专题1.7 角平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.7 角平分线中的几何综合 · 典例分析 【典例1】【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶． ①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等． ②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）选择小刚同学的解题思路，如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E，由角平分线的性可得，再说明，然后证明即可证明结论；选择小昀同学的解题思路，如图3，在上截取，连接，运用证明可得，再证明，由等角对等边可得，进而证明结论； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即，再证明可得，进而证明结论； （3）如图5：过E作，过C作交延长线于H，设；说明根据等角对等边可得；然后证明可得；再运用平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，进而得到、，最后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【解题过程】 解：（1）选择小刚同学的解题思路，证明如下： 证明：如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E， ∵平分， ∴， ∵，四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择小昀同学的解题思路，证明如下： 证明：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∵，四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图5：过E作，过C作交延长线于H， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，设，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的性质得，根据推出，继而得到，即，再根据，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【解题过程】 解：设，， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H，根据角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． 【解题过程】 解：过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定与性质，直角三角形的性质，过作交于，交于，交于，连接，由和的角平分线可得，则平分，，，得到的周长，再由等边，得到，，，再求出，得到，可以得到的周长是的周长的两倍，即可求解． 【解题过程】 解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∴平分，，， ∴，， ∴的周长， ∵等边， ∴，， 设， ∵平分，， ∴， 在中，，则， ∴， 同理可得，， ∴的周长， ∵的周长， ∴的周长是的周长的两倍， ∴若要知道的周长，只需要知道的周长， 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若，平分，且于点，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查几何的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点作交于点，过点作交于点；根据角平分线的性质，可得，；过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点；根据平行线的性质，得到，推出，根据三角形的外角和，角的和差，，根据直角三角形中，角互余，可得，利用角的和差，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，根据矩形的判定和性质，得到四边形是矩形，即，再根据三角形的面积公式，即可． 【解题过程】 解：过点作交于点，过点作交于点； ∵平分， ∴，； 过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 正确，符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①②④⑤ 【思路点拨】 结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【解题过程】 解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：． 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的定义与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质与判定，正确作出辅助线是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定②正确；作于，于，根据三角形的面积可证得③正确． 【解题过程】 解： 和的平分线相交于点， ，， ，①错误； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ，故③正确． 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，和都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接，相交于点Q，与，分别交于点M，N．连接，．下列说法中正确的有（）个． ①；②是等边三角形；③平分；④；⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 ①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等和8字形即可作判断；②④由“”可证，可得，可得判断；③如图1，过点作于点于点，证明，根据角平分线的逆定理可作判断；⑤如图2，过点作，交于，证明，根据线段的和与平方可作判断． 【解题过程】 解：①∵和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ②∵， ，故④正确； ， ， ∴是等边三角形；故②正确； ③如图1，过点作于点于点， ， ， ， ， ， 平分，故③正确； ⑤如图2，过点作，交于， 由③知：平分，由①知：， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故⑤不正确， 本题正确的有①②③④，共4个； 故选：C． 9．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作于，作于，连接，由角平分线得到，再证明得到，接着证明，得到，当时有最小值，即有最小值， 最后根据直角三角形得到． 【解题过程】 解：作于，作于，连接， ，， 平分， 即平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， 故答案为： 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有 【思路点拨】 对于①，由平行线和角平分线得 ，同理可得：，由，则，故①正确；对于②，条件不足，证明不出，故②错误；对于③，过点作，垂足分别为，由平分，则，故，故③正确；对于④，过点作于点，可证明平分，则，设，则，设，则，则，故，，在中，，故④正确． 【解题过程】 解：如图， 对于①，∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 故①正确； 对于②，条件不足，证明不出， 故②错误； 对于③，过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴， 故③正确； 对于④，过点作于点， 同上可得， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，则， 设， 设， ∴， ∴， ∴，， 在中，∴， 故④正确， 故答案为：①③④． 12．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是 ． 【思路点拨】 过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明，，得出，，进而得到，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论． 【解题过程】 解：①如图，过点作于， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分，①结论正确； ②，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ，②结论正确； ③平分， ， ，， ， 平分， ， ， ，③结论正确； ④由②可知，，， ，， ， ，④结论不正确， 正确的结论是①②③． 故答案为：①②③ 13．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，、，交于点，平分分别交、于点、，交于点，交于点．下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ．（只填序号） 【思路点拨】 本题主要考查了三角形综合．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质．作辅助线构造直角三角形，是关键． 根据角平分线性质得到，证明，得到，则①正确；根据等腰直角三角形性质得到，根据角平分线定义得到，根据三角形外角性质得到，得到，则②正确；过G作于I，则，根据，得到，根据，推出，得到，得到，设,则，得到，根据勾股定理得到，得到，则③错误；推出，得到，推出，得到，得到，得到，则④正确；根据，得到，根据，得到，则⑤正确． 【解题过程】 解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则②正确； 过G作于I，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 则③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 则⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 14．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ； ；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 【思路点拨】 此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，于，根据角平分线的判定与性质可以判断；由角平分线的定义和三角形的内角和可以判断；在上截取，连接，证明和，根据全等三角形的性质和线段和差可以判断；由角平分线性质和面积即可求解，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键. 【解题过程】 解：过点作于，于，如图所示： ∵和的角平分线，相交于点，， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分，故结论正确； ∵在中, ， ∴， ∵和的角平分线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故结论不正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∵和的角平分线，相交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论正确； 如图所示： 由（）可知：， ∵，，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴，故结论不正确； 综上所述：正确的结论是， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点E，于点D，交的延长线于M，连接．下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的结论有 ． 【思路点拨】 过作于，作，交于，过作于，根据角平分线的定义求出，，根据角平分线的性质求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出；证，得到，，即可求出． 【解题过程】 解：过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由角平分线的性质得：， ， ，， ， 正确； 作，交于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正确，正确； 过作于， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， 正确； 由角平分线的性质得：， ， 正确； 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是 （填正确结论的序号）． 【思路点拨】 根据得到得到，证明可以判断①正确；过点A分别作，，垂足分别是M，N，利用三角形全等，得到三角形的面积相等，得到可证③；根据得到，结合继而得到，可以判断②错误；在上截取，证明是等边三角形即可判断⑤正确；若，即，得到，根据得到，根据角的和差即可得到，证得，但无法证明平分，即可判断结论④错误． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 过点A分别作，，垂足分别是G，H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 在上截取， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 若，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 但无法证明平分， 故结论④错误． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤ 17．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有3个．正确的有 ．（只填写序号） 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及性质，三角形面积的计算方法，掌握角平分线的定义及性质，数形结合思想是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在中有三角形内角和定理可判定①；根据三角形面积的计算方法可得，，根据面积的比值即可判定②；如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可判定③；根据角平分线在三角形内部的交点，三角形外角角平分线的交点及性质可判定④；由此即可求解． 【解题过程】 解：在中，若，则， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，， ∴， ∵ ，故③正确； ∵， ∴三角形内部有一个点到直线、、距离相等， 如图所示，作外角的角平分线，交于点， ∴由角平分线的性质定理可得， 同理可得，三角形外部共有3个点直线、、距离相等， ∴共有4个点直线、、距离相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③ ． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有： ． ①平分； ②：③：④； ⑤． 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，①过点O作于H，根据平分得，再根据得，进而根据角平分线的性质可对命题①进行判断；②设，则，，证明平分得，再根据三角形内角和定理，由此可对命题②进行判断；③先证明，则，进而得，然后根据可对命题③进行判断；④先证明和全等得，再证明和全等得，由此可对命题④进行判断；⑤先求出，则，，，由此可求出的度数，进而可对命题⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【解题过程】 解：①过点O作于H，如图1所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分， 故命题①是真命题； ②∵平分平分， ∴设， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴点O在的平分线上， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 故命题②是真命题； ③∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故命题③是假命题； ④过点E作于点K，连接，如图2所示： ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故命题④是假命题； ⑤在中，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故命题⑤是真命题， 综上所述：是真命题的序号是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，AD是角平分线． （1）如图1，，．已知，，，求的长； （2）如图2，求证：； （3）如图3，，，．若，求证：． 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质； （1）利用角平分线的性质可得，再利用求解即可； （2）作点到、边的垂线，根据三角形面积公式即可得出结论； （2）在上取点，使，再构造角平分线模型，作的角平分线，由可证明、、都是等腰三角形，，，结合（1）的结论即可解题． 【解题过程】 （1）解：∵在中，AD是角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，作，，， ∴，， ∵在中，AD是角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：如图，在上取点，使，作的角平分线交于点， 在中，，， ， 是角平分线， ∴ 又，， ∴， ，， ， ∴， ， 又是角平分线， ， ，， ， ， ∴ 是角平分线， 由（2）可得，即， ， 整理得：． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． （1） （用含的代数式表示）； （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）当时，点在的角平分线上． 【思路点拨】 （1）由题意可知，然后根据即可得出答案； （2）过点作于点，设，则，由勾股定理可得，即，解方程即可求出的长，进而可求出的长，然后分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别根据相应的等量关系列方程，解方程即可求出的值，最后综合所有的情况即可得解； （3）点在的角平分线上，过点作于点，作于点，由角平分线的性质可得，由（2）可知，根据，利用三角形的面积公式可求得，然后根据，即可求出此时的值． 【解题过程】 （1）解：由题意可知：， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点， ， 设，则， 由勾股定理可得：， ，，， ， 解得：， ， ， 分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：； 当时， ， ， ， ， 解得：； 当时， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形， 答：当或或时，为等腰三角形； （3）解：如图，点在的角平分线上，过点作于点，作于点， ， 由（2）可知：， ， ， ， 解得：， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在中，平分交于． （1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； （2）如图2，若，，，，，求四边形的周长． 【思路点拨】 本题考查了三角形以及多边形内角和，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作于G，，证明和，得，，再把变形即可得出等于； （2）过点D作于E，，可证明，得，再证明，，根据直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，从而得出，，，同理得：，即可求得四边形的周长． 【解题过程】 （1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 22．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. （1）如图，于，于，求证：； （2）如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； （3）如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 【思路点拨】 本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、对应角之间的关系． （1）连接根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证结论成立； （2）过点作，，根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，利用可证，根据全等三角形的性质可得； （3）连接，过点作，，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可知、，从而可得，可得：． 【解题过程】 （1）证明：如下图所示，连接， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作，， ， ， ， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， 又，， ， 在和中 ，. ； （3）解：如下图所示，连接，过点作， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形，为底边， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    （1）如图1，连接，求证：平分； （2）如图1，若，，则的长为___________； （3）如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【解题过程】 （1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 24．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． （1）的度数为 °． （2）求点O到边的距离及的面积． （3）如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得的度数． （2）作于G，于H，于I．根据角平分线的性质可得，设，根据即可求出x的值为1，即点O到边的距离为1，再根据可求得的值，进而可求得的面积． （3）先利用面积法求得，再根据勾股定理可求得，则可得，作于E，根据角平分线的性质可得，再根据可求得．作于F，同理可求得，进而可求得的长． 【解题过程】 （1）解： ，分别平分，， ，， ∵在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：135； （2）解：作于G，于H，于I，连接． 平分，平分， ，， 设， 在中， ，， ∴根据勾股定理，得， ， ∴， 即． 解得， ∴O到的距离为1； 解得． ． （3）， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理，得， ． 作于E， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得． 作于F， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得， ． 25．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）问题提出：如图（1），在四边形中，平分，，，，，探究与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：如图（3），平分，，，若，求． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使得，连接，得到，即可得到，，然后证明，即可解题； （2）延长到点G，使得，连接，得到，即可得到，，然后证明，即可解题； 问题拓展：过点作交的延长线于点，点作交的延长线于点，即可得到，°，然后延长到点G，使得，连接，证明，得到，，然后证明，推出，即可解题． 【解题过程】 （1）∵平分，，， ∴，°， 又∵， ∴， 延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）∵平分，，， ∴，°， ∴， 延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 问题拓展：过点作交的延长线于点，点作交的延长线于点， ∵平分， ∴，°， 又∵，， ∴，， ∴，， 延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． （1）如图，当点在线段上时，求证：； （2）如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； （3）如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 【思路点拨】 （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【解题过程】 （1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 27．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）如图2，其余条件不变，若______． （3）如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，平分，平分，与交于点O． （1）如图1，若，直接写出的大小为__________； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，，则__________． 【思路点拨】 （1）利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可； （2）过点O作，，，证明，得到，，，得到，，即可得到结论， （3）在上截取，，连接，，作，，由，平分，平分，得到，，由，得到，设，，由，，得到，，，，进而得到，，根据角平分线的性质定理，得到 ，由，，得到，根据即可求解， 本题考查了，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：等高三角形的面积比等于底边之比． 【解题过程】 （1）解：在中，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， （2）解：过点O作，，，垂足分别为，，， 在中，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在四边形中， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分，，，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：在上截取，连接，，过点作于，于， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴，， 同理可证，，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，在与中，，，． （1）如图1，点F为边上的中点，连接，点D在线段上，过点E作于点H，若，，求的长； （2）如图2，连接、，过点A作的垂线，交于点N、交于点M，求证：； （3）如图3，在中，I为线段上的一点，满足，作与的角平分线交于点G，过点G作交线段于点P、交线段于点Q，连接，若，，请直接写出的周长． 【思路点拨】 （1）利用全等三角形判定证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）作交于点，作交延长线于点，利用全等三角形判定证明，得出，同理可得，得到，得到，进而证出，即可得证； （3）作，，，在上截取，连接，利用角平分线的性质定理得到，得出是正方形，再利用全等三角形判定推出，，得到的周长，最后利用三角形的面积公式，列出等量关系求出，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：，点F为边上的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 的长为3． （2）证明：如图，作交于点，作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 同理可得，， ， ， 又，， ， ． （3）解：如图，作，，，在上截取，连接， ，， ， 又， 四边形是长方形， 与的角平分线交于点G，，，， ，， ， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，，， ， ，， ， ， 又， ， ， 的周长； ， ， ， ， ， 又 ， ，即， 解得：， 的周长． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； （2）如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； （3）如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【思路点拨】 本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【解题过程】 （1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 31．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（________） ∴________，又∵，∴． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证：． （3）【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 【思路点拨】 （1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P，再利用角平分线的性质及等面积法证明即可； （3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解题过程】 （1）过点作于点， 于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴，（角平分线的性质） ∴， 又∵， ∴． （2）如图，过点D作于N， 过点D作于M， 过点A作于点P， 是的外角平分线， 即平分， ， ， 又 ， ． （3）在上取点G，使得，连接， 、分别是、的角平分线且相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可得，在中，为的角平分线， ， 设，则， ，， ． 32．（24-25八年级上·山东临沂·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【解题过程】 解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又 ，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又 ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又 ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 角平分线中的几何综合 · 典例分析 【典例1】【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶． ①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等． ②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）选择小刚同学的解题思路，如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E，由角平分线的性可得，再说明，然后证明即可证明结论；选择小昀同学的解题思路，如图3，在上截取，连接，运用证明可得，再证明，由等角对等边可得，进而证明结论； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即，再证明可得，进而证明结论； （3）如图5：过E作，过C作交延长线于H，设；说明根据等角对等边可得；然后证明可得；再运用平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，进而得到、，最后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【解题过程】 解：（1）选择小刚同学的解题思路，证明如下： 证明：如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E， ∵平分， ∴， ∵，四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择小昀同学的解题思路，证明如下： 证明：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∵，四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图5：过E作，过C作交延长线于H， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若，平分，且于点，连接，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①②④⑤ 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，和都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接，相交于点Q，与，分别交于点M，N．连接，．下列说法中正确的有（）个． ①；②是等边三角形；③平分；④；⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有 12．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是 ． 13．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，、，交于点，平分分别交、于点、，交于点，交于点．下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ．（只填序号） 14．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ； ；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 15．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点E，于点D，交的延长线于M，连接．下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的结论有 ． 16．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是 （填正确结论的序号）． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有3个．正确的有 ．（只填写序号） 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有： ． ①平分； ②：③：④； ⑤． 19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，AD是角平分线． （1）如图1，，．已知，，，求的长； （2）如图2，求证：； （3）如图3，，，．若，求证：． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． （1） （用含的代数式表示）； （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）当时，点在的角平分线上． 21．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在中，平分交于． （1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； （2）如图2，若，，，，，求四边形的周长． 22．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. （1）如图，于，于，求证：； （2）如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； （3）如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 23．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    （1）如图1，连接，求证：平分； （2）如图1，若，，则的长为___________； （3）如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 24．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． （1）的度数为 °． （2）求点O到边的距离及的面积． （3）如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 25．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）问题提出：如图（1），在四边形中，平分，，，，，探究与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：如图（3），平分，，，若，求． 26．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． （1）如图，当点在线段上时，求证：； （2）如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； （3）如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 27．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）如图2，其余条件不变，若______． （3）如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 28．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，平分，平分，与交于点O． （1）如图1，若，直接写出的大小为__________； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，，则__________． 29．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，在与中，，，． （1）如图1，点F为边上的中点，连接，点D在线段上，过点E作于点H，若，，求的长； （2）如图2，连接、，过点A作的垂线，交于点N、交于点M，求证：； （3）如图3，在中，I为线段上的一点，满足，作与的角平分线交于点G，过点G作交线段于点P、交线段于点Q，连接，若，，请直接写出的周长． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； （2）如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； （3）如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 31．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（________） ∴________，又∵，∴． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证：． （3）【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 32．（24-25八年级上·山东临沂·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$