课时测评39 复数的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评39　复数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．复数z＝sin －icos ，则复数z的虚部是(　　) A．－ B．－ C．i D．－i 答案：B 解析：因为z＝sin －icos ＝－i，所以其虚部为－.故选B． 2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i B．3＋i C．－2＋2i D．2＋2i 答案：A 解析：复数3i－2的虚部为3，复数3i2＋2i＝－3＋2i的实部为－3，故所求复数为3－3i.故选A． 3．如果复数z＝m2＋m－2－i是纯虚数，m∈R，i是虚数单位，则(　　) A．m≠1且m≠－2 B．m＝1 C．m＝－2 D．m＝1或m＝－2 答案：C 解析：由复数z＝m2＋m－2－i是纯虚数，得解得m＝－2.故选C． 4．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件． 5. 若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 025i＝2－bi，则a2＋bi等于(　　) A．2 025＋2i B．2 025＋4i C．2＋2 025i D．4－2 025i 答案：D 解析：因为a＋2 025i＝2－bi，a，b∈R，所以a＝2，－b＝2 025，即a＝2，b＝－2 025，所以a2＋bi＝4－2 025i.故选D． 6．已知x，y∈R，若(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________． 答案：2 解析：由题意得⇒所以x＋y＝2. 7．若(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为________． 答案：2 解析：由题意得解得m＝2. 8．(双空题)复数z＝cos ＋isin，且θ∈[－，]，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________． 答案：±　0 解析：z＝cos ＋isin＝－sin θ＋icos θ.当z是实数时，cos θ＝0，因为θ∈，所以θ＝±；当z为纯虚数时，又θ∈，所以θ＝0. 9．(10分)(一题多问)已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R). (1)若复数z是实数，求实数a的值；(3分) (2)若复数z是虚数，求实数a的取值范围；(3分) (3)复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．(4分) 解：(1)若复数z是实数， 则即 所以a＝6. (2)若复数z是虚数， 则即 所以实数a的取值范围为{a|a≠±1，a≠6}． (3)复数z不是纯虚数．理由如下： 若复数z是纯虚数， 则即 此时无解，故复数z不是纯虚数． (10—12每题5分，共15分) 10．(多选)下列命题错误的是(　　) A．复数a＋bi不是纯虚数 B．若x＝1，则复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数 C．若(x2－9)＋(x2＋4x＋3)i是纯虚数，则实数x＝±3 D．若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数 答案：ACD 解析：对于A，当a＝0，b≠0，b∈R时，复数a＋bi是纯虚数，故A错误；对于B，当x＝1时，复数z＝2i是纯虚数，故B正确；对于C，(x2－9)＋(x2＋4x＋3)i是纯虚数，则即x＝3，故C错误；对于D，复数z＝a＋bi，a，b未注明为实数，故D错误．故选ACD． 11．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 答案：B 解析：由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得所以z＝3－i.故选B． 12．若a∈R，则“a＝－1”是复数“z＝a2－1－(a－1)i为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由“z＝a2－1－(a－1)i”为纯虚数，得解得a＝－1.故“a＝－1”是复数“z＝a2－1－(a－1)i为纯虚数”的充要条件．故选C． 13．(13分)已知集合M＝，集合N＝，且满足M∩N⊆M，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得a＝－3，b＝±2，经检验，均符合题意； 由②得a＝±3，b＝－2，经检验，均符合题意； ③中，a，b无整数解，不符合题意． 综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2. 14．(5分)(开放题)若复数z＝a－b＋bi(a，b∈R)为纯虚数，请写出满足条件的一组实数a，b的值__________(答案不唯一，一组即可). 答案：a＝1，b＝1 解析：由纯虚数的定义知，复数z＝a－b＋bi为纯虚数，则即可，所以只需满足a＝b≠0即可，答案不唯一，取a＝1，b＝1为其中一个答案． 15．(17分)已知复数z1＝t＋i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈. (1)若z1，z2∈R且z1>z2，求t的值；(7分) (2)若z1＝z2，求θ的值．(10分) 解：(1)因为z1，z2∈R，所以解得t＝±1，cos θ＝－， 因为θ∈，所以z2＝sin θ＝＝， 当t＝－1时，z1<z2，不符合条件，当t＝1时，满足z1>z2. 综上，t＝1. (2)若z1＝z2，则 所以sin 2θ－1＝2cos θ＋1，即－cos 2θ＝2cos θ＋1， 所以cos 2 θ＋2cos θ＋1＝0，即(cos θ＋1)2＝0， 解得cos θ＝－1，又因为θ∈， 所以θ＝π. 学生用书第134页 学科网（北京）股份有限公司 $$