第一章 2 直角三角形-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

1251 我过这A作工，凳D前 义品-40+2-高i5 超健在线 7因暗 氧力在铜 延长找于出3， 5-女度+2-方a假， 下中点南直平令州找登有细隆离相等的点在线段的系 5,5.D1以D1非2w 在A中，∠A醒-， 直平分程上E一EB线量的康直平计阀上价点裤低 -2AM. 反两留筒电离相等 14,411通直平分AB,N盒直平分A ￥D有A0上的中置： 良0 AD.CE-AE SAD-CD 能力在姨 兰AE的周长AD十E-A=D十DE十 0m1,,∠pC'=∠川= 常2课时直角三商别堂等的刺风 久1g,G11,11210 =C=青m 在△DCD程△AD中， 新如在线 1生1)活副，国为AP在AB的重直平分线上一 ∠1D'=/. 1,L5A5AAA45 所以PA=.桥g∠P1厅=+ 121:n每有羊分AH.2N垂食平分4 ∠BD-∠MD4 基超在线 所以∠AC=∠PAB+CB=E∠ ,=帝0 (0=AD, 1,A名1，n43,C1 (2)租摆道意，得0一 △CQ△3 MADCAA5 7.(Al-DC HL (2AC-DB HL 所以∠BAQ=∠Q1, 二从n汇4m, AM.AB-SBC. 43)∠Ax-∠组AAs4,∠ACB=∠a'AAs 及非=.国为∠Q-∠B+∠1Q=1 拓根在棱 1,拿直角三角形 赋力在战 隋以∠HMQ=∠0=2x, 13,431是情：连德A已 1保时直角三角形的生猜和利之 5. 在△AQ中.r十2r十2ru14。 ”M是0的中夏，A解⊥CD 要组在线 ,A【第新1品巨△A应△不，.T=A甘=，元川 二AM是线反4D的期直平分线 L角(2)平方平有 1L1》F,AD议， A=AD,又UICD 三(1》直角三角形(2)平若朝半方 【01114o022 ∠-∠A ∠1-∠4 况山结论条件进2不一定》直命题通定用 ”点E为D的中点 同用，∠1=∠1 ∠ND+∠用=∠D∠E=,B∠AH=0. ACE-DE. R△A2△7 在AF与AAED中 ∠2+∠1-T∠4，得∠BAD-E∠N 102.D3.14.54m AE~CD.CE-D. 瓦1》在直角三角那中，∠=， CFB=∠AED 2AML7D,AN⊥E,∠MAN=C, AP=A9+城 :+《p,k+D=AE .∠D=3g-0-0-0=110', ∠且F=∠EA ∠B+-D-∠D-3 “”广4=A ∠HD=2∠AAN=140 2BF+=, △AC和△AC是直角三角和 (2)月-后时，点H在线度AF的停直平分线上.弹由 :A月=AC,AD=AC..AIAD “”1“eA,1t11 △是直角三角形，且∠= -6.AD-2.AB=%,1=十A. ∠AC=∠ADC=0, ：（下=AD,+下=BF,A=nF ∠A'=∠A+∠I= 1,如果，语生为制反数.厚么。十女一明 R△ABR△HL 点B在线假F的套直平分阀上： 1.4角平分线 m22 耗腿在越 第1谋时角平分底的性质度判觉 2)和两个角耳余的以角形是直角已角后，再是真命题 WHE⊥EF干点E,DF1EF干成F, 1丘.(1f明：CmA,∠EEe∠ACDm.E=亡D, 如在 。CT”7= (3对角相等的个三角形全等，真，题 △Cq△A ,相等名相等平分线 城力有线 又BE=DE,READCESRL△FtU. (2)E.△CǜCD,,∠BE=∠MD 基留在切 O B 18.H 展在 X2=∠AEF, ,CA3,C4.D3,D,15 1LC【解有】融数意.以AB为边画 1(1H1 ∠CTE+∠E=CAD+∠AEF=, 7,:PDLO4于点D,PEL于点E, :△A,能点C在棉点上，满足这作 证到：如国，过4C作G⊥AB交B ,∠AFE+∠E=,.BF⊥A 2PDF=∠P=o 作的点C有个如店图 价盘长候T点，过点下作F程⊥pE丝 :位1-D,二△Ap是等厘三身思 在△FD相和△风E中， 12.0 感的延长线干点H. 又F⊥AD. 1,间或D【解1分∠D=减A :E度-∠下，∠A二，∠罗都是纯角： PF=.DF.△PFIR△YEHl. 醚据等耀三角思”三规企一的且植，得球基规以AD ,”.2 15-∠A度-1Se-∠EF,泰Z∠4-∠FEH 的重直平异线 世P是1→点，PDA,PE⊥ 14,正0a 在△和△2中， ():F是线及D的重直平分线 ,是∠的平线， ∠CDG=∠EEH,G=∠H=,C=E 15.I先E∠DAE=∠CDM,库任△DAE2A,从 0-AE 脑力在饭 E-EBL △E的长-E+D+E=+0+E中 .Ak,A0,C1L,61g,D8@④1,1 (2)若A5.则A图 在民△程k及FH中 C4=7I,4=D. 14.0)AID, 14.AEA=1, AC4F,CG=FH,∠.A✉∠FHD=, △DE的得长CD十CB=DAB 品∠&AD十∠D1 第2课转三育形三边企直平分汽的性 :A平分∠A,F平》∠AC 有AA仪自△DEF中， 6 新划套维 ∠MID=2∠MAD 段OD=:写DE=CD=B-: ∠A=∠D.∠C=∠F,=F ∠A2=2∠AM .A1下 1. 在△军中， 2小山馆有等理)线度约座直平分线上的点翼线2 2∠AD+1∠A=18F. 自取定用，鞋广=+再一)，解得=于，见0一5， 1如图+△A仪程△0EF不全单 两端的更南用等 .∠十∠ADM=转 E4,8,00,5, 1.1战厘的看直平分线 健在性 ∠AMD=9,厚ALD 耗属在越 第课时我段直平分汽的提发定 1.D 2.B 3.PB-PC 2如幅，作N⊥D交A山于点N, 17,一1114(2直角 斯知在线 4,1国略， ()正内第色外每算道的中点上 ∠-,AB(TD.∴.wA, 二∠MB=A一9=A古， L相等2周南离集直平什线 5.A 6.A AM平分∠民4D,DM平什∠A2C, 18 一授究在线·八年级数学（下）·探究在线双冒导·学·类 第一-章 三角形的证明 1.2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质和判定 新知在线 4. 在△ABC中,已知AB=12cm,AC=9cm,BC -15cm,则△ABC的面积等于 1. 直角三角形的性质; 5. 如图,在直角三角形ABC中,BCA-90^{},AC (1)直角三角形的两个锐角 -12,AB-13,点D是直角三角形ABC外一 等于 (2)直角三角形两条直角边的 点,连接DC,DB,且CD-4.BD-3. 斜边的 (称之为勾股定理). (1)求BC的长; 2. 直角三角形的判定: (2)求证;人BCD是直角三角形 (1)有两个角互余的三角形是 (2)如果三角形两边的 等于第三边 的 ,那么这个三角形是直角三角形 (勾股定理的逆定理). 3. 关于命题的相关概念: (1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的 和 ,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题是另一个命 题的 命题; (2)一个命题是真命题,它的逆命题 是真命题; (3)如果一个定理的逆命题经过证明是 知识点二 逆命题、逆定理 ,那么它也是一个定理,这两个定理称 6. 下列关于命题的说法中正确的是 为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理 A.每个命题都有逆命题 的 B.每个定理都有逆定理 基础在线 C.每个真命题的逆命题也是真命题 D.每个假命题的逆命题也是假命题 知识点 直角三角形的性质和判定 7. 命题“如果a十b-0,那么a,b互为相反数”的逆命 1.(中考·淄博)如图,在四边形ABCD中,CD/ 题为 AB.AC BC.若 B-50{*,则 DCA等于( ) 8. 写出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假 B.35* A.30* C.40* D.45* (1)两直线平行,同位角相等; ## (2)直角三角形的两个锐角互余; ### (3)全等三角形的对应角相等。 第1题图 第3题图 2. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 C ) A. A-B+C B A:B:C-1:1:2 C-十 能力在线 D.a:b:c-2:3:4 3. 如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB 9. 如图,AD,CE分别是ABC的中线和角平分 ) 一1,FC一2,那么正方形ABCD的面积为 线.若AB-AC,CAD-20*,则ACE的度数 是 A.③ B.3 C.5 D.5 ) A.20* B.35f C.40* D.70。 八年级数学(下)·BS 16. 如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上; 点C在y轴的正半轴上,0A-10,0C-8,在 OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点Q 落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标. 第9题图 第11题图 ) 10.(中考·玉林)下列命题中,其逆命题是真命题 的是 , ) A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.正方形的四个角都相等 11. 如图,在5×5的正方形网格中,以AB为边画 直角三角形△ABC,使得点C在格点上,满足 这样条件的点C的个数是 ( , C.8 A.6 B.7 D.9 12. 下列命题中,逆命题成立的有 (填序号). 拓展在线 ①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角 是直角,那么它们相等;③全等三角形的对应 17. 探究题: 边相等;④如果两个实数相等,那么它们的平 (一)小明在玩积木时,把三个正方体积木摆成 方相等: 一定的形状,正面看如图①所示; 13. 在△ABC中, A-50{}.B-30{},点D在AB 边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则 BCD的度数为 度。 14. 如图,点P是等边三角形ABC 内一点,连接PA,PB,PC. PA:PB:PC-3:4:5,以AC为 图① 边作△APC△APB.连接 图② PP,则有以下结论:①△APP (1)若图中的△DEF为直角三角形,DEF一 是等边三角形;②△PCP是直角三角形; 90{,正方形P的面积为9,正方形Q的面积 ③ APB-150*;④ APC=105*}其中一定正确 为15,则正方形M的面积为 的是 .(把所有正确答案的序号都填 (2)若P的面积为36cm,Q的面积为64cm. 在横线上) 同时M的面积为100cm,则△DEF为 15. 已知正方形ABCD,点E在CD上,点M在直 三角形. 线BC上. (二)图形变化:如图②,分别以直角三角形 (1)如图①,若DM1 AE,求证:DM-AE; ABC(ACB-90})的三边为直径向三角形外 (2)写出(1)中命题的逆命题,并在图②中画出 作三个半圆,你能找出这三个半圆的面积S. 一个图形说明该逆命题是假命题. S..S.之间有什么关系吗?请说明理由; ## 图① 图② 探究在线 高双堂导·学·秦 第一章 三角形的证明 第2课时 直角三角形全等的判定 #### 新知在线 。 1. 和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等,简称“斜边、直角边定理”,记作 第5题图 第6题图 2. 判定两个直角三角形全等的方法有 6. 如图,AB1BC,DC BC,垂足分别为B.C,AB =6cm,BC=8cm,CD=2cm,点P为BC边上 一动点,当BP= 基础在线 _cm时,Rt△ABP与 Rt△PCD全等 知识点 利用“HL”判断两直角三角形全等 7. 如图, A= D-90{},请你添加一个条件,使 1. 如图.BE-CF.AE BC,DF BC.要根据 Rt△ABC2Rt△DCB,并在添加的条件后面的 “HL”证明Rt△ABE2Rt△DCF,则还要添加 括号内填上判断的依据. . 一个条件是 ) (1) ): B. A-D A.AB-DC (2) 。 C.B-C D.AE-DF (3) 2 ( ); (4) ). 能力在线 第1题图 第2题图 8. 如图,在△ABC中,C-90*,E为AC上一点 2. 如图,AD-BC, C= D=90**下列结论中不 ED AB于点D,BD=BC,连接BE,若AC 成立的是 6 cm,则AE十DE等于 . ) A. DAE- CBE A.4.cm B.5cm B.CE-DE C.6cm D.7cm C.△DAF与△CBE不一定全等 D.1-2 3. 如图, B- D-90{,BC- CD.1-43*,则/2- A.43{ B.47* C.67* D.77* 第8题图 知识点 直角三角形全等的综合判定 第9题图 4. 下列语句中不正确的是 9. 如图,在△ABC中,AD1BC,CE AB,垂足分 A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 别为D.E,AD,CE交于点H,已知EH=EB B.有两边对应相等的两个直角三角形全等 3.AE一4.则CH的长是 ( ) C.有两个角对应相等的两个直角三角形全等 A.1 B.2 C.3 D.4 D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三 10. 如图,CD1AB,BE1AC,垂足分别为D,E. 角形全等 BE与CD相交于点O,且1=2,则下列结 5. 如图,点C.F在线段BE上,AB=DE,BC 论中正确的有 EF.若要添加一个条件,使△ABC△DEF,则 ) 这个条件不可以是 ① B-C;②△ADO△AEO;③△BOD A.AC-DF B. 1-2-90* △COE;④图中有四对三角形全等。 C.A-D A.1个 B.2个 C.3个 D. B- E D.4个 13 八年级数学(下)·BS ##_## 拓展在线 15.(问题提出) 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”. 第10题图 第11题图 “ASA”,“AAS”,“SSS”)和直角三角形全等的 11. 如图所示,H是△ABC的高AD,BE的交点; 判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角 且 DH=DC,则下列结论:①BD=AD;②BC 形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情 -AC;③BH-AC;④CE-CD.其中正确的是 形进行研究. (初步思考) .(用序号表示) 12. 如图,MN/PQ,AB1PQ,点 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF中,AC=DF,BC=EF, B= E$ A.D在直线MN上,点B.C 然后,对 B进行分类,可分为“B是直角、钝 在直线PQ上,点E在AB 角,锐角”三种情况进行探究 上,AD+BC=7,AD=EB, ###_### DE-EC,则AB= 13. 如图,已知△ABC,AC-BC,作AE1CE于点 E.BDICE于点D,且AE=CD (深入探究) 求证:(1)/ACB-90* 第一种情况:当 B是直角时,△ABC△DEF (1)如图①,在△ABC和△DEF中,AC-DF. (2)BD+DE-AE BC-EF. B-E-90{,根据 ,可 以知道Rt△ABCRt△DEF 第二种情况:当 B是钝角时,△ABC△DEF (2)如图②,在△ABC和△DEF中,AC=DF, B$C=EF,B=E,且 B,E都是钝$ 角,求证:△ABC△DEF. 第三种情况:当 B是锐角时,△ABC和△DEF 不一定全等. (3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC= EF,B一E,且 B.E都是锐角,请你 用尺规在图③中作出△DEF,使DEF和 △ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹) 14. 如图,AB-AD. ABC= ADC-90*,EF过 点C,BE IEF于点E,DF 1EF于点F,BE DE.求证:RtBCF。RDCF.