1.4 角平分线的性质-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版）

L3直角三角愁全等的判定 14角平分线的性质 求⊥4p⊥形，- ,A上-DF或比=Y减M的=（军 蓝毯在线 第1深时角平分假的性度和判定 :NLAD于点M,PY1CD于点N,tP=PN 4.13,2515211,1m4211 LB1.I&C4.DC-FE成E-CF 蒸回在线 ∠ADI=∠CDH 3,13证明：相，过及D作D⊥An .如国，在酸心k至阳△BF中 4,B2B1,L5.B.H1.A 有△AHD和△BD中 干点5， =, 真女D球⊥AD上AC, ∠AD-∠CHD. V∠=到'：1D是么A的角平分 W-C. ∠E=∠℃=0 》=p, 线， R△ACEN△CHFTHD. R△EE和ACDF中 ∠AI=∠CDI DE-CD ∠EAC=∠CF BD-CO. △AHD△CHDLASAL 在△D水中，：乙=， 芒∠E,M+∠AE=0 HE-Cy. SAD-CD ∠A下+∠IF= 的△Np窗△DpHL 能力在线 D-x ,∠AC市=1-=， DEDF 6B7,C我4 =1惑=C 7.作△DEF用路. WDE⊥AIFDF LAC 队血用辉示：P点甲为所求 2:,∠C=,∠B一，AD是AAC的角平许线 作送t(1D传∠MN=o'。 AD年分∠& n,(1)证明：：点P在C前系直平骨线上， ∠A4D∠B ()在M上我中，使D一A: 能力在战 .产=护 ∴A=D=X= (3口点D方周C,以A用的花为半径网花，交FN于点 5.A10,B11.1212, AP是∠D4C的平计找，DPLA,EP LAC 在民心0中，A=√AD-下一区 E,道接DE t1日明，PC=.∠AP-∠P. OP-EP. 期△DEF为所求作的壳角角形 小平分∠， 在△BDP和Rt△EP中， △AD的南肌为号×D兴-号×笑有-4石 能力在线 ∠AP=/ =4 4,I1IAF1DE∠B=,∠AFD=∠B L59,》16 .P-∠兴”C( =P, 在A球有民△A节中， .F⊥AB,ED⊥AB (YP平分∠A8:PA1,PI想. ,R△BDP☑R△CEPIHL3. LAD-AC. LAFAB. △MDF△ACU ∠DE=∠CF 立AP=用 BD-CE. AE=F,D=报， -C.AP-EPc (2)在达AD小1：△A上P中. 12)连拔AB,角《1)显期样得 R△ApE△FCHL AP-AP- △A1片△AH EDFC. PALM.品∠《Pe,∠AP= DP-EP. DFC Y∠EDG=∠F∠D-∠C :8路.∠M=∠A=1 R:6P2R△AEHl3,AD-AE, 春R△AEF和：△AEF中： .△a△GAA%) ∠P=∠P=∠ 4M'-I cm.AD-10-A AKAE. 5.DG-CG. 于x3m-1 率4十AD=1n=AD,解情Ap-言 AE=A九. 1,1UE晴，在AA8E和R△F中 佑黑在线 -RIAAEFORLAAED,E下=EI 蹈展在线 ABAC. 1.1)睛慰，ABC+b. ICED+CE EF-CEDF-EF+CE 1(1ZACH-100..ZAcD-r. E-CP. f明：AD平登∠HM∠C=,求⊥A 5,口i证周，过点已作F⊥1B,交A#的 Ri△A△WCFL.3.∠A5=∠CAF ,EHLBD,.∠CHE” ∠自I=∠D球4--∠D=D E长线干意：下A ∠CEH=56.∠2=-g=4f '∠1=∠4E-∠2，∠3∠CAF-∠2,4∠m∠4 在△ACD厢RLAAED中 4z3-N.理角如下： ∠A实-”一= YAD-AD,CD-ED. ￥∠D+∠BC=150.∠CF+ 证别：过点五分刺将国正有F k△AR△从F,A=AF iR△AcTR△AED,AC=A月 ∠A=1,∠0=∠HF. 干点M,EX上C与点N, ∠1-∠3 “∠作=45.∠Ui=0”, ∠Da=∠下 E平分∠AC,EM=EH 在△AEMn△AFN中，AE-AF .∠E用=.E=L六-E 在△E与△C苹中，∠Dm∠CF ∠E=∠F+m, :∠A-∠=- YAB-AE-EB-AC+CD. △AEO△AFMCASA5LM=AV 平∠D MC,(D,AB过弟线段之司的数量关第为AB一C十 4△DE=△CI5AAS.E-F CM-A-AM.NN-AB-AN...CM-BN 4.EN-EH.MEN. AC平登∠A且 佑漏在线 ∴A6平分ZA (2)(1)中哈情论外感城空 由《D可得HF=5-4. 13,5减1# YAC+CD4-.EM-EN~EH, 蓝明，在AB上蓝取AE=AC,连接DE ICE-CF. 14,如圈，过直C靠对⊥A0于点M.过 六Sn-S+Sm-AC,EN+CD·EH HAD子分∠B,品∠CAD=∠EAb国 在△AE程路△MP中，AC 点作N⊥A.之AD的甚长线 在△D和△LED中， △M2kAMI.,AmAB=1n 于点N, 是4Gmn-w-n YC=AE,∠CAD=,∠EAD,ADA 二A=AP一求= 在ACM和△DEN中， AACDAAEDISAS 单无蜂合复习（一）直角三角形 博子×·a-,解特M- ∠M0=∠ND, CD=ED:∠C-∠AE 的门考离实坡 ∠AM=∠N: 5Ai=,5, W∠C-2∠E,,∠AED=E∠L ,D三.行1包七A3,直角我自，目我，自以日 =E, 六5w-n…r-号×元x8-具 /ADm∠H+∠D语， 160南里 △CM△EN.MEN ,2∠B=∠B+∠EDB.,∠D=∠ED,ED=E 口.目附作线段M如国展袋 AN-AE-EB.ED-EBCAE AC. 在△EN框民△I中，N-M EF-AC 第？误时角平分汽的进瘤不料定的运项 111∠A=3':∠AmC=0. 基健在镇 .A程=C+D A-日 ,R△下ENa△R△ACL∴∠DEE=∠DA 1,A243, 阶段副评213一1.4川 AOIC.AC-IAO 1,，D1.=D,是∠的平分线 1.C上.1&B4B克B6,0 深究在所·八年雪数学（下）·X灯 191.4 角平分线的性质 ©第1课时 角平分线的性质和判定 ①基础在线 …“识要点分类练 知识点1角平分线的性质 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,若BD=5cm,则点D 第5题图 第6题图 到边AC的距离DE的长为 知识点2角平分线的判定 A.4 cm B.5 cm 6.(泸州期末)如图，∠AOB=70°，点C是 C.5.5 cm D.6 cm ∠AOB内一点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于 点E,且CD=CE,则∠DOC的度数是( A.30° B.35 C.40° D.45 7.(株洲期末)在正方形网格中，∠AOB的位置 B D C D 如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 第1题图 第2题图 ( 2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 () A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD A.M点B.V点C.P点 D.Q点 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 8.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若 ∠BAC,过点D作DE⊥AB,若BC=7,BD=4, BD=CD,BE=CF,求证：AD平分∠BAC 则DE的长为 A.5 B.4 C.3 D.2 M 第3题图 第4题图 4.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q 是射线OM上的一个动点，若PA=3,则PQ 的最小值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平 分∠CAB交BC于点D,且CD=3,AB=8,则 △ABD的面积为 ( A.24 B.12 C.8 D.3 19探究在线八年级数学（下）·X灯 ②能力在线 、方法规律综合猴… 9.如图，∠AOB=150°，OP平分∠AOB,PD1 OB于点D,PE⊥OA于点E,PC∥OB交OA 于点C,若PD=3,则OC的长为 () A.6 B.5 C.4 D.3 ③拓展在线》城代腹尖提升练一 第9题图 第10题图 14.(长沙期末)如图，在△ABC中，点D在BC 10.(临沂一模)如图，点P是△ABC内部的一 边的延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平 点，点P到三边AB,AC,BC的距离PD 分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂 PE=PF,∠BPC=130°，则∠BAC的度数为 足为H,且∠CEH=50°. ) A.65°B.80 (1)求∠ACE的度数： C.100°D.70 (2)求证：AE平分∠CAF: 11.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45,BC (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△m= =12cm,∠ABC的平分线交AC于点D,DE 21,求△ABE的面积. ⊥BC,则△DCE的周长等于 cm. 第11题图 第12题图 12.(中考·随州)如图，在R1△ABC中，∠C 90°，AC=8,BC=6,D为AC上一点，若BD 是∠ABC的平分线，则AD= 13.如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, 在OA上取一点C,连接PC,使PC=OC,BP -PC. (1)求证：PC∥OB: (2)求∠CPO的度数. 第1章20 ©第2课时角平分线的性质和判定的运用 基础在线》知识象点分类然 知识点角平分线的性质与判定的运用 1.如图，三条公路把A,B,C三个村庄连成一个 三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建 一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距 离相等，则这个集贸市场应建在 5.(青岛期中)如图，已知BD为∠ABC的平分 A.三角形三个内角的平分线的交点 线，点P在BD上，PM⊥AD于点M,PN⊥ B.三角形三条边的垂直平分线的交点 CD于点N,且PM=PN.求证：AD=CD. C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 实p 第1题图 第2题图 2.(泰州模拟)如图，两把相同的直尺的一边分别 与射线OB,OA重合，另一边相交于点P,则 OP平分∠BOA的依据是 () 2 能力在线沙方法规伴解合嫉 A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上 6.如图，在△ABC中，AQ=PQ,PR=PS,PR⊥ B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 AB于点R,PS⊥AC于点S,则三个结论： C.角平分线的性质 ①AS-AR:②QP∥AR:③△BPR≌△QSP D.角平分线是轴对称图形 中 ( ) 3.(永州期末)如图，AB∥CD,BP和CP平分 A.全部正确 B.仅①和②正确 ∠ABC和∠DCB,AD过点P且与直线AB垂 C.仅①正确 D.仅①和③正确 直.若AD=8,则点P到BC的距离是( D 第6题图 第7题图 A.8 B.6 C.4 D.2 7.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与 4.如图，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC 内角∠ABC的平分线BP交于点P,若 =PD.Q是OP上一点，QE⊥OA于点E,QF ∠BPC=40°，则∠CAP () ⊥OB于点F.求证：QE=QF A.40° B.45 C.50° D.60 21探究在线八年级数学（下）·X灯 8.(东明县期末)随着人们生活水平的不断提高。 3 拓展在线沙培优援尖提扑练 汽车逐步进人到千家万户，小红的爸爸想在本 镇的三条相互交叉的公路（如图所示）上建一 11.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B 个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这 =45°，AD平分∠BAC,交BC于点D.如果 样可供选择的地址有 处 作辅助线DE⊥AB于点E,猜想AC,CD, AB三条线段之间具有怎样的数量关系，并 证明你的猜想： (2)如图②，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平 9.如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在 分∠BAC,交BC于点D.(1)中的结论是否 要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条 仍然成立？若不成立，试说明理由：若成立， 道路OA,OB的距离相等，且到入口A,C的 请证明. 距离相等，请确定喷泉的位置P 10.(益阳期末)如图，△ABC的外角∠DAC的 平分线交BC边的垂直平分线于P点，PDI AB于点D,PE⊥AC于点E,连接BP,CP (1)求证：BD=CE: (2)若AB=4cm,AC=10cm,求AD的长. D 第1章22 阶段测评2(1.3一1.4) (时间：45分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 6.(益阳期未)如图，在△ABC中，BD平分 1.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C ∠ABC,E,P分别是BC,BD上的动点，连接 全等的条件是 PC,PE.若AB=20,S=60,则PC+PE 的最小值是 () A.3 B.6 C.10 D.12 A.AC=A'C'.BC=B'C' B.∠A=∠A',AB=A'B1 C.AC=A'C',AB=A'B' D.∠B=∠B',BC=B'C 2.如图，∠B=∠D=90°，BC=DC,∠1=40°，则 第6题图 第7题图 ∠2= 二、填空题（每小题5分，共30分） A.40 B.50 C.60° D.75 7.(常德期中)如图，AB=DC,AE⊥BC,DF⊥ BC,要根据“HL.”证明Rt△ABE≌Rt△DCF, 则还需要添加一个条件是 D 8.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线， 第2题图 第3题图 3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，过点D ∠ABC的平分线交CD于点E,当BC=4, 作DE⊥AB于点E,△ABC的面积为28，AB △BCE的面积为2时，DE的长为 =8,BD:DC=4:3,则AC的长为 A.2 B.6 C.4 D.5 4.如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线 OC上一点，PA⊥ON于点A,PB⊥OM于 第8题图 第9题图 点B.下面不能判定OP是∠MON的平分线 9.如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于点D,PE⊥ 的是 ( A.∠MOC=∠NOCB.PA=PB OB于点E,且PD=PE=2,EF∥OA,则EF C.OA=OB D.PB=OB 10.如图，△ABC中，BF是高，延长CB至点D, 使BD=BA,连接AD,过点D作DE⊥AB 交AB的延长线于点E,当AF=BE,∠CAD 第4题图 第5题图 =96时，∠C 5.如图，公路MN∥PQ,公路AB交公路MN于 点A,交公路PQ于点B,若要建一汽车旅店到 条公路的距离相等，则可供选择的地址有( A.1处B.2处 C.3处 D.4处 23探究在线八年级数学（下）·X灯 11.(梅州期中)如图，在∠AOB的边OA,OB上14.(13分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°， 取点M,N,连接MN,PM平分∠AMN,PN 连接对角线AC,且AC=AD,点E在边BC 平分∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2， 上，连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F, △OMW的面积是8，则OM+ON的长是 若AB=AF (1)求证：△ADF≌△ACB: (2)求证：DF=EF+CE. 第11题图 第12题图 12.(温州三模)如图，AC平分∠BAD,CE⊥AB 于点E,CF⊥AD的延长线于点F,且BC= CD=10,AB=21,AD=9,则AC的长为 三、解答题（共40分） 13.(12分)已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC的角平分线， (1)求证：BD=2CD: (2)若CD=2,求△ABD的面积. 15.(15分)（惠州二模）如图，CB=CD,∠D+ ∠ABC=180°，CE⊥AD于点E. (1)求证：AC平分∠DAB: (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. D 第1章24