专题06 直角三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题06.直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 16 58 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此三角形是直角三角形． 例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 例4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（2023·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 例3．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 例4．（2024·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ． 例5．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以的速度从点A出发沿方向运动，设运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，则t的值为 秒． 例6．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD与x轴的交点，连接CF． (1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________； (3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标． 例7．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为． (1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标． (3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．    1．（2024·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ． 2.（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知如图：在平面直角坐标系中，，，，，动点P以每秒2个单位的速度，从点B出发沿向点D运动，；点Q以每秒1个单位的速度，从点D出发，沿线段向点A运动．P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．运动过程中，以A、P、Q三点组成的三角形为直角三角形时，此时P点坐标为 ． 4．（2024·广东·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于___________. 5．（2024·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，  （1）的面积= ．（2）当为直角三角形时，则的长为   ． 6．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，，．，在直线上．现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 ． 7．（2023·云南昆明·八年级统考期末）如图，在等边三角形ABC中，．如果点M，N都以的速度运动，点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，它们同时出发，当两点运动时间为秒时，是一个直角三角形，则 秒．    8．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________． 9．（2024·广东·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 10．（2024·四川成都·八年级统考期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点．①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 11．（2024·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线．(1)在图2的中，，．请在图2中画出关于点B的伴侣分割线，并注明的度数；(2)已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，并标出所画中各个角的度数． 12．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，求的长. 13．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），点B（b，0），且有b＝+ + 8．(1)连接AB，求线段AB的长；(2)若点C为y轴上的一个动点，当△ABC为等腰三角形时，求点C的坐标；(3)若点D为坐标轴上的一个动点，当△ABD为直角三角形时，求点D的坐标． 14．（2023春·四川成都·八年级成都七中校考期中） 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图像交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P． (1)用m，n表示点P的坐标，并求的度数； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标；(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．（2023·四川成都·八年级统考期末）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线与交于点E． (1)若点E坐标为．①求m的值；②点P在直线上，若，求点P的坐标； (2)点F是线段的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06.直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 16 58 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此三角形是直角三角形． 【答案】10或 【详解】解：当6和8都为直角边长时，则第三边长为=10； 当6为直角边长，8为斜边长时，则第三边长为， ∴当第三边为10或时，此三角形是直角三角形，故答案为：10或． 例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【详解】解：∵，∴ ∵平分∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，∵，∴；    ②当时，如图2，∴，∵，∴， 综上，的度数为或．故答案为：50或25． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：      则，由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示： 则，，由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或．故选：A． 例4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：点在的垂直平分线上，沿折叠得到， ，， 是直角三角形，只能是，如图， ， 在中，，，，，， ，，，， 在中，，由勾股定理得：，即，解得：， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，，故答案为：或． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（2023·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个． ∵，， ∴，，， ∴，，都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C． 例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 【答案】或/或 【详解】解：如图，、， 以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则, ①当时，过点作轴于点， 在与中 ②当时，过点作轴于点，同理可得 ， 综上，点C的坐标是或 故答案为：或 例3．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为 ． 当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时，∵ ∴ ， 解得，∴点P的坐标为 当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时，∵ ，∴点P的坐标为 ． 综上所述点P的坐标为 例4．（2024·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图1，当∠AMB＝90°时， ∵O是AB的中点，AB＝2，∴OM＝OB＝1， 又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，∴BOM是等边三角形，∴BM＝BO＝1， ∴RtABM中，AM＝＝； 如图2，当∠ABM＝90°时，∵∠BOM＝∠AOC＝60°，∴∠BMO＝30°，∴MO＝2BO＝AB＝2， ∴RtBOM中，BM＝＝，∴RtABM中，AM＝＝， 综上所述，当ABM为直角三角形时，AM的长为或．故答案为：或． 例5．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以的速度从点A出发沿方向运动，设运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，则t的值为 秒． 【答案】或2或 【详解】解：连接，如图所示：∵等边的边长为，点Q是的中点， ∴，， ，∴， 当时，，∴； ∴当P从时，，当P从时，； 当时，点P运动到点B，． 综上分析可知，t的值为或2或．故答案为：或2或． 例6．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD与x轴的交点，连接CF． (1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________； (3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标． 【答案】(1)（10，）(2)(3)、 【详解】（1）解：∵点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，∴OA=8，OB=10， ∵长方形AOBC，∴AC=OB=10，BC=OA=8， ∵点C在第一象限，∴点C（10，8），故答案为（10，8）； （2）解：∵将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，∴AE=AC=10，ED=CD， 在Rt△AOE中，OE=，∴EB=OB-OE=10-6=4，∴设BD=m，∴ED=CD=8-m， 在Rt△EBD中，，即，解方程得，∴点D（10，3）， 设AD解析式为：，代入坐标得： ，解得，∴AD解析式为：，故答案为：； （3）当CP1⊥AF时，△CP1F为直角三角形，∵点C关于AF的对称点为E，∴直线CE与AF的交点为点P1，设CE解析式为，代入坐标得 解得∴CE解析式为 ∴解得，∴点P1（8，4） 当CP2⊥CF时，△CFP2为直角三角形，连结P2E， ∵AF为对称轴，∴△FCP2≌△FEP2，∴CF=EF，P2E⊥OF， 当x=6时，，∴点P2（6，5）， ∴当△CFP是直角三角形时，点P的坐标为（8，4）或（6，5）． 例7．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为． (1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标． (3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．    【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）在中，令得，∴， 把，代入得：，解得，∴直线的解析表达式为． （2）如图，在中，令得，令得， ∴，，设，∴，，           ∵，四边形的面积为14，∴，解得，∴． （3）设，， ∴，，， 当为斜边时，如图：，解得，∴， 当为直角边时，如图：，解得，∴， ∴M的坐标为或． 1．（2024·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ． 【答案】或或 【详解】①如图，当时， 是等腰直角三角形， , ②如图，当时，过点作，交的延长线于点， ，是等腰直角三角形， ， 又是等腰直角三角形 在中， 在中， 在中， ③如图，当时 ，是等腰直角三角形， ， 在中， 在中， 综上所述，的长为：或或 2.（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或/5或2 【详解】解：当时，如图，        ， ，，，，， 由折叠得，，，设，， 在中，，，即； 当时，如图，作， ，，， ，．故答案为：5或2． 3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知如图：在平面直角坐标系中，，，，，动点P以每秒2个单位的速度，从点B出发沿向点D运动，；点Q以每秒1个单位的速度，从点D出发，沿线段向点A运动．P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．运动过程中，以A、P、Q三点组成的三角形为直角三角形时，此时P点坐标为 ． 【答案】或/或 【详解】解：设运动时间为秒，，，，， 四边形是矩形，，，，，， ①当时，此时点与原点重合，即P点坐标为； ②当时，如图，此时四边形是矩形， ，，解得：，P点坐标为， ③当时，不存在此种情况， 综上可知，P点坐标为或，故答案为：或 4．（2024·广东·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于___________. 【答案】或1 【详解】解：①如图，当∠CFE=90°时， ∵四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB=6，AD=4， ∴∠PAE=∠PFE=∠EBC= 90°，AE=EF=BE=3， ∴∠PFE+∠CFE =180°，∴P、F、C三点一线，∴△EFC≌△EBC， ∴FC=BC=4，EC==5，∠FEC=∠BEC，∴∠PEF+∠FEC =90°， 设AP=x，则PC=x+4，∴,解得x=； ②如图，当∠CEF=90°∴∠CEB+2∠PEA =90°，∴∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，延长PE、CB，二线交于点G， ∵AE=BE，∠PAE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，∴△PAE≌△GBE， ∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，∴∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA， ∴∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∴CE=CBC+BG=BC+AP，∴5=4+AP，解得PA=1， 故答案为：或1． 5．（2024·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，  （1）的面积= ．（2）当为直角三角形时，则的长为   ． 【答案】 48 2或14 【详解】解：过点C作于点F，如图， ∵，∴， ∴， ∴=；故答案为48. ①如图1，当点D在上时，∵，∴． ∴ 45°．∴．∴． ②如图2，当点D在上时，∵，∴．∴． ∴．故答案为：48，2或14 6．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，，．，在直线上．现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【详解】∵，，，∴，， 如图，当在的左侧，且时，    ∵为直角三角形，∴，∴，∴，∴； 如图，当在线段上，且时，    即为直角三角形，∴，∴； 如图，当在线段上，且时，    即为直角三角形，∴，∵，∴， ∴为等边三角形，∴，故答案为：或或． 7．（2023·云南昆明·八年级统考期末）如图，在等边三角形ABC中，．如果点M，N都以的速度运动，点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，它们同时出发，当两点运动时间为秒时，是一个直角三角形，则 秒．    【答案】或 【详解】解：由题意得，，，则， 当时，，，，即，解得，， 当时，，即，解得，， 综上所述，当或时，是一个直角三角形，故答案为：或． 8．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________． 【答案】45°或135° 【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时， ∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC， ∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B， ∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C， ∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°； 如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时， ∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE =x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x， ∵AB=DB，∴ ，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°； 如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时， ∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE， ∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD， ∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°， ∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时， ∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y， ∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE= ， ∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135° 9．（2024·广东·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】     或5     4或10 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，，当时，，解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，，当时，，解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，，当时，，解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，，当时，，解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 10．（2024·四川成都·八年级统考期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点．①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①2；②BC＝2BP，见解析(2)BP＝10或30 【详解】（1）解：①如图：点E为折叠后的点B的对应点 ∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°，∴，∴CE=DC-DE=10-8=2；故答案为：2； ②BC＝2BP，理由如下：∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，∵CEAP，∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP，∴EP＝CP，∴BP＝BC，∴BC＝2BP； （2）∵△PEC是直角三角形 当∠EPC＝90°时，∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，∴四边形ABPE是正方形，∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时，则∠ECP=∠B=90°，∴， ∵，∴点E、D、C三点共线，由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，由勾股定理得： 182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，综上：BP＝10或30． 11．（2024·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线． (1)在图2的中，，．请在图2中画出关于点B的伴侣分割线，并注明的度数； (2)已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，并标出所画中各个角的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： 12．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，求的长. 【答案】AP的长为2、或 【详解】解：如图，分三种情况讨论：图(1)中，，∵，， ∴，又，∴是等边三角形，∴. 图(2)中，，∵，，∴，又， ∴，在中，. 图(3)中，，∵，， ∴，∴∴AP的长为2、或. 13．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），点B（b，0），且有b＝+ + 8． (1)连接AB，求线段AB的长；(2)若点C为y轴上的一个动点，当△ABC为等腰三角形时，求点C的坐标； (3)若点D为坐标轴上的一个动点，当△ABD为直角三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1)AB＝10(2)点C的坐标为（0，16）或（0，－4）或（0，－6）或（0，－） (3)点D的坐标为（0，0），（－，0），（0，－） 【详解】（1）解：由题意得，a－6≥0，6－a≥0，∴a＝6， 把a＝6代入b＝+ + 8，得b＝8，∴A（0，6），B（8，0），即OA＝6，OB＝8， 在中，由勾股定理得，AB＝10； （2）解：当AC＝AB＝10，点C在y轴的正半轴上时，OC＝OA+AC＝16，此时点C的坐标为（0，16）； 当AC＝AB＝10，点C在y轴的负半轴上时，OC＝AC－OA＝4，此时点C的坐标为（0，－4）； 当BA＝BC时，OC＝OA＝6，此时点C的坐标为（0，－6）；如图1所示： 当CA＝CB时，设OC＝x，则CB＝CA＝x+6， 在Rt△OCB中，OC2+OB2＝BC2，即x2+82＝（x+6）2，解得：x＝，此时点C的坐标为（0，－）； 综上所述，当△ABC为等腰三角形时，点C的坐标为（0，16）或（0，－4）或（0，－6）或（0，－）； （3）解：当∠ADB＝90°时，点D与点O重合，点D的坐标为（0，0）； 如图2所示：当∠BAD＝90°时，设OD＝x，则BD＝x+8， 由勾股定理得，AD2+AB2＝BD2，即x2+62+102＝（x+8）2，解得：x＝，点D的坐标为（－，0）； 如图3所示：当∠ABD＝90°时，设OD＝y，则AD＝6+y， 由勾股定理得，BD2+AB2＝AD2，即y2+82+102＝（y+6）2，解得：y＝， 点D的坐标为（0，－）； 综上所述，当△ABD为直角三角形时，点D的坐标为（0，0），（－，0），（0，－）． 14．（2023春·四川成都·八年级成都七中校考期中） 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图像交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P． (1)用m，n表示点P的坐标，并求的度数； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在；， 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：，∴点P的坐标为：； ∵一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D， ∴时，；时，，∴，，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴； （2）解：过点P作于点G，由（1）可知，点P的坐标为：，则， ∵一次函数交x轴于点A，交y轴于点B， ∴时，，即，时，，∴，即，， ∴，∴，， ∵，，∴，， 又∵，，∴，即， ∴，解得（舍）或， ∴，∴，， ∴点P的坐标为：，∴直线的解析式为：； （3）解：∵直线向下平移9个单位得到直线l， ∴直线l的解析式为：， 当点F在x轴上，如图2，过点E作轴于点H，过点P作轴于点K， ∵是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F， ∴，，∴，又∵，∴， 在和中，，∴，∴，， 设点E的坐标为：，点F的坐标为：，则，， 由（1）可知点，则，∴，解得：，∴点F的坐标为：； 当点F在y轴上时，如图3，过点P作轴于W，过点E作于点S， ∵是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F， ∴，，∴，又∵，∴， 又∵，∴，∴，， 由（1）可知点，则， 设点E的坐标为： ，点F的坐标为：，则，， ∴，解得，∴点F的坐标为：． 15．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标；(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为(2)(3)或 【详解】（1）解：当时，，当时，，解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合），∴，， ∴的面积，∴； （3）解：∵，∴，解得：，∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于，   ∵是等腰直角三角形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， 当时，如图所示，过点作轴于M，同理可证， ∴，，∴，∴， 综上，点的坐标为或． 16．（2023·四川成都·八年级统考期末）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线与交于点E． (1)若点E坐标为．①求m的值；②点P在直线上，若，求点P的坐标； (2)点F是线段的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②点P的坐标为或(2)存在， 【详解】（1）解：①当时，，即点， 将点E的坐标代入得：，解得：； 解：由题意可知，、、，，，则， 由A、E的坐标得：，设的底边上的高为h， 则，解得：，由直线的表达式知，，则， 取，作直线，过点A作于点M，过点M作轴于点N，则直线l和直线的交点即为点P，则为等腰直角三角形，则，则点， 设直线l的表达式为：，将点M的坐标代入上式并解得：，则直线l的表达式为：， 联立直线l和并解得，即点P的坐标为； 当点P在直线上方时，同理可得：点，综上，点P的坐标为：或； （2）解：存在，理由如下：设点，则点， 过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N， 为以为直角边的等腰直角三角形，则，， ，，， ，，，， 即，解得：，则点，将点E的坐标代入并解得：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$