第03讲 线段的垂直平分线（1个知识清单+4类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第03讲 线段的垂直平分线 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01线段垂直平分线的性质.............................................................................................................................................2 题型02线段垂直平分线的判定.............................................................................................................................................5 题型03作已知线段的垂直平分线........................................................................................................................................9 题型04作垂线(尺规作图)......................................................................................................................................................12 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................31 知识点1．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型01线段垂直平分线的性质 1．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，，的周长为23，求的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解答此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质得出，，求出，，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ∴，， 的周长为23， ， ， 的周长为， 的周长为15． 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．延长到，使得，连接，过点作交于点，则得出，再证明，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可． 【详解】解：延长到，使得，连接，如图所示： ， ， ，， ， 如上图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东·开学考试）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】等边对等角、等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是∶ （1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据即可得出的度数； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，再根据等腰三角形性质得，则，由此可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴，， ∴， ∴， 在中，，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型02线段垂直平分线的判定 4．（21-22八年级下·广东佛山·期中）如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的判定、根据等边对等角证明 【分析】延长交于点，过点作点，先证明是线段的垂直平分线，再由勾股定理求得，，进而由，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， 即，点在线段的垂直平分线上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴在中，即， 解得， 在中，， ∴即， 解得， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，等边对等角以及等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析； (2)4 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型03作已知线段的垂直平分线 7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 8．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 【答案】15 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．由题意可得，，则的周长为求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为24，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：15． 9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了基本作图．根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点． 【详解】解：如图，点P就是学校的位置． ． 题型04作垂线(尺规作图) 10．（2024·贵州毕节·三模）如图，在中，分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点：作直线，分别交于D，E两点．若，的周长为，则的周长为（   ）    A．15cm B．16cm C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，根据题中作图得到垂直平分，得到，，由的周长为，得到，利用周长公式求出的周长． 【详解】解：由题意得，垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选：D． 11．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图过程可知，是线段的垂直平分线，则，，由题意知，的周长为，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴，， 由题意知，的周长为， ∴的周长为 即的周长为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，中，．    (1)尺规作图：在上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理， （1）根据垂直平分线的性质即可知作线段的垂直平分线与线段相交的点即为所求点D； （2）根据已知可求得线段的长，利用勾股定理可求得的长，结合面积公式即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求；    （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 则． 夯实基础 一、单选题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为(   ) A．l.5 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°， 在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2． 故选C． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了线段垂直平分线的性质． 2．如图，，，下列结论正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】根据题意可得垂直平分，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，故B结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明垂直平分，则无法证明平分，故A、C、D结论错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 3．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接．若，则的长为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由作图可知，垂直平分线段，可得，可得结论． 【详解】由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是知道题目中作图步骤是作垂直平分线． 5．如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（　　）    A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90° 【答案】C 【分析】利用基本作法，作了线段CQ的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质可对各选项进行判断． 【详解】由作法得AD垂直平分CQ， 所以PQ＝PC． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 6．如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．以上恒成立的结论有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查线段的垂直平分线或平行线的判定与性质，做题的关键是掌握相关知识． 根据线段的垂直平分线或平行线的判定与性质逐一推理即可． 【详解】解：（1）是的垂直平分线， ，可证． （2）是的垂直平分线， ，可证， 平分， ， ， ． （3）与不一定互相垂直， （3）不一定成立． （4）由（1）（2）得，， 又，， ． 故选：C． 7．如图所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是（    ） A．连接BA并延长与l的交点为P B．连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为P C．过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P D．过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接A′B，则A′B与L的交点为P 【答案】D 【详解】只要作点A关于l的对称点A′，根据对称性可知，PA=PA′．因此，求PA+PB最小就相当于求PA′+PB最小，显然当A′、P、B在一条直线上时PA′+PB最小，因此连接A′B，与直线l的交点，就是要求的点P，故D选项正确. 故选D. 8．如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（    ） 结论①；结论②． A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理得，根据ASA可证明得出，，从而得到BD是CE的垂直平分线，得DC=DE，又可得，从而再由三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵在△ABC中，，， ∴ ∵BD是∠ABC的平分线， ∴ 又 ∴ 在和中， ∴ ∴BC=BE，CO=EO ∴ ∴ ∵CO=EO， ∴BD是CE的垂直平分线， ∴DC=DE， ∴ ∴ 故①②都正确， 故选A 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 二、填空题 9．到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是 ． 【答案】线段PQ的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，即可得到答案． 【详解】解：到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是线段PQ的垂直平分线； 故答案为：线段PQ的垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行解题． 10．和已知线段两个端点相等的点的轨迹是 ． 【答案】已知线段的垂直平分线 【分析】利用垂直平分线的判定定理可以得到答案． 【详解】∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴到线段两个端点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线． 11．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题真假，原命题的逆命题．先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，它是真命题， 故答案为：真． 12．如图，在中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，然后证明，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形等边对等角，三角形外角的性质以及勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质是解本题的关键． 13．如图，△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，则∠ACE的度数等于 ． 【答案】40° 【详解】试题解析：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=20°， ∴∠ACB=180°﹣100°﹣20°=60°， ∵边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D， ∴BE=CE， ∴∠ECB=∠B=20°， ∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=60°﹣20°=40°. 14．已知，如图，AC=BC，AD=BD，那么 是 的垂直平分线. 【答案】 CD AB 【分析】根据线段垂直平分线的判定即可解答. 【详解】解：∵AC=BC ∴点C在线段AB的垂直平分线上； ∵AD=BD ∴点D在线段AB的垂直平分线上； ∴CD是线段AB的垂直平分线上. 故答案为CD；AB. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟知与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键. 三、解答题 15．用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为． 【答案】见解析 【分析】根据题意先作，然后利用刻度尺取，根据勾股定理求解得出cm即可． 【详解】解：如图所示，先作，然后利用刻度尺取， ∴cm， ∴线段即为所求． 【点睛】本题主要考查作一个角等于直角，勾股定理与实数，根据无理数构造出相应直角三角形是解题关键． 16．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 17．如图所示，五边形是轴对称图形，且点A与点E是对称点，试作出该图形的对称轴，并写出作法．    【答案】见解析 【分析】由五边形是轴对称图形可知对称轴是线段的垂直平分线，据此解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N． （2）作直线，则就是所求作的对称轴．    【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等，关于某直线对称的两个图形是全等图形． 18．如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD=29°，求∠B的度数． 【答案】∠B=93°． 【详解】试题分析：已知AD平分∠BAC，∠BAD=29°，根据角平分线的定义可得∠BAC=58°；再由DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质定理可得AD=DC，根据等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DCA=29°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠B=93°． 试题解析： ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE， ∵∠BAD=29°， ∴∠DAE=29°， ∴∠BAC=58°， ∵DE垂直平分AC， ∴AD=DC， ∴∠DAE=∠DCA=29°， ∵∠BAC+∠C+∠B=180°， ∴∠B=93°． 19．如图，将边长为6的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕(如图①)，为其交点. (1)探求与的数量关系，并说明理由; (2)如图②，若分别为上的动点. ①当的长度取得最小值时，求的长度; ②如图③，若点在线段上，，则的最小值为 . 【答案】 (1) ； (2) ① ； ②. 【分析】(1)根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,得到AO=OB,根据直角三角形的性质即可得到结论; (2)如图②,作点D关于BE的对称点D',过D'作D′N⊥BC于N交BE于P,则此时PN+PD的长度取得最小值,根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′,推出△BDD′是等边三角形,得到BN=BD=,于是得到结论; (3)如图③,作Q关于BC的对称点Q',作D关于BE的对称点D',连接Q′D′,即为QN+NP+PD的最小值.根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°,得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形,解直角三角形即可得到结论. 【详解】（1）AO=2OD. 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30° ∴AO=OB， ∵BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠BDO=90°， ∴OB=2OD， ∴AO=2OD. （2）①如图，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值， ∵BE垂直平分DD′， ∴BD=BD′， ∵∠ABC=60°， ∴△BDD′是等边三角形， ∴BN=BD=， ∵∠PBN=30°， ∴， ∴PB=. ②如图，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的值最小值， 根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°， ∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形， ∴∠D′BQ′=90°， ∴在Rt△D′BQ′中， D′Q′= ， ∴QN+NP+PD的最小值= . 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称—最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段是解题的关键. 20．如图， AB、BC的垂直平分线交于点P， (1)求证：PA= PC； (2)连接AC， ①若∠ABC=150°，证明△PAC是等边三角形. ②若∠ABC= °，△PAC是等腰直角三角形.（直接填结果，不需要说明） 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②135° 【详解】试题分析：（1）由垂直平分线的性质即可得到结论； （2）①根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形进行判断； ②由等腰三角形的性质得到∠A=∠ABP，∠C=∠PBC，再由四边形内角和等于360°可以求出当∠APC=90°时，∠ABC的度数． 试题解析：解：（1）连接PB．∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC． （2）①∵∠ABC=150°，∴∠A＋∠C=150°，∴∠APC=360°―150°―150°=60°，∵PA=PC ∴△PAC是等边三角形． ②∵PA=PB，∴∠A=∠PBA，∵PB=PC，∴∠C=∠PBC，∵∠A+∠ABC+∠C+∠APC=360°，∴2∠ABC+∠APC=360°，∵∠APC=90°，∴2∠ABC=270°，∴∠ABC=135°． 能力提升 一、单选题 21．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】A 【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称， ∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50° 同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2， ∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°， ∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠AOB＝40°， 故选A． 【点睛】利用对称性做出相应的对称点，然后利用两点之间，线段最短的知识点解题是本题的解题关键. 22．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　） A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70° C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90° 【答案】A 【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论． 【详解】∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD，∠B＝∠BCD， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BCD＝20°， ∴∠CDA＝20°＋20°＝40°． ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＝(180°−40°)＝70°， ∴A错误，B正确； ∵CD＝AD，BD＝CD， ∴CD＝AD＝BD， ∴点D为△ABC的外心，故C正确； ∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°， ∴∠ACB＝70°＋20°＝90°，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 二、填空题 23．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交边、于点、，为直线上一点．若，则周长的最小值为 ． 【答案】6 【分析】由垂直平分线的性质可知，因此的周长就等于，当点与点重合时，的值最小，也即的值最小，结合已知条件，求出的值即可得解． 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】是的垂直平分线， 点与点关于对称， ， ， 当点与点重合时，的值最小， ，，， ， 周长的最小值为， 周长的最小值为， 故答案为． 24．如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为 ． 【答案】6 【分析】作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，依据中，，即可得到，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于， 则， 设，则， ∵，， ∴， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算． 三、解答题 25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF＝FC． 【答案】见解析 【详解】试题分析：连接AF，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°，根据线段的垂直平分线的性质得出BF=AF，推出∠BAF=∠B=30°，求出∠FAC=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 试题解析： 连接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵EF为AB的垂直平分线， ∴BF=AF， ∴∠BAF=∠B=30°， ∴∠FAC=120°-30°=90°， ∵∠C=30°， ∴AF=CF， ∵BF=AF， ∴BF=FC． 26．已知直线l及其两侧两点A、B，如图． (1)在直线l上求一点P，使PA=PB； (2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求； （2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． （2）解：如图，点Q即为所求． 【点睛】本题考查了尺柜作图，线段的垂直平分线的性质及轴对称的性质，需用仔细分析题意结合图形才能解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 线段的垂直平分线 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01线段垂直平分线的性质.............................................................................................................................................2 题型02线段垂直平分线的判定.............................................................................................................................................5 题型03作已知线段的垂直平分线........................................................................................................................................9 题型04作垂线(尺规作图)......................................................................................................................................................12 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................31 知识点1．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型01线段垂直平分线的性质 1．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，，的周长为23，求的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．19 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 3．（24-25八年级下·广东·开学考试）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 题型02线段垂直平分线的判定 4．（21-22八年级下·广东佛山·期中）如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为 ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 题型03作已知线段的垂直平分线 7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型04作垂线(尺规作图) 10．（2024·贵州毕节·三模）如图，在中，分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点：作直线，分别交于D，E两点．若，的周长为，则的周长为（   ）    A．15cm B．16cm C． D． 11．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．    12．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，中，．    (1)尺规作图：在上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，求的面积． 夯实基础 一、单选题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为(   ) A．l.5 B． C．2 D． 2．如图，，，下列结论正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 3．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接．若，则的长为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（　　）    A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90° 6．如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．以上恒成立的结论有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 7．如图所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是（    ） A．连接BA并延长与l的交点为P B．连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为P C．过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P D．过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接A′B，则A′B与L的交点为P 8．如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（    ） 结论①；结论②． A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 二、填空题 9．到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是 ． 10．和已知线段两个端点相等的点的轨迹是 ． 11．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 12．如图，在中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，，若，，，则 ． 13．如图，△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，则∠ACE的度数等于 ． 14．已知，如图，AC=BC，AD=BD，那么 是 的垂直平分线. 三、解答题 15．用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为． 16．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 17．如图所示，五边形是轴对称图形，且点A与点E是对称点，试作出该图形的对称轴，并写出作法．    18．如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD=29°，求∠B的度数． 19．如图，将边长为6的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕(如图①)，为其交点. (1)探求与的数量关系，并说明理由; (2)如图②，若分别为上的动点. ①当的长度取得最小值时，求的长度; ②如图③，若点在线段上，，则的最小值为 . 20．如图， AB、BC的垂直平分线交于点P， (1)求证：PA= PC； (2)连接AC， ①若∠ABC=150°，证明△PAC是等边三角形. ②若∠ABC= °，△PAC是等腰直角三角形.（直接填结果，不需要说明） 能力提升 一、单选题 21．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 22．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　） A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70° C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90° 二、填空题 23．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交边、于点、，为直线上一点．若，则周长的最小值为 ． 24．如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为 ． 三、解答题 25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF＝FC． 26．已知直线l及其两侧两点A、B，如图． (1)在直线l上求一点P，使PA=PB； (2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$