专题4.7 数列求和的方法总结（5类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.7 数列求和的方法总结 【考点1：裂项相消法求和】 1 【考点2：错位相减法求和】 6 【考点3：分组求和】 12 【考点4：并项求和】 18 【考点5：倒序相加法求和】 23 【考点1：裂项相消法求和】 【知识点：裂项相消法求和】 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． （2）几种常见的裂项方式 数列(n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [方法技巧] 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　 1．（浙江省名校协作体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题）已知数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式. （2）根据裂项相消法可求数列的前n项和． 【详解】（1）当时，， 当时，，符合上式， ∴. （2）由（1）得，， ∴． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 3．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由的关系作差得到，通过构造即可求证； （2）由（1）得到，裂项相消求和即可； 【详解】（1）由题意，当时，，得， ， 当时，，① ，② ①-②得， 因为，所以则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 （2）由， 则， 所以的前n项和 5．（2025高三上·湖南常德·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且， (1)求 (2)若，求数列前n项和为，并证明 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由题意得： 即 解得 故， 故 （2）， 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【详解】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 （2）， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 【考点2：错位相减法求和】 【知识点：错位相减法求和】 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． [方法技巧] 错位相减法求和的策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合对数运算即可求得答案； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）∵ 当时， 当时，     当时，符合上式， ∴ ∴； （2）设 由（1）知     ∴ ∴ ∴. 2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在数列中，，． (1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知得、，结合等差数列的定义证明等差数列，并写出通项公式； （2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1），又， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴． （2）由（1）知，则， ∴， ①， ②， ①②，得 ， ∴． 3．（2025高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题设得到，联合题设作差计算即可求出数列的通项公式，再检验首项是否满足即可得解； （2）先求出数列的通项公式，再用错位相减法结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】（1）①， 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以，满足， 所以. （2）因为， 所以， 即③， 所以④， 由③-④可得， 即， 所以， 整理得. 4．（2025高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：， (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用累加法求得，并检验是否符合，即可求解. （2）利用错位相减法求和可得． 【详解】（1）依题意，当时，，，，， 累加得， 则，而，因此，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 设，则， 两边同乘以2，得， 两式相减，得 ， 因此，所以. 5．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由错位相减法求出，由>0可得出；然后再根据的单调性得出，从而得证. 【详解】（1）在数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以. （2）由（1）知，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以 因为，所以，因此， 所以单调递增，因此 综上所述，. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；     （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以. （3）由题可得，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 【考点3：分组求和】 【知识点：分组求和】 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 2．（24-25高二上·广西河池·期末）已知等差数列满足，，等比数列满足， (1)求数列，的通项公式; (2)设数列满足，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的基本量的运算求解即可； （2）根据等差、等比数列的求和公式及分组求和的方法得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为 由，，可得，解得， 则 由，， 故是首项为3，公比为3的等比数列， 则 （2）由（1）得， 3．（2025高三下·广东·开学考试）在数列中，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知得，再由等差数列的定义可得答案； （2）由（1）求出可得答案； （3）由（2）利用分组求和可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列； （2）由（1）可得， 则， 故； （3）由（2）可得， 则 . 4．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知等差数列的公差，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列性质，，化简得到原等差数列公差与，得到答案. （2）列出数列的前n项和为，进行代换得到题干要求式子，进行求和，化简得到答案. 【详解】（1）∵等差数列中，成等比数列， ∴，∴ 化简得，∵，解得， 所以数列的通项公式为:. （2）数列的前n项和为， 所以，所以 , 所以答案为：. 5．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前n项和为，若， (1)求 (2)若，为数列的前n项和，求 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系,结合等比数列公式求解即可； （2）采用分组转化求和法求解即可. 【详解】（1）， 当时，， 当时，， ， ， ， 又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ， ， 又时也满足上式， ； （2）， ， ， 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列公差为，数列公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式将条件转化为的方程，解方程求，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论； （2）由（1）可得，分别在为偶数和奇数条件下，利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得． 所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 【考点4：并项求和】 【知识点：并项求和】 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．（2025·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】A 【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可. 【详解】设公差为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，， 此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前项和为， ，故A正确. 故选：A 2．（24-25高二上·山西运城·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 【答案】B 【分析】由通项公式结合分组求和、等差数列前项和公式即可求解； 【详解】因为 ， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求； （2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. （2）由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 4．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由（1）可得数列的通项公式，然后由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）①当时，或（舍去）， ②当时，， ， 上述两式相减，整理得，又， 所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列， . （2）由（1）知， 所以， . 5．（广西邕衡教育名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 【答案】(1)；5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接代入运算即可得，； （2）分类讨论n的奇偶性，结合题中递推公式运算求解即可； （3）根据（2）可得若n为奇数，则，分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 所以；. （2）因为， 当n为奇数，则； 当n为偶数，则； 所以. （3）由（2）可知， 若n为奇数，则，可得： 当n为偶数时，； 故当n为奇数时； 所以. 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. (1)求的值； (2)若，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列项之间的关系建立等量关系，解方程组即可得到的值； （2）将和代会（1）中求得，从而求得以及，从而知道，对进行奇偶讨论，分别出对应的数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 即，即， 因为，所以解得. （2）将，代入（1）中等式可得，∴， 由得， ∴， 则， 当为奇数时， ， 当为偶数时， 综上所述 【考点5：倒序相加法求和】 【知识点：倒序相加法求和】 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质计算出的值，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 2．（2025高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【分析】利用倒序相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 3．（2025高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 4．（24-25高二上·福建漳州·期中）对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为．如下，给出，，…，，在中，有，．         ，         ，，         ，，，，         ，，，，，，         ，，，，，，，，，， 已知，则 ， ． 【答案】 23 【分析】结合题意根据阶Farey数列的定义及性质分析即可求解. 【详解】分母为6的既约真分数有，共2个； 分母为7的既约真分数有，共6个； 分母为8的既约真分数有，共4个， 由题意得，所以， 与100互质的数是不含有2和5的数，即个位是1,3,7,9的数都与100互质， 所以与100互质的数共有40个，即分母为100的既约真分数有个， 又，所以， 由题意可知阶Farey数列，每一阶最中间的数都为，且关于对称的两数之和为1， 所以利用倒序相加法可得，所以. 故答案为：23；. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 5．（2025高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 6．（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.7 数列求和的方法总结 【考点1：裂项相消法求和】 1 【考点2：错位相减法求和】 4 【考点3：分组求和】 8 【考点4：并项求和】 11 【考点5：倒序相加法求和】 14 【考点1：裂项相消法求和】 【知识点：裂项相消法求和】 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． （2）几种常见的裂项方式 数列(n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [方法技巧] 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　 1．（浙江省名校协作体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题）已知数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 3．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 5．（2025高三上·湖南常德·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且， (1)求 (2)若，求数列前n项和为，并证明 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【考点2：错位相减法求和】 【知识点：错位相减法求和】 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． [方法技巧] 错位相减法求和的策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在数列中，，． (1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（2025高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 4．（2025高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：， (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 5．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【考点3：分组求和】 【知识点：分组求和】 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 2．（24-25高二上·广西河池·期末）已知等差数列满足，，等比数列满足， (1)求数列，的通项公式; (2)设数列满足，求数列的前n项和 3．（2025高三下·广东·开学考试）在数列中，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 4．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知等差数列的公差，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求数列的前项和. 5．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前n项和为，若， (1)求 (2)若，为数列的前n项和，求 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【考点4：并项求和】 【知识点：并项求和】 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．（2025·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 2．（24-25高二上·山西运城·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．188 B．189 C．190 D．191 3．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 4．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列前项的和. 5．（广西邕衡教育名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. (1)求的值； (2)若，且，求数列的前项和. 【考点5：倒序相加法求和】 【知识点：倒序相加法求和】 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 2．（2025高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 3．（2025高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 4．（24-25高二上·福建漳州·期中）对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为．如下，给出，，…，，在中，有，．         ，         ，，         ，，，，         ，，，，，，         ，，，，，，，，，， 已知，则 ， ． 5．（2025高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 6．（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$