第十七章 勾股定理 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十七章 勾股定理 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十七章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列四组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．在中，，若，则等于（   ） A．4 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 4．下图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形A，B的面积分别为9，4，则正方形C的面积是（    ） A．5 B． C．13 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵A，B的面积分别为9，4， ∴正方形C的面积为， 故选：A． 5．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，利用勾股定理正确得出的长是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故弧与数轴的交点P表示的数为：． 故选：B． 6．已知直角三角形的两边长分别为、，且、满足，则此直角三角形的斜边为（   ） A．5 B．5或 C．4 D．4或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性、非负数的性质、勾股定理等知识点，根据非负数的性质求得求出a与b的值是解题的关键， 由非负数的性质求出a和b的值，然后再分两种情况解答即可． 【详解】解：∵、满足， ∴，即， ①当4是直角边时，其斜边长为； ②当4是斜边时，其斜边长为4． 综上，斜边长为4或5． 故选D． 7．《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， 故选：A． 8．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 9．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：A． 10．如图，已知，一个智能机器人在内，到点的距离为1米的点处，智能机器人从点出发走到边上的点，即刻转身走到边边上点，然后回到点处，则智能机器人走的最短路程是（   ） A．1米 B．米 C．米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，以及勾股定理． 作点P关于的对称点，关于对称点N，连接，交于E，交于F，由轴对称的性质可得，此时智能机器人走的路程最短．求出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，关于对称点N，连接，交于E，交于F， 则米，， ∴， ∴此时智能机器人走的路程最短． ∵，， ∴， ∴米． 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在平面直角坐标系内，点的坐标为，则线段的长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：已知点的坐标为，过点作轴的垂线，就组成了一个直角三角形，二直角三角形的两条直角边分别为， ∴ 故答案为：13． 12．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】此题考查勾股定理，由题意这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况利用勾股定理进行解答． 【详解】解：分两种情况： ① 3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为； ② 3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为． 故答案为：5或． 13．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键． 根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴． ∴正方形B的边长是2． 故答案为：2． 14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，设长方形门高x尺，则宽是尺，由勾股定理的计算方法即可求解． 【详解】解：设长方形门高x尺，则宽是尺，对角线长1丈尺， 根据题意得，， 答案为：． 15．如图，中，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，勾股定理求出的长，根据垂线段最短结合等积法求出的最小值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是线段上的一个动点， ∴当时，的值最小， 此时：， ∴， ∴； 故答案为：． 16．“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，解题关键是注意运用隐含的已知条件来解答此类题． 根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ， ，即， ， 故答案为：5． 17．如图，在中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理在中，求得，根据的面积求出，进而得到，从而根据勾股定理在中求得，在求得，即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ， ∵是斜边上的高， ∴， ，即， ∴， ∵，且， ∴， ∵在中，， ∴在中，． 故答案为： 18．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．延长到，使得，连接，过点作交于点，则得出，再证明，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可． 【详解】解：延长到，使得，连接，如图所示： ， ， ，， ， 如上图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 20．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？ 【答案】24米 【分析】本题考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． 答：滑雪台整体的水平距离为24米 21．（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解，的最小值为 【分析】（1）作的角平分线，再过点作的垂线，根据角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，，则，所以，所以的最小值即为的值，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴先作的角平分线，交于点，再过点作的垂线，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴这三家农户所得土地的形状、大小相同； （2）如图所示， 根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小 值即为的值， 在中，，，， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，作垂线，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握尺规作图的方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．如图，已知直线，于点是直线上一动点，且点在点右侧，点在直线同侧，若，，，请你探索当的长为多少时，是一个以为斜边的直角三角形？ 【答案】当的长为8时，是一个以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形，设当的长为时，是一个以为斜边的直角三角形，在和中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟练掌握勾股定理解直角三角形的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设当的长为时，是一个以为斜边的直角三角形，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，解得， 答：当的长为8时，是一个以为斜边的直角三角形． 23．如图的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，均在格点上． 请在给定的网格中按要求作图． (1)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为钝角三角形，请在边上找到一点，使的面积等于面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理与网格的计算，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，作图，即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，作图，即可； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理的应用，三角形的面积，作图，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 为等腰三角形且为锐角三角形； ∵，， ∴ 为等腰三角形且为锐角三角形； ∴即为所求（答案不唯一）． （2）解：∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，且为直角三角形； ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，且为直角三角形； ∴即为所求（答案不唯一）． （3）解：∵，， ∴为等腰三角形，且为钝角三角形， ∵，， ∴的面积等于面积的； ∴点即为所求． 24．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动． (1) ， （用含t的代数式表示）； (2)P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形的面积是？ (3)P，Q两点从出发点出发几秒时，点P与点Q的距离是？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到t秒满足条件，结合图形，表示出，即可； （2）根据梯形的面积公式求解即可； （3）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到t秒时，由图可知：； （2）根据梯形的面积公式得： ， 解得：， 即 P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积是； （3）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P与点Q的距离是，作，垂足为E，则， ， ， 由勾股定理得： 解得：， 答：从出发到秒或秒时，点P与点Q的距离是． 25．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． (1)请结合图①，写出完整的证明过程； (2)如图②，等腰直角三角形，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得，再用三角形边长表示，进而整理变形即可得结论； （2）由等腰直角三角形的性质可求，由可证，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴=， ∴． （2）解：如图②，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 26．春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)是，理由见详解 (3)或，理由见详解 【分析】本题考查了新定义，勾股定理； （1）由勾股定理得，由新定义即可求解； （2），，由新定义即可求解； （3）由新定义分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，即可求解； 理解新定义，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，在中，，， ， ， 等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”， 故答案为：是； （2）解：是； 理由如下： ， ， ， 该三角形是“巳巳如意三角形”； （3）解：是；理由如下： ①当时， ， 解得：，（舍去）， ； ②当时， ， 解得：，（舍去）， ； ③当时， ， 解得：，（舍去）， ； 故的值为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十七章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列四组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25 2．在中，，若，则等于（   ） A．4 B．16 C．20 D．25 3．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 4．下图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形A，B的面积分别为9，4，则正方形C的面积是（    ） A．5 B． C．13 D． 5．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（   ） A．2.2 B． C． D． 6．已知直角三角形的两边长分别为、，且、满足，则此直角三角形的斜边为（   ） A．5 B．5或 C．4 D．4或5 7．《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 8．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 10．如图，已知，一个智能机器人在内，到点的距离为1米的点处，智能机器人从点出发走到边上的点，即刻转身走到边边上点，然后回到点处，则智能机器人走的最短路程是（   ） A．1米 B．米 C．米 D．2米 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在平面直角坐标系内，点的坐标为，则线段的长为 ． 12．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ． 13．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．    14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 ． 15．如图，中，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 16．“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 17．如图，在中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为 ． 18．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 20．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？ 21．（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 22．如图，已知直线，于点是直线上一动点，且点在点右侧，点在直线同侧，若，，，请你探索当的长为多少时，是一个以为斜边的直角三角形？ 23．如图的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，均在格点上． 请在给定的网格中按要求作图． (1)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图中，以格点为顶点，画出一个为等腰三角形，且为钝角三角形，请在边上找到一点，使的面积等于面积的． 24．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动． (1) ， （用含t的代数式表示）； (2)P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形的面积是？ (3)P，Q两点从出发点出发几秒时，点P与点Q的距离是？ 25．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． (1)请结合图①，写出完整的证明过程； (2)如图②，等腰直角三角形，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，，求的长． 26．春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$