而建立一元二次方程。 3.市场营销问题：例如计算商品的利润、成本、售价等。在这类问题中，通常会根据商品的定价、销量和成本等条件，建立一元二次方程来求解最大利润或最优定价。 4.数字问题：涉及两位或三位数字的各个数位上的数字之间的关系。例如，已知一个两位数的两个数字之和或之积，以及该数与某个数的乘积或和，可以建立一元二次方程来求解这个两位数。 5.运动问题：如计算物体的飞行距离、速度、时间等。在这类问题中，通常会根据物体的运动规律，如匀加速直线运动或抛体运动等，建立一元二次方程来求解相关物理量。 6.工程问题：涉及工程建设中的工作量、工作时间、工作效率等。通过一元二次方程，可以求解完成某项工程所需的最短时间或最优资源配置等。 7.传播问题：如病毒传播、细菌分裂等。这类问题可以通过一元二次方程来描述传播过程中的数量关系，从而预测传播范围或速度。 8.开放题型：一些开放性的数学问题，如根据给定条件求解未知量，或者根据已知条件推断出可能的结论等，也可以通过建立一元二次方程来求解。 二、一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：弄清题意，明确已知、未知，分清数量关系。 2.设：明确未知，设出未知数，列出有关代数式。 3.找：找出表示题目全部含义的相等关系。 4.列：根据相等关系列出方程。 5.解：解这个方程。 6.验：检验方程的解是否符合题意。 7.答：写出答案。 巩固课内例1:一元二次方程的应用——长方形问题 1．如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．若长方形的面积为，并且长比宽多，则长方形的长为 ，宽为 ． 3．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 巩固课内例2:一元二次方程的应用——降低率问题 1．某工厂年二氧化碳排放量为万立方米，为响应绿色环保，节能减排的号召，经过两年努力，到年二氧化碳排放量减少到万立方米．设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为 ． 3．某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——增长率 1．2024年是中华人民共和国成立75周年，全国各地积极开展以“爱国主义教育”为主题的活动．据了解，我省某革命纪念馆8月份的参观人数为10万，10月份的参观人数增加到12.1万．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程 ． 3．近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？ 巩固课内例4:一元二次方程的应用——正方形问题 1．我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于x的方程为 ． 3．如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 巩固课内例5:一元二次方程的应用——分式方程转为一元二次方程 1．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程： （化为一般式）． 3．江津中学滨江校区正式投入使用一年多以来，学校优美的校园环境，先进的硬件设施，优质的教育教学赢得了家长们的好评． (1)为了美化校园，学校购买了梧桐树和桂花树共24棵，共花费6040元，已知梧桐树一棵240元，桂花树一棵260元，求这两种树分别购买了多少棵？ (2)甲、乙两支绿化施工队承担了此次栽种任务。两队每棵树的种植费用均与树的品种无关，甲施工队每棵树的种植费用比乙多20元，栽种任务完成后，学校付给甲施工队800元，付给乙施工队840元，求乙施工队每棵树的种植费用为多少？ 类型一、一元二次方程的应用——数字问题 1．两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 3．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 类型二、一元二次方程的应用——传播问题 1．进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 3．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 类型三、一元二次方程的应用——变化率问题 1．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某店长统计了今年6月份和8月份的某新能源汽车利润额分别为25万元和万元，则从6月份到8月份利润额的月平均增长率为 ． 3．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 类型一、一元二次方程的应用——圆问题 1．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为 ． 3．如图，长方形的面积为，长和宽的比为3：2，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由．    类型二、一元二次方程的应用——自由落体问题 1．为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．自由落体的公式是（为重力加速度，），若物体下落的高度为，则下落的时间为 s． 3．把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面． (1)求a的值． (2)若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值． (3)是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明． 类型三、一元二次方程的应用——和差倍分问题 1．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）        A． B． C． D． 2．长方形的面积为 10 平方米，长比宽的 2 倍少 2 米，设长方形的宽为米，那么根据题设可列方程为 ． 3．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？ 类型一、一元二次方程的应用——行程问题 1．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ． 3．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 类型二、一元二次方程的应用——几何问题 1．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为 ． 3．云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 类型三、一元二次方程的应用——销售问题 1．某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 2．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元． 3．江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元；在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． (1)降价10元后，每件童装盈利是________元，每周销售量是_______件； (2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元? 1．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 2．某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 3．用一条长为的绳子围成一个面积为a的长方形，的值不可能为（　　） A．20 B．100 C．40 D．160 4．参加会议的每两人握一次手，共握45次，问有多少人参加会议？若设有x人参加会议，则可列方程为 ． 5．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程 ． 6．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步． 7．某企业2021年的营业额为100万，到2023年达到了121万，若营业额的年平均增长率相同，求该企业营业额的年平均增长率． 8．某社区组织一次排球比赛，规定每两个队伍之间比赛一场，赛程计划安排天，每天举行场比赛，应邀请多少支球队参赛？ 9．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长． 10．取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.5 一元二次方程的应用 一、一元二次方程的常见类型 1.几何问题：通过一元二次方程，可以计算矩形、圆形等几何图形的边长、面积等。例如，已知矩形的长和宽与某未知量之间的关系，可以建立一元二次方程来求解矩形的面积。 2.增长率问题：涉及到数量的增长或减少，如经济增长率、人口增长率、折旧率等。在解决这类问题时，需要理清原始数量、最终数量、增长率或降低率以及增长的次数之间的数量关系，从而建立一元二次方程。 3.市场营销问题：例如计算商品的利润、成本、售价等。在这类问题中，通常会根据商品的定价、销量和成本等条件，建立一元二次方程来求解最大利润或最优定价。 4.数字问题：涉及两位或三位数字的各个数位上的数字之间的关系。例如，已知一个两位数的两个数字之和或之积，以及该数与某个数的乘积或和，可以建立一元二次方程来求解这个两位数。 5.运动问题：如计算物体的飞行距离、速度、时间等。在这类问题中，通常会根据物体的运动规律，如匀加速直线运动或抛体运动等，建立一元二次方程来求解相关物理量。 6.工程问题：涉及工程建设中的工作量、工作时间、工作效率等。通过一元二次方程，可以求解完成某项工程所需的最短时间或最优资源配置等。 7.传播问题：如病毒传播、细菌分裂等。这类问题可以通过一元二次方程来描述传播过程中的数量关系，从而预测传播范围或速度。 8.开放题型：一些开放性的数学问题，如根据给定条件求解未知量，或者根据已知条件推断出可能的结论等，也可以通过建立一元二次方程来求解。 二、一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：弄清题意，明确已知、未知，分清数量关系。 2.设：明确未知，设出未知数，列出有关代数式。 3.找：找出表示题目全部含义的相等关系。 4.列：根据相等关系列出方程。 5.解：解这个方程。 6.验：检验方程的解是否符合题意。 7.答：写出答案。 巩固课内例1:一元二次方程的应用——长方形问题 1．如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解图示，运用平移的方法得到种植地的长和宽是解题的关键． 根据题意，种植地的长为，宽为，根据种植面积为，列式即可求解． 【详解】解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为， ∴， 故选：C ． 2．若长方形的面积为，并且长比宽多，则长方形的长为 ，宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长方形的长为，则宽为， 依题意，列式为，据此即可求解； 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 依题意，列式为， 解得（舍去）. ∴， 故答案为：①② 3．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可． 【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得 整理得， 解得：（舍去）， 答∶道路的宽为2米． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——降低率问题 1．某工厂年二氧化碳排放量为万立方米，为响应绿色环保，节能减排的号召，经过两年努力，到年二氧化碳排放量减少到万立方米．设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中等量关系是关键．设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为，则第一次降低后的排放量为，第二次降低后的排放量为；根据第二次排放后的排放量为万立方米列方程，即可求解.． 【详解】解：设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为， 根据题意可得：， 故选：A． 2．山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据题目中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得． 故答案为： ． 3．某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 【答案】月平均降价率是 【分析】设月平均降价率是x，由题意可列一元二次方程求解． 【详解】设月平均降价率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴月平均降价率是． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——增长率 1．2024年是中华人民共和国成立75周年，全国各地积极开展以“爱国主义教育”为主题的活动．据了解，我省某革命纪念馆8月份的参观人数为10万，10月份的参观人数增加到12.1万．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 设参观人数的月平均增长率为x，根据题意找出等量关系，即可列出方程． 【详解】解：设参观人数的月平均增长率为x， 则可列方程， 故选：A． 2．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确抽象出一元二次方程是解题关键．设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】解：设该校这两个月藏书的月均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 3．近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率，理解数量关系，正确列式求解是关键．设年平均增长率为，由此列一元二次方程求解，结合实际情况得到结论． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） ， 答：该市数字阅读市场规模的年平均增长率为． 巩固课内例4:一元二次方程的应用——正方形问题 1．我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据正方形和圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】根据题意：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为，可得 故选：D． 2．如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于x的方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 3．如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设所截去小正方形的边长为，根据题意得到四个小正方形的面积为原矩形面积的列方程解答即可． 【详解】解：设所截去小正方形的边长为，由题意得 （舍去）， 答：所截去小正方形的边长． 巩固课内例5:一元二次方程的应用——分式方程转为一元二次方程 1．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程： （化为一般式）． 【答案】 【分析】本题考查列一元二次方程，先求出每椽的价格，再计算出少拿一株椽后的运费，根据少拿一株椽后的运费恰好等于一株椽的价钱建立等式，即可得到答案． 【详解】解：设这批椽的数量为， 则每株椽的价格为：元， 根据题意得：， 整理得：， 故答案为：． 3．江津中学滨江校区正式投入使用一年多以来，学校优美的校园环境，先进的硬件设施，优质的教育教学赢得了家长们的好评． (1)为了美化校园，学校购买了梧桐树和桂花树共24棵，共花费6040元，已知梧桐树一棵240元，桂花树一棵260元，求这两种树分别购买了多少棵？ (2)甲、乙两支绿化施工队承担了此次栽种任务。两队每棵树的种植费用均与树的品种无关，甲施工队每棵树的种植费用比乙多20元，栽种任务完成后，学校付给甲施工队800元，付给乙施工队840元，求乙施工队每棵树的种植费用为多少？ 【答案】(1)梧桐树购买了10棵，桂花树购买了14棵 (2)60元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用及分式方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量之间的关系，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设梧桐树购买了棵，则桂花树购买了棵，根据共花费6040元得：，解方程即可； （2）设乙施工队每棵树的种植费用为元，根据共种植24棵得，，解方程并检验即可． 【详解】（1）设梧桐树购买了棵，则桂花树购买了棵， 由题意得：， 解得，， 则， 答：梧桐树购买了10棵，桂花树购买了14棵． （2）设乙施工队每棵树的种植费用为元， 由题意得， 解得， 经检验，，都是原分式方程的根，但不合题意，舍去， 故 答：乙施工队每棵树的种植费用为60元． 类型一、一元二次方程的应用——数字问题 1．两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个连续的奇数相差2，据此即可建立方程 【详解】解：∵较小的奇数为 x ∴较大的奇数为 故： 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意． 2．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，再根据“两个连续的偶数乘积为224”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 3．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 类型二、一元二次方程的应用——传播问题 1．进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．再根据经过两轮感染后患病人数竟高达324人，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为：． 故选：B． 2．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意正确列出一元二次方程即可． 【详解】解：有两人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中有个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 根据题意列方程得：， 整理得：， 故答案为： ． 3．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 类型三、一元二次方程的应用——变化率问题 1．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 2．某店长统计了今年6月份和8月份的某新能源汽车利润额分别为25万元和万元，则从6月份到8月份利润额的月平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设6月份到8月份利润额的月平均增长率为，根据该商店6月份及8月份的利润额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设6月份到8月份利润额的月平均增长率为． 根据题意，得 解方程，得，（不符合题意，舍去）． ∴6月份到8月份利润额的月平均增长率为． 故答案为：． 3．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为x． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 类型一、一元二次方程的应用——圆问题 1．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 ． 故选：C． 2．在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为： 3．如图，长方形的面积为，长和宽的比为3：2，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由．    【答案】不能，理由见解析 【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长为，宽为，结合长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，从而得出的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与的长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设长方形的长为，宽为． 由题意，得，解得：， ， ， ，． 圆的面积为，设圆的半径为， ，解得：． 两个圆的直径总长为． ， 不能并排裁出两个面积均为的圆． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小比较，解题的关键是求出圆的半径以及长方形的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合长方形（或圆）的面积公式求出其长边长（或半径）是关键． 类型二、一元二次方程的应用——自由落体问题 1．为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据石头从井口落下的距离与时间的关系式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 故选：C． 2．自由落体的公式是（为重力加速度，），若物体下落的高度为，则下落的时间为 s． 【答案】6 【分析】把物体下落的高度h=176.4m，g=9.8m/s2代入公式，计算即可． 【详解】解：将h=176.4m，g=9.8m/s2代入h=gt2，得： 整理可得：t2=36， 则t=6s或t=-6s（舍）， 即下落的时间t是6s， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够准确读懂题意． 3．把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面． (1)求a的值． (2)若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值． (3)是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明． 【答案】(1)20 (2) (3)没有可能，计算见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）取，代入公式可得的值； （2）由踢出t秒后和秒后，足球的高度相同得，解方程即可； （3）求得自变量为和时的函数值，相减为18，看求得的是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，． ． 解得：； （2）解：由（1）得：， ∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同 ∴， 解得：； （3）解：由题意得：． ． 解得：（不合题意，舍去）． 没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米． 类型三、一元二次方程的应用——和差倍分问题 1．如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得每个阴影部分矩形的长，然后根据矩形面积公式列出方程． 【详解】解：由题意知，一个阴影部分的矩形长为， 因此， 故选：B． 【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是看懂所给图形，用含x的代数式表示出相关图形的面积． 2．长方形的面积为 10 平方米，长比宽的 2 倍少 2 米，设长方形的宽为米，那么根据题设可列方程为 ． 【答案】 或 等 【分析】设长方形的宽为厘米，则长为厘米，根据长方形的面积为20平方厘米列出方程解答即可． 【详解】解：设长方形的宽为厘米，则长为厘米，由题意得 ． 故答案为． 【点睛】此题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键． 3．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？ 【答案】这块空地能成功建一个符合规定的足球场 【分析】已知足球场的面积以及长宽关系，可以设宽为xm，那么长为m，根据题意，列方程，解得，即宽为18米，长为30米，又因为足球场的四周必须留出1m宽的空地，所以，即这块空地能成功建一个符合规定的足球场． 【详解】解：设足球场的宽为xm，那么长为m， 根据题意，得， 所以， 因为x为正数， 所以：，， 又因为足球场的四周必须留出1m宽的空地， 所以， 所以这块空地能成功建一个符合规定的足球场． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的面积应用问题，根据矩形的长宽关系设未知数并列出一元二次方程是解题的关键． 类型一、一元二次方程的应用——行程问题 1．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 2．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意，则乙走了步，甲斜向北偏东走了步，根据题意，列出方程，即可． 【详解】设甲，乙两人相遇的时间为， ∴乙走了步，甲斜向北偏东走了步， ∴， 故答案为：． 3．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 类型二、一元二次方程的应用——几何问题 1．如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：D． 2．如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 3．云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 类型三、一元二次方程的应用——销售问题 1．某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件可降价x元，则每件时装可盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1600元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每个台灯的售价为元，根据售价每下降2元，其月销售量就增加400个即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每个台灯的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 当时，，不合，舍去； 当时，； ∴， 答：每个台灯的售价为元． 故答案为：． 3．江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元；在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． (1)降价10元后，每件童装盈利是________元，每周销售量是_______件； (2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元? 【答案】(1)70，80 (2)20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意求出降价后的盈利，再求出每周的销售量即可； （2）设每件童装应降价x元，根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：降价10元后，每件童装盈利是：（元）， 每周销售量是：（件）， 故答案为：70，80； （2）解：设每件童装应降价x元， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件童装应降价20元． 1．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：B． 2．某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：D． 3．用一条长为的绳子围成一个面积为a的长方形，的值不可能为（　　） A．20 B．100 C．40 D．160 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 设围成面积为a的长方形的长为，则宽为，根据长方形的面积公式列出方程，整理得，由求出，即可求解． 【详解】解：设围成面积为a的长方形的长为，则宽为，依题意，得 ，整理，得 ， ∵， 解得， 故选D． 4．参加会议的每两人握一次手，共握45次，问有多少人参加会议？若设有x人参加会议，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： ． 5．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据前三个月累计进馆1260人次列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 6．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步． 【答案】24 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的宽为步，则矩形的长为步，再列方程，即可解答，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形的宽为步，则矩形的长为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：24． 7．某企业2021年的营业额为100万，到2023年达到了121万，若营业额的年平均增长率相同，求该企业营业额的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该企业营业额的年平均增长率为x，根据2021年及2023年的营业额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设该企业营业额的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合舍去） 答：该企业营业额的年平均增长率为． 8．某社区组织一次排球比赛，规定每两个队伍之间比赛一场，赛程计划安排天，每天举行场比赛，应邀请多少支球队参赛？ 【答案】应邀请支球队参赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设应邀请支球队参赛，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设应邀请支球队参赛， 根 据 题 意 得 ：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：应邀请支球队参赛． 9．某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设的长为，则的长为，结合面积公式列式，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设的长为， 则的长为， 根据题意得：， 解得或， 当时，， ∴的长为5米，不合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为； 10．取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】(1)A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元 (2)每台B型取暖器应降价40元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． （2）设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$