17.4 一元二次方程的根与系数的关系 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 即如果一元二次方程为ax²+bx+c=0，且a、b、c为常数，a≠0，那么设方程的两个根分别为x1和x2，则有： 这个公式通常称为韦达定理。它表明了一元二次方程的两个根与其系数之间的具体数量关系。通过这一关系，我们可以利用已知的方程系数来求解方程的一个根（在已知另一个根的情况下），或者求解与根相关的其他数学表达式，如两根的倒数和、平方和、差等。 巩固课内例1:已知一元二次方程一个根求另一个根或参数 1．若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果（、、是常数，）的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 即：， 解得：， 故选：． 2．关于的方程有一个根是，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，若是一元二次方程（为常数，）的两个根，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：设方程另一个根为， ， 故答案为： ． 3．已知关于的方程．若方程有一个根为2，求的值及该方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系．熟记相关结论即可． 将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系可求出另一根． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：； ， ， 解得； ，方程的另一个根是． 巩固课内例2:根据韦达定理公式变形求解 1．若，是方程的两个根，则的值为（） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．先利用根与系数的关系得到，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的两个根， 故选：D． 2．设、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 类型一、直接运用韦达定理求解(两根之和) 1．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据，代入求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 故选：A． 2．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：是方程的两个根，则的值为， 故答案为：． 3．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 类型二、直接运用韦达定理求解(两根之积) 1．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意两根之积等于．根据根与系数的关系可得出，此题得解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 2．设一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴， 故答案是：． 3．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 类型三、判断两个数是不是一元二次方程的两个根 1．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意两根之和为，两根之积为，利用根与系数的关系写出方程即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 2．写出一个以和4为根的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设的两根分别是和4， ， ， 一元二次方程为：， 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，则， 解得， ∴另一个根是2． 类型一、运用两根之和与之积变形求值 1．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．9 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 2．若是方程的两个根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系并准确运用． 先根据—元二次方程根与系数的关系得出和的值，再代入计算． 【详解】对于一元二次方程，若方程的两根为和，则． 在方程中，， ． 将代入可得： ． 故答案为：1 3．综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 类型二、与直角三角形结合 1．已知一个直角三角形两条直角边的长是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是(   ) A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】先设这两个根分别是m，n，根据一元二次方程的特点，可得m＋n＝4，mn＝，根据题意，利用勾股定理可知这个直角三角形的斜边的平方是，则这个直角三角形的斜边长是3． 【详解】解：设这两个根分别是m，n， 根据题意可得:m＋n＝4，mn＝， 根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方是: ， 所以这个直角三角形斜边长为3． 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程两根之间的关系，巧妙运用完全平方公式和勾股定理求解． 2．若的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，当 时，是等腰三角形；当 时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 要使是等腰三角形，结合方程根的判别式可得时，把代入求出的值即可． 要使是以为斜边的直角三角形，根据勾股定理，，再根据根与系数的关系求出答案即可． 【详解】解：， 故方程总有两个不相等的实数根， 若时，把代入， 得， 解得或， 无论为何值，， ，故或； 根据根与系数的关系：， 则， 即， 解得或， 根据三角形的边长一定为正数，故， 解得， ． 故答案为：3或4；2． 3．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：和是的两个根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ，即， 解得：，（，不合题意，舍去）， 的值为3． 类型三、与长方形结合 1．下列说法正确的是（　　） A．若则 B．方程的两根之积为1 C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于 D．关于x的方程有实数根，则a满足且 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质判断A；根据根的判别式判断B；根据根的判别式，根与系数的关系以及菱形的性质判断C；根据方程有实数根分与两种情况判断D． 【详解】解：A、若，则，故本选项说法错误，不符合题意； B、方程的判别式，所以没有实数根，故本选项说法错误，不符合题意； C、由题意知，解得 由根与系数关系得，， ∵边长为5的菱形的两条对角线交于O点， ∴， ∴，即可， 解得，（舍去），故本选项说法正确，符合题意； D、当，即时，原方程为，解得， ∴原方程有实数根，符合题意， 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，关于x的方程有实数根，则a满足，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．若，（）为菱形的两条对角线，且a，b为一元二次方程的两根，则菱形的周长为 ． 【答案】20 【分析】利用根与系数的关系可得出，，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵a、b为一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键． 3．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值 (2)是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得，求出k； （2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k． 【详解】（1）解：∵方程的两根为菱形相邻两边长， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则， 那么， 得， 即； （2）解：不存在，理由如下： ∵该方程的两解是菱形的两对角线长，设菱形的两对角线长，． ∴，， ∵菱形的两对角线互相垂直平分， ∴由勾股定理得，， 则， 即， ∴， 那么， 得， 解得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴不存在满足条件的常数． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意这个知识点． 类型一、已知两数之和或之积求两个根 1．已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，相反数的定义，解一元二次方程，根据的两个根，互为相反数，得到，进而得到方程为，对其求解，即可解题． 【详解】解：的两个根，互为相反数， ，即， ， 解得， 方程的两个根为， 故选：C． 2．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ，方程的两根为 . 【答案】 ， 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后将的值代入一元二次方程，解方程即可求出方程的两个根． 【详解】解：， 又该方程的两根互为倒数，即：， ， 解得：， 原方程为， 解得：，， 故答案为：；，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 3．已知关于的一元二次方程的两个根互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，由一元二次方程根和系数的关系可得，解得解得，，再把的值代入方程化简，根据根的判别式进行判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得，， 当时，原方程化为， ∵，此时方程没有实数根； 当时，原方程化为， ∵，此时方程有两个不相等的实数根； 的值为． 类型二、新定义问题 1．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 2．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 类型三、已知韦达定理参数求值 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 2．已知关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设是关于的一元二次方程的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，由此即可得． 【详解】解：设是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍， ∴， 解得， 故答案为：1． 3．阅读华师版九年级上册数学教材第34页的部分内容，解答下列问题． 概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为、，那么，． (1)方程的两个实数根分别为、，则的值为______，的值为______． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，分式的求值，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，然后得到，整体代入求解即可； （3）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系得到，，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵方程的两个实数根分别为、， ∴，； （2）∵方程的两个实数根分别为、， ∴， ∴； （3）∵、是关于的方程的两个实数根 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得（舍去）或． 类型四、对称式求解 1．阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键．利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个实数根，， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：D． 2．已知，且，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 3．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 【答案】(1)   (2)， (3)的值为 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据，，进行解答，即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，，可得，，再通分，可得，进行解答，即可 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， ∴，是方程的两根，；； 故答案为：；． （2）解：∵，是方程的两根 ∴， ∴，． （3）解：∵两个不同的实数，满足，， ∴，，，可看作方程的两根， ∴，， ∴， 即的值为． 1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟悉一元二次方程的两根满足是关键．据此进而可以判断得解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 2．已知方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了韦达定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据即可得到答案． 【详解】解：的两根分别为和，， 故选：A 3．若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系构建方程求解． 【详解】解：设另一个根为， 则有， ， 另一个根为， 故答案为： 5．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 6．已知是方程的两个根，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数关系、完全平方公式，根据题意得到两根的和与积的等式，再结合完全平方公式进行化简，利用非负数的性质求解即可． 【详解】解；∵是方程的两个根， ∴，，且， 则 ， 故答案为：16． 7．已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】k＝3或4，周长是14或16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论并结合一元二次方程的根的情况进行求解． 根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①，②，③，再由根与系数的关系得出k的值． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ， 解得不存在； ②当时，即， ， 解得或， ③当时，同理求得或； 则的周长为：或． 综上所述，当或4时，是等腰三角形．其相应的的周长是14或16． 9．关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为、，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）判断出可得结论； （2）利用根与系数的关系得到，，结合已知得到方程，然后解方程即可求解． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴，则， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴，， ∵，即， ∴， 解得． 10．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值等知识点， 根据根与系数的关系进行求解即可； 根据根与系数的关系可得：,再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 可把与看作是方程的两个实数根，则有,再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 熟练掌握两根之和等于,两根之积等于是解决此题的关键． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为, , ； （3）解：实数满足,且， 是一元二次方程的两个实数根， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 即如果一元二次方程为ax²+bx+c=0，且a、b、c为常数，a≠0，那么设方程的两个根分别为x1和x2，则有： 这个公式通常称为韦达定理。它表明了一元二次方程的两个根与其系数之间的具体数量关系。通过这一关系，我们可以利用已知的方程系数来求解方程的一个根（在已知另一个根的情况下），或者求解与根相关的其他数学表达式，如两根的倒数和、平方和、差等。 巩固课内例1:已知一元二次方程一个根求另一个根或参数 1．若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根的值为（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程有一个根是，则另一个根是 ． 3．已知关于的方程．若方程有一个根为2，求的值及该方程的另一个根． 巩固课内例2:根据韦达定理公式变形求解 1．若，是方程的两个根，则的值为（） A． B． C．5 D． 2．设、是方程的两个实数根，则 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 类型一、直接运用韦达定理求解(两根之和) 1．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 3．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 类型二、直接运用韦达定理求解(两根之积) 1．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．设一元二次方程的两根为，，则 ． 3．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 类型三、判断两个数是不是一元二次方程的两个根 1．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 2．写出一个以和4为根的一元二次方程 ． 3．已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 类型一、运用两根之和与之积变形求值 1．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．9 B． C．7 D． 2．若是方程的两个根，则 ． 3．综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 类型二、与直角三角形结合 1．已知一个直角三角形两条直角边的长是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是(   ) A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 2．若的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，当 时，是等腰三角形；当 时，是以为斜边的直角三角形． 3．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 类型三、与长方形结合 1．下列说法正确的是（　　） A．若则 B．方程的两根之积为1 C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于 D．关于x的方程有实数根，则a满足且 2．若，（）为菱形的两条对角线，且a，b为一元二次方程的两根，则菱形的周长为 ． 3．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值 (2)是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 类型一、已知两数之和或之积求两个根 1．已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A． B． C． D． 2．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ，方程的两根为 . 3．已知关于的一元二次方程的两个根互为倒数，求的值． 类型二、新定义问题 1．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 2．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 3．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 类型三、已知韦达定理参数求值 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍，则的值为 ． 3．阅读华师版九年级上册数学教材第34页的部分内容，解答下列问题． 概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为、，那么，． (1)方程的两个实数根分别为、，则的值为______，的值为______． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值． 类型四、对称式求解 1．阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 2．已知，且，则的值为 ． 3．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．已知方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A． B．2 C．3 D． 3．若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是 ． 5．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 6．已知是方程的两个根，则的最小值为 ． 7．已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 8．已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 9．关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为、，且，求m的值． 10．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$