精品解析：广东省惠州市知行学校2024-2025学年下学期九年级数学期中模拟考试 试卷

惠州市知行学校2024-2025学年度第二学年度九年级期中考试数学模拟试卷 （试卷满分：120分 考试时间：90分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣2 C. 0 D. π 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案． 【详解】在实数|-3|，-2，0，π中， |-3|=3，则-2＜0＜|-3|＜π， 故最小的数是：-2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出是轴对称图形但不是中心对称图形的那个即可得出结论． 【详解】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键． 3. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中， 为整数，据此判断即可． 【详解】解：38.4万． 故选：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定与 的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 4. 下列式子变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方分别求出每个式子的值，再得出答案即可. 【详解】解：A、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意； B、结果是|a|，故本选项不符合题意； C、结果是a2b2，故本选项符合题意； D、不一定等于，如a＝1，b＝4时，＝，＝1+2＝3，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的化简，准确应用完全平方公式、二次根式的性质、积的乘方是解题的关键． 5. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可． 【详解】解：几何体的主视图为：， 故选：C． 【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图． 6. 有一组数据：35，40，38，36，42，42，75，这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 37 C. 36 D. 39 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义和计算方法，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于中间位置的数，如果数据的个数是奇数，则中位数是中间的数，如果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均数．将这组数据按从小到大的顺序排列，中间的数即为中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为35，36，38，40，42，42，75， 中间的数为40， ∴这组数据的中位数是40， 故选：A ． 7. 一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可． 【详解】设正方形的边长等于a， ∵正方形的面积是12， ∴ ∵9<12<16， ∴3<<4，即3<a<4. 故选:B. 【点睛】考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键. 8. 如图， 、 是切线， 、 为切点，点 在上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．连接、 ，如图，根据切线的性质得到，则利用四边形内角和得到，再根据圆周角定理得到，然后计算的度数． 【详解】解：如图，连接、 ， 、 是切线， ，， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，在正八边形中，连结 ， ，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解． 【详解】连接AG、GE、EC，由正八边形的性质得： AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH， ∠B=∠BCD=∠D=∠DEF=∠F∠FGH=∠H=∠HAB=135º， ∴ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA， ∴AC=CE=EG=GA， ∴四边形ACEG为菱形， ∵AB=BC,∠ABC=135º， ∴∠BAC=∠BCA=22.5º， 同理：∠HAG=22.5º， ∴∠CAG=180º-∠BAC-∠HAG=180º-22.5º-22.5º=90º， ∴四边形ACEG为正方形， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解答的关键. 10. 利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为， ， ，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可. 【详解】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为，表示该生为10班学生. B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为，表示该生为6班学生. C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生. D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生. 故选B. 【点睛】属于新定义题目，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键. 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得分式中分母不为零即可. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，解此题关键在于分式中分母不能为零. 12. n边形的内角和等于，则____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和等于，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵n边形的内角和等于， ∴， 解得：． 故答案为：5． 13. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有_______个． 【答案】5 【解析】 【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得： =0.75， 解得x=5． 所以袋中白球有5个． 故答案为5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 【答案】64 【解析】 【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题； 【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F． ∵AB//EF，AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠AEF＝90°， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10（cm）， ∵AE//PC， ∴∠PCA＝∠CAE＝30°， ∴CE＝AC•sin30°＝27（cm）， 同法可得DF＝27（cm）， ∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm）， 故答案为64． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 15. 如图，反比例函数的图象经过等边 的顶点，且原点 刚好落在上，已知点 的坐标是，则 的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点 作轴于点，过点 作轴于点，由点，勾股定理得到的值，是等腰直角三角形，再根据等边三角形的性质得到，，由此得到，且是等腰直角三角形，由此求出即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作轴于点，过点 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过等边 的顶点， ∴，，， ∴，， ∴， 解得，， ∵轴，轴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即2， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数与结合图形的综合，掌握等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，共75分） 16. （1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来； （2）解方程：． 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1）， 由①解得：， 由②解得：， 所以，不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如下： （2）， 方程两边都乘以得，， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 17. 如图，已知矩形 ，， ． （1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边 上（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）求出（1）中所作的菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）16.4 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交边于E，交边 于F，连接， 即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理关键方程求出x的值，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求， 理由：由作图知： 垂直平分， ∴，， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在矩形 中，， ， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 18. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为 ，且为正数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）求出判别式，据此可得答案； （2）将 代入方程，解关于m的方程可得m的值． 【小问1详解】 证明：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵该方程的一个根为 ， ∴，解得， ∵m是正数， ∴． 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解本题的关键． 19. 如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：四边形 是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 在和 中， ， ； （2）5 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到即可； （2）根据已知条件证明四边形 是矩形，然后根据勾股定理即可求出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 又， 四边形 是平行四边形， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 20. 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如图不完整的统计图： 根据以上统计信息，解答下列问题： （1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比； （2）求本次随机抽取问卷测试的人数； （3）请把条形统计图补充完整； （4）若该校学生人数为2000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？ 【答案】（1）20% （2）200人 （3）见详解 （4）1100人 【解析】 【分析】（1）根据“优”所对的圆心角度数除以360°即可求解； （2）用“优”的人数除以其所占比例即可求解； （3）用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数即可求出“中”的人数，据此画图即可； （4）总人数乘以“优”、“良”的人数和所占的比例即可． 【小问1详解】 72°÷360°=20%， 即“优”的人数占抽取人数的百分比为20%； 【小问2详解】 40÷20%=200（人）， 即抽取检测的人数为200人； 【小问3详解】 “中”的人数为：200-40-70-30=60（人）， 画图如下： 【小问4详解】 （人）， 答：估计成绩为“优”、“良”的人数是1100人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体和画条形统计图的知识．根据“优”所对的圆心角度数求出该项人数所占比例是解答本题的关键． 21. 某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有 万元． （1）今年这种产品每件售价多少元？ （2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于 万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高． 【答案】（1）今年这种产品每件售价为元；（2）有三种方案：方案①：甲产品进货 件，乙产品进货件；方案②：甲产品进货件，乙产品进货 件；方案③：甲产品进货件，乙产品进货 件；方案①的利润更高． 【解析】 【分析】（1）设今年这种产品每件售价为元，根据去年和今年售出相同数量的产品列出方程解答； （2）设甲产品进货 件，则乙产品进货件，根据用不多于 万元且不少于万元的资金购进这两种产品共 件列不等式组求出解集得到方案，再分别求出每种方案的利润相比较即可得到答案. 【详解】解：设今年这种产品每件售价为元， 依题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． 答：今年这种产品每件售价为元． 设甲产品进货 件，则乙产品进货件． 依题意得：， 解得：， 因此有三种方案： 方案①：甲产品进货 件，乙产品进货件； 方案②：甲产品进货件，乙产品进货 件； 方案③：甲产品进货件，乙产品进货 件. 方案①利润：， 方案②利润：， 方案③利润：， ， 方案①的利润更高. 【点睛】此题考查列分式方程解决实际问题，不等式组的实际应用，方案比较问题，正确理解题意列出方程或不等式组解决问题是解题的关键. 22. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，在BC延长线上取点D，使得AD=AE． （1）求证：AD是⊙O切线； （2）若∠OEB=45°，求sin∠ABD的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）本题考查切线的证明，总体思路是“证垂直以及半径”，根据题干AB为直径，此处考查圆周角定理的运用；根据C是弧的中点，此处考查同弧所对的圆周角相等，综合以上通过直角互余以及角的互换解答本题． （2）本题考查圆周角定理以及正弦三角函数综合运用，需要通过弧等推角等，边等推角等，结合图形特点选取合适的三角形进行角的互换，进一步推出边的关系解答此题． 【详解】（1）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°. ∴∠CBA+∠CAB=90°. 又∵AD=AE， ∴∠CAD=∠CAE. ∵C是 的中点， ∴ ∴∠CAE=∠CBA. ∴∠CAD+∠CAB=90°. ∴OA⊥DA. 又∵OA是⊙O的半径， ∴DA是⊙O的切线. （2）∵C是 的中点， ∴ ∴∠CBF=∠CBA. 设∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°. ∴y+2x=90°，y=90°－2x. ∵∠FEB=y+x， ∴∠AEO=180°－∠OEB－∠FEB =180°－45°－y－x =135°－x－y =135°－x－(90°－2x) =45°+x， 又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB=45°+x， ∴∠AEO=∠AOE. ∴AE=AO. ∵∠ACB=∠ACB，∠CAE=∠CBA， ∴△CEA∽△CAB. ∴ . ∴, ∴ . 【点睛】本题首问属于基本问题，按照“证垂直、证半径，通过全等推角等”等常规思路即可解答；第二问难度较大，主要在于角度过多，图形选取较为困难，因此要求需要多做该类型题目，积累题感． 23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）． 【解析】 【详解】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=， ∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得： ，解得：，， ∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）． 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）． 设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB′的解析式为y=-x+， 当y=-1时，有-x+=-1， 解得：x=， ∴点P的坐标为（，-1）． （3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2， ∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=m2-m+1， ∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1， 整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0． ∵m为任意值， ∴， ∴， ∴定点F的坐标为（2，1）． 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市知行学校2024-2025学年度第二学年度九年级期中考试数学模拟试卷 （试卷满分：120分 考试时间：90分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣2 C. 0 D. π 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 3. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子变形正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ). A. B. C. D. 6. 有一组数据：35，40，38，36，42，42，75，这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 37 C. 36 D. 39 7. 一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 8. 如图， 、 是切线， 、 为切点，点 在上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正八边形中，连结 ， ，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为 ， ， ，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量 的取值范围为__________． 12. n边形的内角和等于，则____． 13. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有_______个． 14. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 15. 如图，反比例函数的图象经过等边 的顶点，且原点刚好落在上，已知点 的坐标是，则 的值为____． 三、解答题（本大题有8小题，共75分） 16. （1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来； （2）解方程：． 17. 如图，已知矩形 ，， ． （1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边 上（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）求出（1）中所作的菱形的面积． 18. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为 ，且为正数，求的值． 19. 如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求 的长． 20. 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如图不完整的统计图： 根据以上统计信息，解答下列问题： （1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比； （2）求本次随机抽取问卷测试的人数； （3）请把条形统计图补充完整； （4）若该校学生人数为2000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？ 21. 某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有 万元． （1）今年这种产品每件售价多少元？ （2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于 万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高． 22. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，在BC延长线上取点D，使得AD=AE． （1）求证：AD是⊙O切线； （2）若∠OEB=45°，求sin∠ABD的值． 23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $