（同步讲练篇）第二单元 （2、5、3的倍数、奇数和偶数·7大考点+2拓展考点）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 各位老师好！备课找资料是不是经常遇到这些烦恼？网上资源太多挑花眼，下载的习题总是不对路，好不容易找到合适的又不够系统...为了解决这些痛点，特推出这套《五年级数学下册高效学习工具箱（2025版）》，专为课堂教学+课后练习+阶段复习量身定制！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 计算题+应用题组合 知识点变式训练包 考点全覆盖 一题多练 新课讲授 当堂检测 提分利器·专项突破篇 课后巩固 15-20题/专项 填空/选择/应用全题型 题型最全面 题量黄金比 作业布置 薄弱项特训 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单 单元卷+答案解析 系统性强 查漏补缺快 考前复习 假期巩固 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 生活应用题集 数学思想方法论 衔接课标 培养高阶思维 社团活动 竞赛辅导 分层检测·质量评价篇 教学评估 A卷（基础题70%） B卷（提升题20%） C卷（拓展题10%） 精准分层 快速评价报告 随堂测验 个性化作业 在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处。在此，期望大家能够以敏锐的视角审视资料。如若发现任何问题，烦请您不吝指出。 一旦收到反馈，将立即修正完善。在此，衷心地感谢大家的理解与信任，期待在您的助力下，这份资料能够更好地服务于大家的学习与工作。 2025年2月17日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 因数和倍数 （2、5、3的倍数、奇数和偶数） 单元名称 第二单元 因数和倍数 知识概览 2、5、3的倍数、奇数和偶数 考点数量 7大考点·2拓展考点（考点+例题+练习） 难易程度 ☆☆☆☆☆ 备注：拓展考点根据实际情况可选择性运用。 【考点1】判断2的倍数 3 【考点2】判断5的倍数 4 【考点3】判断2和5公有的倍数 5 【考点4】判断3的倍数 6 【考点5】判断一个数是奇数还是偶数 7 【考点6】奇数和偶数运算性质（加法） 9 【考点7】利用2、5、3的特征解决问题 11 【拓展考点1】奇数和偶数运算性质（减法及乘除法） 13 【拓展考点2】判断9的倍数 15 【考点1】判断2的倍数 【思路点拨】个位上是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数。例如 12、34、56、78、100 等数，它们的个位分别是 2、4、6、8、0，所以都是 2 的倍数。 ： “13□”是2的倍数，□里可以填( )。 答案：0、2、4、6、8 分析：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此解答。 详解：要使“13□”是2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8。 1．用0、9、3、7能组成( )个不同的三位数，其中有( )个是2的倍数。 答案： 18 6 分析：0、9、3、7这四个数字中有0，0不能放在首位，其他数字都可以放在任何位置，组成没有重复数字的三位数，即把这四个数字填入三个数位中，分3步完成，百位不能填0，有三种填法，百位用去一个数字后，十位还有三种填法，十位用去一个数字后，个位还有两种填法，用乘法原理，即可得解。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，那么这个三位数的个位上一定是0，个位上的数已经确定了，那么这个三位数只需要再填入两个数字，分两步完成，百位有三种填法，百位用去一个数字后，十位还有两种填法用乘法原理，即可得解。 详解：3×3×2 ＝9×2 ＝18 3×2＝6 用0、9、3、7能组成（18）个不同的三位数，其中有（6）个是2的倍数。 2．用2、5、6能组成( )个不同的三位数。其中2的倍数有( )个。 答案： 6 4 分析：按顺序、不重复、不遗漏的数出所有的数，将2放在最高位可以组成：256、265，将5放在最高位可以组成：526、562，将6放在最高位可以组成：625、652，将组成的个数总和计算出来即可；2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；据此解答。 详解：根据分析：2×3＝6（个），所以用2、5、6能组成6个不同的三位数；其中2的倍数有：256、526、562、652，所以其中2的倍数有4个。 3．判断一个非0数是不是2的倍数，要看这个数的( )位，( )位上是( )的数，一定是2的倍数。 答案： 个 个 0、2、4、6、8 详解：根据2的倍数的特征可知，个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。因此要判断一个非0数是不是2的倍数要看其个位，个位是0、2、4、6、8的数一定是2的倍数。 【考点2】判断5的倍数 【思路点拨】个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数。像 15、20、35、40、105 等数，个位是 0 或 5，所以它们是 5 的倍数。 ： 189最少减去( )就是2的倍数，273最少加上( )就是5的倍数。 答案： 1 2 分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。189的个位是9，减去1就是8。273的个位是3，加上2就是5。据此解题。 详解：189－1＝188，188是2的倍数； 273＋2＝275，275是5的倍数。 所以，189最少减去1就是2的倍数，273最少加上2就是5的倍数。 1．“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 答案：0、5 分析：个位是0或5的数是5的倍数，据此解答。 详解：要使“4□”是5的倍数，□里可以填0、5。 2．一个数是5的倍数，那么这个数的个位上一定是 或 。 答案： 0 5 分析：根据5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数，据此解答。 详解：例如：25和30都是5的倍数。 一个数是5的倍数，那么这个数的个位上一定是0或5。 3．个位上是( )或( )的数，是5的倍数，其中( )是最小的5的倍数。 答案： 0 5 5 分析：5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 详解：个位上是0或5的数，是5的倍数，如5、10、15、20等，在研究因数和倍数时，不考虑0，其中5是最小的5的倍数。 【考点3】判断2和5公有的倍数 【思路点拨】一个数既是 2 的倍数又是 5 的倍数，那么它的个位一定是 0。因为同时满足 2 和 5 的倍数特征，只有个位为 0 这一种情况，如 10、20、100 等。 ： 100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 答案： 2 62 分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 观察100，98，96，94，…，6，4，2，发现它们都是2的倍数，相邻两个数相差2，从100开始递减排列；所以第20个数与100相差了19个2，据此求出第20个数。 详解：100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是2的倍数； 100－（20－1）×2 ＝100－19×2 ＝100－38 ＝62 其中第20个数是62。 1．一个数既是5的倍数，又是30的因数，这个数最小是( )。 答案：5 分析：根据题意，先列举出30的所有因数，再从中找出5的倍数，从而找到既是5的倍数，又是30的因数的最小数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 详解：30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 其中5的倍数是：5，10，15，30； 所以，一个数既是5的倍数，又是30的因数，这个数最小是5。 2．要使既是2的倍数，又能被5整除。里填 。 答案：0 分析：能被5整除，说明这个数也是5的倍数，是2的倍数，又是5的倍数。根据2的倍数特征和5的倍数特征可知，只有个位上是0的数才既是2的倍数，又是5的倍数，据此解答。 详解：2的倍数特征是个位上是0，2，4，6，8的数，5的倍数特征是个位上是0或5的数。所以，既是2的倍数，又是5的倍数的数个位只能是0。因此，里填0，即680。 3．同时是2和5的倍数的最小三位数是( )，最大四位数是( )。 答案： 100 9990 分析：既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 详解：同时是2和5的倍数的最小三位数是100，最大四位数是9990。 【考点4】判断3的倍数 【思路点拨】一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 ： 用0、1、4、7可以组成( )个没有重复数字的四位数，它们都是( )的倍数。 答案： 18 3 分析：利用乘法原理分析，从最高位开始，千位不能为0，所以有三种选择1、4、7；百位可以选千位选完剩下的，包括0，所以还是三种选择；十位可以选千位、百位选完剩下的，两种选择；个位只有一种选择。 根据倍数特征中3的倍数特点，所有数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。 详解：根据乘法原理列式：3×3×2×1＝18（种），可以组成18个没有重复数字的四位数。 因为 0＋1＋4＋7＝12，12是3的倍数，所以组成的所有四位数都是3的倍数。 1．海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三位数恰好是9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 答案：10 分析：9的倍数的特征是各位上的数的和是9的倍数，这5个数字中，2＋1＋6＝9，0＋2＋7＝9的三位数，即 207、270、702、720，用2、1、6可以组成6个不同的三位数，即126、162、216、261、612、621，用0、2、7可以组成4个不同的三位数，6＋4＝10（次），所以最多尝试10次密码就可以打开宝箱。 详解：由分析可知：最多尝试10次密码就可以打开宝箱。 2．已知一个四位数65□1是3的倍数，□中的数有( )种填法。 答案：4 分析：根据3的倍数的特征，各数位上的数的和是3的倍数，因，，其它三个数位上的数的和是3的倍数，说明□里的数也应是3的倍数或0，据此解答。 详解：据分析可知，□里可填0、3、6、9。 因此，□中的数有4种填法。 3．一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填( )。 答案：5 分析：5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 详解：一个四位数103□是5的倍数，则个位上应是0或5； 如果□里填0，则1＋0＋3＋0＝4，不是3的倍数； 如果□里填5，则1＋0＋3＋5＝9，是3的倍数； 所以，一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填5。 【考点5】判断一个数是奇数还是偶数 【思路点拨】能够被 2 整除的整数叫做偶数。不能被 2 整除的整数叫做奇数。 ： 规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 答案：22 分析：首先要理解题目中※n和口n这两个新运算的定义。根据已知条件口（※x）＝13，我们要找出※x能被哪些数整除，再根据※x是不大于x的所有偶数的积这一特性，求出※x的最小值，从而得出x的最小值。 详解：因为□（※x）＝13，所以不能整除的最小的数是13，所以※x能被1、2、3、4、……12整除；因为※x表示不大于x的所有偶数的积，所以※x能被这些偶数整除：12、11×2、2、10、8、18、14、6，则※x最小＝2×4×6×……×22，所以x最小是22。 点睛：理解※n、□n表示的意义以及偶数、数的整除的特征是解题的关键。 1．有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是24，那么三人中最少的点赞数是( )。 答案：6 分析：三个连续偶数的和是24，可以设中间的偶数为a，最小的偶数是a－2，最大的偶数是a＋2，根据他们获得的点赞数的和是24列方程解答，先求出中间数，再用中间数－2即可。 详解：解：设中间的偶数为a。 a－2＋a＋（a＋2）＝24 a－2＋a＋a＋2＝24 3a＝24 a＝24÷3 a＝8 8－2＝6 所以三人中最少的点赞数是6。 2．三个连续奇数，中间一个是a，则第一个奇数是( )，第三个奇数是( )。 答案： a－2 a＋2/2＋a 分析：整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2。 已知三个连续奇数，中间一个是a，那么比a少2的是第一个奇数，比a多2的是第三个奇数，据此解答。 详解：这三个连续奇数是：a－2、a、a＋2。 填空如下： 三个连续奇数，中间一个是a，则第一个奇数是（a－2），第三个奇数是（a＋2）。 3．聪聪和明明做数学游戏，他们分别从4张卡片6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？( ) 答案：不公平 分析：6，7，8，9四张数字卡片任意抽出其中的两张，计算出所有的积，统计出单数结果和双数结果各有几种，判断谁赢的可能性大，据此解答即可。 详解：6×7＝42 6×8＝48 6×9＝54 7×8＝56 7×9＝63 8×9＝72 其中积是单数有：63，共1个；积是双数有：42，48，54，56，72，共5个； 1＜5，聪聪赢的可能性大，明明赢的可能性小，所以游戏不公平。 聪聪和明明做数学游戏，他们分别从4张卡片6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？不公平。 【考点6】奇数和偶数运算性质（加法） 【思路点拨】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 ： 猜猜我是谁，填在括号里。 (1)我与最小的质数的和是15，我是( )。 (2)我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，我是( )。 (3)我既是3的倍数，又是5的倍数，同时是一个两位数，还是一个奇数。我最小是( )，最大是( )。 (4)我与奇数的积是偶数，我是( )。我与偶数的和是奇数。我是( )。（填“奇数”或“偶数”） 答案：(1)13 (2)36或92 (3) 15 75 (4) 偶数 奇数 分析：（1）一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。最小的质数是2，已知我与最小的质数的和是15，用15－2即可求出结果； （2）偶数的个位数是0、2、4、6或8；将18拆分为2个数相乘，18＝3×6＝2×9，据此可知符合条件的只有36和92。 （3）5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；已知我既是3的倍数，又是5的倍数，同时是一个两位数，还是一个奇数。说明我的个位数只能是5，最高位最小为1，15是3的倍数，符合题意；因为95和85不是3的倍数，75是3的倍数，所以最高位只能是7，符合题意； （4）奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此解答即可。 详解：（1）最小的质数是2， 15－2＝13 我与最小的质数的和是15，我是13。 （2）18＝3×6＝2×9 我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，我是36或92。 （3）根据3和5的倍数特征以及奇数的定义，可知个位数是5， 15是3的倍数，95和85不是3的倍数，75是3的倍数， 我既是3的倍数，又是5的倍数，同时是一个两位数，还是一个奇数。我最小是15，最大是75。 （4）我与奇数的积是偶数，我是偶数。我与偶数的和是奇数。我是奇数。 1．老师让同学们计算3个连续奇数的和，四名同学的答案如下。聪聪：“140。”明明：“142。”可可：“147。”乐乐：“150。”算对的同学是( )。这3个连续奇数中最大的是( )。 答案： 可可 51 分析：根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此可以判断哪位同学的答案正确；用这3个连续奇数的和除以3即可求出中间的奇数，再用该奇数加上2即可求出最大的奇数。 详解：由分析可知： 3个连续奇数的和一定是奇数，上面的4个数中只有147是奇数，所以算对的同学是可可。 147÷3＋2 ＝49＋2 ＝51 则这3个连续奇数中最大的是51。 2．已知a、b、c是3个彼此不同的质数，若a＋b×c＝11，则a＋b＋c＝( )。 答案：10 分析：11是一个奇数，根据奇数＋偶数＝奇数，所以a、b、c中一定有一个数是偶数。又是质数又是偶数的只有2。从a＋b×c＝11可知，a、b、c一定小于10，10以内的质数有2、3、5、7。找出a、b、c对应的质数，再求它们的和即可。据此解答。 详解：10以内的质数有2、3、5、7。 因为5＋2×3＝11，所以2＋3＋5＝10 已知a、b、c是3个彼此不同的质数，若a＋b×c＝11，则a＋b＋c＝10。 3．1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001，得数是( )数；2×4×6×…×98×101，得数是( )数。（填“奇”或“偶”） 答案： 奇 偶 分析：1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001＝（1＋3＋…＋1001）＋（2＋4＋…＋1000），有501个奇数和500个偶数，501个奇数的和是奇数，500个偶数的和是偶数，所以整个算式相当于奇数＋偶数＝奇数，得数是奇数； 2×4×6×…×98×101中，前面部分“2×4×6×…×98”都是偶数，则偶数×偶数＝偶数，最后“×101”，101是奇数，所以整个算式相当于偶数×奇数＝偶数，得数是偶数。 详解：由分析可知： 1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001，得数是奇数； 2×4×6×…×98×101，得数是偶数。 【考点7】利用2、5、3的特征解决问题 【思路点拨】在数的分类中的应用：可以根据这些特征对整数进行分类，快速判断一个数属于哪一类倍数的数，或者是否同时是几个数的倍数。例如在1-100的自然数中，找出同时是2、3、5的倍数的数，因为同时是2和5的倍数个位一定是0，再结合3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，所以符合条件的数有30、60、90。 在解决实际问题中的应用：在一些实际问题中，如分组问题、分配问题等，常常会用到这些倍数特征。例如，有一批树苗，若每行种2棵、3棵或5棵都能正好种完，问这批树苗最少有多少棵，就是求2、3、5的最小公倍数，即30棵。 ： 从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是( )。 答案：570/750 分析：根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；由于要同时被2、3、5整除，这个三位数的末尾必须是0，同时另外两位数字之和是3的倍数才行，据此即可填空。 详解：由分析可知： 3＋5＝8，8不是3的倍数； 3＋7＝10，10不是3的倍数； 5＋7＝12，12是3的倍数； 即这个三位数可以是570或者是750。 1．从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是( )或( )。 答案： 240 420 分析：从0、2、4、5四张数字中选出三个组成一个三位数，这个三位数是2和5的倍数，那么这个三位数的个位一定是0；同时又是3的倍数，则这个三位数的各位上的数字之和是3的倍数；据此得出这个三位数。 详解：从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是240或420。（答案不唯一） 2．既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )；既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是( )。 答案： 102 30 分析：既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 详解：既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是102；既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是30。 3．有一个五位数3□43A，既是2的倍数，同时又有因数3、5，□代表的数字最大是( )。 答案：8 分析：既是2的倍数，同时又有因数3、5，说明这个数个位上是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数，据此解答。 详解：因为这个数既是2的倍数，又有因数5，所以个位上的数字A一定是0。这个五位数现在是3□430，因为这个数有因数3，所以必须是3的倍数。 又因为□代表的数字要最大，且是一位数，从9开始依次尝试： 当□＝9时，这个数为39430，3＋9＋4＋3＋0＝19，19不是 3 的倍数，不满足条件； 当□＝8时，这个数为38430，3＋8＋4＋3＋0＝19，18是 3 的倍数，满足条件。 因此有一个五位数3□43A，既是2的倍数，同时又有因数3、5，□代表的数字最大是8。 【拓展考点1】奇数和偶数运算性质（减法及乘除法） 【思路点拨】奇数-奇数=偶数，偶数-偶数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，例如；奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数。在能整除的情况下，奇数 ÷ 奇数 = 奇数，偶数 ÷ 奇数 = 偶数，偶数 ÷ 偶数可能是奇数也可能是偶数 ： 在中，□里填数字( )才能使这个数是9的倍数。 答案：3 分析：9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。先计算出2019个2是多少，再除以9，余数与9相差几，□里就填几。 详解：2×2019＝4038 4038÷9＝448……6 9－6＝3 □里填数字3才能使这个数是9的倍数。 1．52至少减去( )是3的倍数，至少加上( )有因数9。 答案： 1 2 分析：各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。要使这个数有因数9，也就是这个数是9的倍数，据此解答。 详解：5＋2＝7；7－1＝6，6是3的倍数，所以52至少减去1是3的倍数； 54是9的倍数，54－52＝2，至少加上2有因数9。 52至少减去1是3的倍数，至少加上2有因数9。 2．四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个连续自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是( )、( )、( )、( )。 答案： 159 160 161 162 分析：因为无论5的倍数是多少，它的个位数就0或者5两个数字。因为是自然数，所以前面一个数个位是9或者4，后面一个数个位是1或者6，最后一个数个位是2或者7，据此分类讨论。 详解：四个连续自然数个位为： （1）9，0，1，2，而个位数为2的9的最小倍数只能是8×9＝72，或者18×9＝162或者28×9……，再比较前面的条件能3，5，7倍数，明显69，70，71，72不行，个位为9，0，1，2的四个连续自然数中最小的是159，160，161，162； （2）4、5、6、7，而个位数为7的9的最小倍数只能是3×9＝27，或者13×9＝117或者23×9＝207……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显24、25、26、27； 114、115、116、117和204、205、206、 207；都不成立。 由以上可得这四个连续的自然数最小是159，160，161，162； 点睛：解答此题的突破点在5的倍数上，找出了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论。 3．一个三位数47□，要使它是9的倍数，□里应填( )；一个三位数52□，要使它是4的倍数，□里可以填( )。 答案： 7 0、4、8 分析：各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数，4＋7＝11，11＋7＝18，18是9的倍数，所以□里应填7；整数末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数，20、24、28都能被4整除，所以□里可以填0、4、8；据此即可解答。 详解：根据分析可知，一个三位数47□，要使它是9的倍数，□里应填7；一个三位数52□，要使它是4的倍数，□里可以填0、4、8。 【拓展考点2】判断9的倍数 【思路点拨】一个数各位数字之和如果是 9 的倍数，那么这个数就是 9 的倍数。 ： 周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 答案：不对，理由见详解 分析：偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 详解：答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 1．如图，聪聪去文具店买了几个笔记本和几支圆珠笔，付给营业员50元，营业员找回17元，聪聪很快就判断出找的钱数不对，你知道他是怎样判断的吗？帮他把理由写出来吧！    答案：见详解 分析：根据偶数＋偶数＝偶数、偶数－偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数、偶数×偶数＝偶数及单价×数量＝总价，分析解答即可。 详解：笔记本的单价和圆珠笔的单价都是偶数，单价×数量＝总价，因为偶数乘任何自然数都得偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以笔记本的总价加圆珠笔的总价是偶数。而聪聪付的钱数50元是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以找回的钱数应该也是偶数，而营业员找回的钱数是奇数，所以找的钱数错了。 点睛：本题主要考查奇偶数的运算性质，明确偶数±偶数＝偶数、偶数×奇数＝偶数、偶数×偶数＝偶数是解题的关键。 2．妈妈在商店买了8个相同的碗，每个碗6元。妈妈付了50元，营业员找给妈妈5元，这样对吗？为什么？ 答案：不对，应找回2元。 分析：因为总价＝单价×数量，8个碗，每个碗6元，8和6都是偶数，它们的积也是偶数，50元也是偶数，所以剩下的钱数一定也是偶数，所以不可能是奇数5元。 详解：8×6＝48（元） 50－48＝2（元） 所以找回5元，不对。 答：找回5元不对，因为应找回2元。 点睛：本题除了计算出正确的找回钱数，也可以根据数字的奇偶性判断出对错。 3．某校举行数学竞赛，共有30道题。评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。答错一题倒扣1分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？ 答案：偶数 分析：根据题意，先分析一个学生的得分情况。设他有m题答对，有n题答错，有（30－m－n）道题不答。然后分别算出各自代表的分数值，最后列式化简，最后提取公因数，因为一个因数是偶数，偶数与任何数相乘都是偶数，所以学生得分即可判断。 详解：以一个学生得分情况为例。如果他有m题答对，就得3m分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（30－m－n）道，即还应得（30－m－n）分。 所以，这个学生得分总数为： 3m－n＋（30－m－n） ＝3m－n＋30－m－n ＝2m－2n＋30 ＝2（m－n＋15） 不管（m－n＋15）是奇数还是偶数，则2（m－n＋15）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。偶数和偶数的和还是偶数，所以，不论学校学生人数有多少，其得分总和一定是偶数。 答：所有参赛学生得分的总和是偶数。 点睛：此题主要考查学生对奇偶性的理解与实际解答能力，需要掌握偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 学科网（北京）股份有限公司 $$五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 各位老师好！备课找资料是不是经常遇到这些烦恼？网上资源太多挑花眼，下载的习题总是不对路，好不容易找到合适的又不够系统...为了解决这些痛点，特推出这套《五年级数学下册高效学习工具箱（2025版）》，专为课堂教学+课后练习+阶段复习量身定制！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 计算题+应用题组合 知识点变式训练包 考点全覆盖 一题多练 新课讲授 当堂检测 提分利器·专项突破篇 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15、20、35、40、105 等数，个位是 0 或 5，所以它们是 5 的倍数。 ： 189最少减去( )就是2的倍数，273最少加上( )就是5的倍数。 1．“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 2．一个数是5的倍数，那么这个数的个位上一定是 或 。 3．个位上是( )或( )的数，是5的倍数，其中( )是最小的5的倍数。 【考点3】判断2和5公有的倍数 【思路点拨】一个数既是 2 的倍数又是 5 的倍数，那么它的个位一定是 0。因为同时满足 2 和 5 的倍数特征，只有个位为 0 这一种情况，如 10、20、100 等。 ： 100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 1．一个数既是5的倍数，又是30的因数，这个数最小是( )。 2．要使既是2的倍数，又能被5整除。里填( )。 3．同时是2和5的倍数的最小三位数是( )，最大四位数是( )。 【考点4】判断3的倍数 【思路点拨】一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 ： 用0、1、4、7可以组成( )个没有重复数字的四位数，它们都是( )的倍数。 1．海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三位数恰好是9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 2．已知一个四位数65□1是3的倍数，□中的数有( )种填法。 3．一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填( )。 【考点5】判断一个数是奇数还是偶数 【思路点拨】能够被 2 整除的整数叫做偶数。不能被 2 整除的整数叫做奇数。 ： 规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 1．有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是24，那么三人中最少的点赞数是( )。 2．三个连续奇数，中间一个是a，则第一个奇数是( )，第三个奇数是( )。 3．聪聪和明明做数学游戏，他们分别从4张卡片6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？( ) 【考点6】奇数和偶数运算性质（加法） 【思路点拨】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 ： 猜猜我是谁，填在括号里。 (1)我与最小的质数的和是15，我是( )。 (2)我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，我是( )。 (3)我既是3的倍数，又是5的倍数，同时是一个两位数，还是一个奇数。我最小是( )，最大是( )。 (4)我与奇数的积是偶数，我是( )。我与偶数的和是奇数。我是( )。（填“奇数”或“偶数”） 1．老师让同学们计算3个连续奇数的和，四名同学的答案如下。聪聪：“140。”明明：“142。”可可：“147。”乐乐：“150。”算对的同学是( )。这3个连续奇数中最大的是( )。 2．已知a、b、c是3个彼此不同的质数，若a＋b×c＝11，则a＋b＋c＝( )。 3．1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001，得数是( )数；2×4×6×…×98×101，得数是( )数。（填“奇”或“偶”） 【考点7】利用2、5、3的特征解决问题 【思路点拨】在数的分类中的应用：可以根据这些特征对整数进行分类，快速判断一个数属于哪一类倍数的数，或者是否同时是几个数的倍数。例如在1-100的自然数中，找出同时是2、3、5的倍数的数，因为同时是2和5的倍数个位一定是0，再结合3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，所以符合条件的数有30、60、90。 在解决实际问题中的应用：在一些实际问题中，如分组问题、分配问题等，常常会用到这些倍数特征。例如，有一批树苗，若每行种2棵、3棵或5棵都能正好种完，问这批树苗最少有多少棵，就是求2、3、5的最小公倍数，即30棵。 ： 从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是( )。 1．从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是( )或( )。 2．既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )；既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是( )。 3．有一个五位数3□43A，既是2的倍数，同时又有因数3、5，□代表的数字最大是( )。 【拓展考点1】奇数和偶数运算性质（减法及乘除法） 【思路点拨】奇数-奇数=偶数，偶数-偶数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，例如；奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数。在能整除的情况下，奇数 ÷ 奇数 = 奇数，偶数 ÷ 奇数 = 偶数，偶数 ÷ 偶数可能是奇数也可能是偶数 ： 在中，□里填数字( )才能使这个数是9的倍数。 1．52至少减去( )是3的倍数，至少加上( )有因数9。 2．四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个连续自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是( )、( )、( )、( )。 3．一个三位数47□，要使它是9的倍数，□里应填( )；一个三位数52□，要使它是4的倍数，□里可以填( )。 【拓展考点2】判断9的倍数 【思路点拨】一个数各位数字之和如果是 9 的倍数，那么这个数就是 9 的倍数。 ： 周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 1．如图，聪聪去文具店买了几个笔记本和几支圆珠笔，付给营业员50元，营业员找回17元，聪聪很快就判断出找的钱数不对，你知道他是怎样判断的吗？帮他把理由写出来吧！    2．妈妈在商店买了8个相同的碗，每个碗6元。妈妈付了50元，营业员找给妈妈5元，这样对吗？为什么？ 3．某校举行数学竞赛，共有30道题。评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。答错一题倒扣1分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？ 学科网（北京）股份有限公司 $$