单元检测卷(一) 三角函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

单元检测卷(一)　三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若角2α与220°角的终边相同，则α＝(　　) A．110°＋k·360° B．110°＋k·180° C．220°＋k·360° D．220°＋k·180° 答案：B 解析：因为角2α与220°角的终边相同，所以2α＝220°＋k·360°，则α＝110°＋k·180°.故选B． 2．已知角α的终边位于第二象限，则点P(cos α，sin α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：由于α的终边位于第二象限，所以cos α<0，sin α>0，所以P位于第二象限．故选B． 3．平面直角坐标系中，角α的终边经过点P，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 解析：因为角α的终边经过点P，所以cos α＝＝，所以sin (－α)＝sin(1 012π＋－α)＝sin ＝cos α＝.故选A． 4．“α＝kπ＋β，k∈Z”是“tan α＝tan β ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当tan α＝tan β时，一定有α＝kπ＋β，k∈Z，即必要性满足；当α＝，β＝时，其正切值不存在，所以不满足充分性，所以“α＝kπ＋β，k∈Z”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件．故选B． 5．已知函数f＝2cos ，x∈，则f的单调递增区间是(　　) A． B． C．， D．， 答案：D 解析：f＝2cos 可化为f＝2cos (3x－)，故单调增区间满足2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，－≤x≤，令k＝1，π≤x≤π，因为x∈，所以f(x)的单调递增区间是[－，]，.故选D． 6．函数f(x)＝－sin x在区间[0，3π]上的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析： 在同一直角坐标系内，画出y＝及y＝sin x的图象(图略)，由图象可观察出交点个数为4.故选C． 7．如图所示，直线y＝1与函数f＝A sin (A>0，ω>0，<)的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且＝π，＝2π，则f＝(　　) A．2sin B．2sin C．sin D．sin 答案：A 解析：因为＝π，＝2π，所以相邻两对称轴间的距离＋π＝，即周期T＝3π，所以ω＝＝，排除BD，当x＝0时，代入f(x)＝2sin (x＋)，可得f(0)＝>1，满足题意，代入f(x)＝sin ，可得f(0)＝×＝1，不符合题意，故A正确，C错误．故选A． 8．已知函数f(x)＝sin (2x－)，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期T＝2π B．函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上单调递增 答案：D 解析：对于A，函数f(x)＝sin (2x－)的最小正周期T＝＝π，故A错误；对于B，由f()＝sin (2×－)＝1≠0，得函数f(x)的图象不关于点(，0)对称，故B错误；对于C，由f()＝sin (2×－)＝0≠±1，得函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；对于D，当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，而正弦函数y＝sin x在[－，]上单调递增，因此函数f(x)在区间[0，]上单调递增，故D正确．故选D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列各式中正确的是(　　) A．tan <tan B．tan 2<tan 3 C．cos >cos D．sin <sin 答案：ABC 解析：对于A，tan ＝tan (－π)＝tan (－)，因为正切函数y＝tan x在(－，)上为增函数，且－<－<<，所以tan (－)<tan ，即tan <tan ，故A正确；对于B，由于正切函数y＝tan x在(，)上为增函数，且<2<3<，所以tan 2<tan 3，故B正确；对于C，cos (－)＝cos ＝cos ，cos (－)＝cos ＝cos ，因为余弦函数y＝cos x在(0，π)为减函数，0<<<π，所以cos >cos ，即cos (－)>cos (－)，故C正确；对于D，由于正弦函数y＝sin x在(－，)上为增函数，且－<－<－<，所以sin (－)>sin (－)，故D错误．故选ABC． 10．已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，f图象经过点和点(－，0)，且f在区间(，)上单调，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝1 B．f＝－2 C．φ＝ D．f＋f＝0 答案：BD 解析：由图可知，fmin＝－A＝－2，可得A＝2，所以f＝2sin .又因为f＝2sin φ＝1，则sin φ＝，函数f在x＝0附近单调递减，|φ|<π，所以φ＝，则f＝2sin (ωx＋)(ω>0)，因为函数f的图象过点，则－ω＋＝nπ，可得ω＝5－6n(n∈Z)，因为函数f在区间上单调，则－≤，所以0<ω≤6，即0<5－6n≤6，解得－≤n<，因为n∈Z，则n＝0，ω＝5，所以f＝2sin .当<x<时，<5x＋<，此时函数f在区间上单调递减，符合题意，故A错误，C错误；f＝2sin ＝2sin ＝－2，故B正确；f＝2sin 5π＝0，所以函数f的图象关于点对称，所以f(x＋)＋f＝0，故D正确．故选BD． 11．已知函数f＝sin (ωx＋)(ω>0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若x＝－和x＝为函数f图象的两条相邻的对称轴，则ω＝2 B．若ω＝，则函数f在上的值域为(，) C．将函数f的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象，若g为奇函数，则ω的最小值为5 D．若函数f在(0，π)上恰有一个零点，则<ω≤ 答案：ACD 解析：对于A，若x＝－和x＝为函数f图象的两条相邻的对称轴，则函数f的最小正周期为T＝2×(＋)＝π，则ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋)，此时f＝sin ＝1，符合题意，故A正确；对于B，若ω＝，则f＝sin (＋)，当0<x<π时，则<＋<，所以f＝sin (＋)∈(，1]，故当ω＝时，函数f在(0，π)上的值域为(，1]，故B错误；对于C，将函数f的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象，则g＝sin [ω(x＋)＋]＝sin (ωx＋)为奇函数，所以＝kπ(k∈Z)，解得ω＝6k－1(k∈Z)，因为ω>0，当k＝1时，ω取最小值5，故C正确；对于D，因为ω>0，当0<x<π时，<ωx＋<πω＋，因为函数f在(0，π)上恰有一个零点，则π<πω＋≤2π，解得<ω≤，故D正确．故选ACD． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在横线上．) 12．不等式1＋tan x≥0的解集是________________． 答案： 解析：由题意知，tan x≥－1，则解集为{x≤x<kπ＋，k∈Z}． 13．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________． 答案：2∶3 解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，所以＝. 14．已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向左平移个单位长度，可得到g的图象．若方程g(x)＝m在[－，0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 答案： 解析：由f的图象得A＝1，由图可知点(，1)，(，－)在f的图象上，则sin (ω×＋φ)＝1，sin (ω×＋φ)＝－，所以ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f＝sin (x＋).将函数f图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin (2x＋)的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，可得到g＝2sin (2x＋)的图象，作出g的部分图象如图所示， 根据g的图象可知，当－2<m≤－时，直线y＝m与函数g在[－，0]上的图象有两个交点，即方程g＝m在[－，0]上有两个不相等的实数根． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．) 15．(13分)(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cos α＝x，求sin α与tan α的值；(5分) (2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.(8分) 解：(1)因为r＝，所以cos α＝， 从而x＝，解得x＝0或x＝±. 因为90°＜α＜180°，所以x＜0，因此x＝－. 故r＝2，sin α＝＝， tan α＝＝－. (2)因为θ的终边过点(x，－1)，所以tan θ＝－， 又tan θ＝－x，所以－x＝－，即x2＝1， 所以x＝±1. 当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝； 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－. 16．(15分)已知函数y＝sin ，其中α为三角形的内角且满足cos α＝. (1)求出角α(用弧度制表示)；(6分) (2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数y＝sin 在长度为一个周期的闭区间上的简图．(图中x轴上每格的长度为，y轴上每格的长度为1)(9分) x＋α 0 2π x y 解：(1)α为三角形的内角，可得α∈，又cos α＝得α＝. (2)列表： x＋ 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 作出函数f(x)图象如图所示． 17．(15分)设函数f＝2sin ωx＋m(ω>0，m∈R)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数f唯一确定． 条件①：f＝1；条件②：f的最小值为0； 条件③：f的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． (1)求ω和m的值；(6分) (2)设函数g＝f(x－)，求g在区间[0，]上的最大值．(9分) 解：(1)由函数f＝2sin ωx＋m(ω>0，m∈R)，知条件①②涉及的都是函数值，不能求出ω值， 并且f(0)＝m＝1与f(x)min＝－2＋m＝0矛盾，因此不能选择条件①②. 选①③，函数f＝2sin ωx＋m，ω>0，由f＝1，得m＝1， 由f的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f的周期T＝＝2×，解得ω＝2，所以ω＝2，m＝1. 选②③，函数f＝2sin ωx＋m，ω>0，由f的最小值为0，得f(x)min＝－2＋m＝0，解得m＝2， 由f的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f的周期T＝＝2×，解得ω＝2，所以ω＝2，m＝2. (2)选①③，由(1)知f＝2sin 2x＋1，g(x)＝f(x－)＝2sin (2x－)＋1， 由x∈，得2x－∈，则当2x－＝，即x＝时，g在区间上取得最大值g()＝3. 选②③，由(1)知f＝2sin 2x＋2，g(x)＝f(x－)＝2sin (2x－)＋2， 由x∈，得2x－∈，则当2x－＝，即x＝时，g在区间上取得最大值g()＝4. 18．(17分)第19届杭州亚运会中象山承办了帆船与沙滩排球项目比赛，大量的游客来象山打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f＝40来刻画．其中正整数x表示月份且x∈，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω>0.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f的表达式；(7分) (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．(10分) 解：(1)因为A和k是正整数，由②可知40(A＋k)－40＝160，解得A＝2. 由③可得＝8－2＝6，则T＝＝12，且ω>0，解得ω＝. 所以f＝40， 又f＝40＝40， 即40＝40，解得k＝3. 所以f＝40，x∈. (2)令f＝40>160，则cos (x＋4)>， 因为x∈，则∈， 可得<<，解得6<x<10， 且x∈N＋，则x＝7，8，9， 所以第7，8，9月是该地区的旅游旺季． 19．(17分)如图为函数f＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，<)的部分图象，且＝，A(－，－2). (1)求ω，φ的值；(7分) (2)将f的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，讨论函数y＝g－a在区间的零点个数．(10分) 解：(1)根据题意得，＝，所以T＝π，ω＝＝2， 故f＝2cos . 将A代入，得2×＋φ＝－π＋2kπ，解得φ＝－＋2kπ， 又<，故φ＝－. (2)由题意知，g＝2cos ＝2cos . 函数y＝g－a在区间的零点个数即为函数g的图象与直线y＝a在上的交点个数． 当x∈时，x－∈，结合余弦函数图象可知， 当x∈时，g单调递减，当x∈时，g单调递增， 且g＝－1，g＝1，g＝－2， 作出函数g在[－π，]上的大致图象如图所示． 观察可知，当a＝－2或－1<a≤1时，y＝g－a有1个零点； 当－2<a≤－1时，y＝g－a有2个零点； 当a<－2或a>1时，y＝g－a没有零点． 学生用书第52页 学科网（北京）股份有限公司 $$