课时测评18 向量的减法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评18　向量的减法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：＋－＝－＝＋＝.故选B. 2．如图所示，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是(　　) A．－＝ B．－＝0 C．－＝ D．＋＝ 答案：C 解析：－＝，故A错误；因为ABCD是平行四边形，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，－＝，故B错误；－＝＋＝，故C正确；＋＝＝－，故D错误．故选C． 3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：D 解析：如图所示，作菱形ABCD， 则|－|＝|－|＝||＝2||·sin 60°＝.故选D. 4．在△ABC中，＝＝，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解析：因为＋＝，－＝，＋＝，＝＝，所以＝＝，所以△ABC是等边三角形．故选A． 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．＋＝0 B.－＝ C．－－＝ D.若a，b为非零向量且|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b 答案：BCD 解析：对于A，＋＝0，故A不正确；对于B，－＝＋＝，故B正确；对于C，－－＝＋＋＝＋＝，故C正确；对于D，由a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|可得以a，b为邻边的平行四边形为矩形，则a⊥b，故D正确．故选BCD. 6．如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则＝________．(用a，b，c表示) 答案：a－b＋c 解析：＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c． 7．已知＝a，＝b，＝5，＝12，∠AOB＝90°，则＝________． 答案：13 解析：由题意△AOB是直角三角形，＝＝＝13. 8．如图所示，单位圆上有动点A，B，当|－|取得最大值时，|－|等于________． 答案：2 解析：因为|－|＝||，A，B是单位圆上的动点，所以当且仅当A，O，B三点共线，即AB是单位圆O的直径时，|－|的最大值为2，此时与反向共线． 9．(10分)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a＋b|＝4，求|a－b|的值． 解：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a－b，＝a＋b，且＝，在△AOC中，因为(＋1)2＋(－1)2＝42， 所以||2＋||2＝||2，所以OA⊥AC，即OA⊥OB， 所以平行四边形OACB是矩形． 因为矩形的对角线相等， 所以||＝||＝4，即|a－b|＝4. (10—12每题5分，共15分) 10．(多选)化简以下各式，结果为0的有(　　) A．＋＋ B．－＋－ C．＋＋ D．＋＋－ 答案：ABD 解析：对于A，＋＋＝＋＝0，故A正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B正确；对于C，＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C错误；对于D，＋＋－＝＋＝＋＝0，故D正确．故选ABD. 11．(新情境)如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表．若用向量d代表整条手臂，则下列结论正确的是(　　) A．＋＋＝ B．＋＝＋ C．a＋c＝d－b D．a＋b＝c－d 答案：C 解析：根据题意得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c，由于各向量间的夹角未知，故＋＋＝，＋＝＋均不一定成立，故C正确，A，B，D错误．故选C． 12．已知向量a，b满足＝＝，则a与a＋b的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则有＝a－b，＝a＋b，由＝＝，则四边形OACB为菱形，∠BOA＝，则a与a＋b的夹角为∠COA＝.故选A． 13．(13分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： (1)|a＋b＋c|；(6分) (2)|a－b＋c|.(7分) 解：(1)由已知得a＋b＝＋＝， 因为＝c，所以延长AC到E， 使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝， 且||＝2. 所以|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， 所以|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. 所以|a－b＋c|＝2. 14．(5分)(多选)已知三角形ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则下列结论正确的是(　　) A.|＋|＝|－| B.|－|＝|－| C.|－|＝|－| D.|－| 2>|－| 2＋|－| 2 答案：ABC 解析：由条件可知||＝||，且⊥，以，为邻边的平行四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知|＋|＝|－|，故A正确；|－|＝||，|－|＝||，||＝||，所以|－|＝|－|，故B正确；|－|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以|－|＝|－|，故C正确；|－| 2＝ || 2，|－| 2＝||2，|－| 2＝|| 2，由条件可知|| 2＝|| 2＋|| 2，即|－| 2＝|－| 2＋|－| 2，故D错误．故选ABC． 15．(17分)(一题多问)(开放题)如图，在▱ABCD中，＝a，＝b. (1)用a，b表示，；(3分) (2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？(4分) (3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？(5分) (4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？(5分) 解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝，a－b＝. a＋b，a－b所在的直线互相垂直，即AC⊥BD. 又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|. (3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||， 所以四边形ABCD为矩形， 所以当a，b满足a⊥b时，|a＋b|＝|a－b|. (4)不可能，▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量， 所以a＋b与a－b不可能为相等向量． 学生用书第62页 学科网（北京）股份有限公司 $$