5.2.2 导数的四则运算法则课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.2导数的运算 第五章 一元函数的导数及其应用 课时2 导数的四则运算法则 新知探究 探究一：函数和(差)的求导法则 情境设置 观察函数，，与导数， ， ，你有什么发现和猜想？ 问题：若函数的导数分别是什么？ 【解析】设 ， 则 ， 所以 ， 即 . 2 新知生成 知识点一 函数和(差)的求导法则 1.两函数和与差的导数 一般地，对于两个函数和的和（差）的导数，有下列法则： . 特别地， . 2.两函数和与差的导数的拓展 . 3 一、函数和(差)的求导法则 例题1 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【解析】(1) . (2) . 4 反思感悟 方法总结 根据基本初等函数的导数公式以及函数和(差)的求导法则进行求解. 5 新知运用 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1) ； (2) . 【解析】(1) . (2) . 6 新知探究 探究二：两函数乘积(商)的求导法则 情境设置 问题1：对于函数的导数是什么？ 问题2：函数的导数是什么？ 【解析】因为 ， 所以 ， 其中，， ， 所以 ， 所以 ，即两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数. 7 新知生成 知识点二 两函数乘积(商)的求导法则 1.两函数乘积(商)的导数 一般地，对于两个函数和的乘积（商）的导数，有如下法则： (1) ； (2) . 2.常数与函数的积的导数运算法则 (1)( 为常数)； (2)(，为常数). 8 二、两函数乘积(商)的求导法则 例题2 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) . 【解析】(1) (法一) . (法二)， . (2) . (3) . 9 反思感悟 方法总结 求导运算过程易出现错误的原因是不能正确理解函数的求导法则，特别是两函数商的求导法则.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因.另外在求导之前应观察函数是否可以化简，如果函数可以化简，应进行化简，再进行求导，这样可以减少运算量. 10 新知运用 跟踪训练2 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) . 【解析】(1) . (2) . (3) . 11 三、导数运算法则的应用 例题3 已知函数的导数为 . (1) 求 ； (2) 若曲线存在垂直于轴的切线，求实数 的取值范围. 【解析】(1) 由题意可知，函数的定义域为 . 由，得 ， 所以 . (2) 因为曲线存在垂直于 轴的切线，即某条切线的斜率为0，所以问题可转化为在内导函数 存在零点， 即在上有解，所以 . 故实数的取值范围是 . 12 反思感悟 方法总结 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键， 务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可 能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解. 13 新知运用 跟踪训练3 已知函数，其导函数 . (1) 求， 的值； (2) 设函数，求曲线在 处的切线方程. 【解析】(1) 因为 ， 所以 . 又，所以， . (2) 由（1）可知， ， 所以 ， 所以 .又 ， 所以曲线在处的切线方程为，即 . 14 随堂检测 1. 已知函数，则该函数的导函数 ( ) . A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则的值是( ) . A. B. C. D. 3. 某物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为 ，则它在第末的瞬时速度为____ . D B 15 随堂检测 4. 已知函数 . (1) 求函数的导数 ； (2) 求函数图象在 处的切线方程． 【解析】(1)因为，所以 . （2）由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率 ， 又，所以切线方程为，整理得 . 16 课堂小结 1.知识清单： (1)函数和(差)的求导法则； (2)两函数乘积(商)的求导法则; (3)导数运算法则的应用. 17 $$