精品解析：湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

邵东一中2024年下学期高二期末考试数学试卷 考试范围：必修一必修二，选择性必修一选择性必修二 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. R 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两集合，再求两集合的并集 【详解】由，得， 所以， 由，得，所以， 所以， 故选：A 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z，进而求出虚部. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的定义直接求得. 【详解】在等差数列中，由等差中项的定义可得：，， 所以． 故选：C 5. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】切线的斜率为， 由， 故选：C 6. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（ ） A. 两个圆心所在直线的斜率为 B. 两圆恰有3条公切线 C. 两圆公共弦所在直线的方程为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知写出圆的标准方程确定圆心和半径，圆心坐标求斜率判断A；由圆心距与半径和差关系判断圆的位置关系判断B、C；由两圆上点的距离最小为判断D. 【详解】由，则，半径为， 由，则，半径为， 所以，A错； ，即两圆外离，有4条公切线，B、C错； ，D对. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 8. 设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据的第70百分位数为13 B. 若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C. 已知随机事件A和B互斥，且，，则 D. 某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，向后推一位即可；利用方差的性质计算即可；根据互斥求出，再利用对立事件来求解；利用古典概型求解即可． 【详解】A选项，数据从小到大排列为，由， 故第5个数作为第70百分位数，即13，A正确； B选项，样本数据的方差为2， 则数据的方差为，所以B选项错； C选项，因A和B互斥，则， 可得，所以，C正确； D选项，样本数据落在区间有有4个， 所以样本数据落在区间内的频率为，故选D； 故选：ACD． 10. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 当有三个零点时，的取值范围为 B. 是偶函数 C. 设的极大值为，极小值为，若，则 D. 若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数的极大值和极小值，结合求出的值，可判断C选项；设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得出方程有三个不等的实根，可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，令可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对； 对于B选项，，该函数的定义域为， ， 故函数是偶函数，B对； 对于C选项，，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 所以，，， 所以，，解得，C错； 对于D选项，设切点坐标为，则， 所以，曲线在处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，整理可得， 令，其中，则， 令，可得或，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 若过点可以作图象的三条切线， 则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 11. 如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 存在某个位置，使得 C. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用三角形面积公式，，当时，最大，且最大值为，故A正确；B选项，取的中点，易证，易判断B错误；C选项，三棱锥体积最大时，平面，，找到球心求出半径得解；D选项，由，得，所以点在以为球心，1为半径的球面上，求出点到平面的距离得解. 【详解】对于A，由，，则， 由题意，, 所以当时，最大，且最大值为，故A正确； 对于B，取的中点，连接，显然，且， 又，所以四边形为平行四边形， 所以，又，且，为的中点， 则与不垂直， 所以与不垂直，故B错； 对于C，易知三棱锥体积最大时，平面平面，交线为， 作，因为平面，则平面， 取中点，连接，，，则， 由勾股定理可得， 又，故点为三棱锥的外接球的球心， 所以其外接球的半径为，表面积为，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 点在以为球心，1为半径的球面上，且N,E在平面的同侧， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 易知，，， ，，， 所以当点位于点E到平面的垂线段上时，点N到平面的距离的最小值为，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为， 将点坐标代入上式，得， ∴． 答案： 13. 平行六面体中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，平方即可求解； 【详解】 因为六面体是平行六面体，所以，所以 ，所以． 故答案为：5 14. 设首项是1的数列的前项和为，且，则______；若，则正整数的最大值是______． 【答案】 ①. 8 ②. 11 【解析】 【分析】由递推公式依次计算可求出；分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而利用分组求和法及等比数列求和公式求得为偶数、奇数时的前项和，再结合单调性确定的值即可． 【详解】由，得，，； 当为偶数时，，则，又， 因此，； 当为奇数时，，则，又， 因此，， 数列各项均为正，则数列单调递增， 当为偶数时， ，又， 当时，，当时，； 当为奇数时，， 当时，，所以正整数的最大值是11. 故答案为：8，11 【点睛】关键点点睛：按奇偶分析求出通项，再按奇偶求出前项和是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 又，所以，因此， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以， 所以△ABC的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知单调递增的等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设的公比为q， 则， 解得或（舍去）， ∴（）； 【小问2详解】 由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②，整理得， 所以对于任意的，不等式恒成立， 即不等式对于任意的恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，的增区间为； 当时，的增区间为，； 减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求出，的符号由二次函数的函数值的符号决定，分二次函数有零点和无零点讨论，有零点再分零点是否大于零讨论，得到的单调区间； （2）将恒成立转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由得. 令，则 当时，又，所以，即，所以在上单调递增； 当时，有，，所以， 所以在上单调递增； 当时，，令即， 又，得或， 令即，得， 所以的增区间为，； 减区间为； 综上：当时，的增区间为； 当时，的增区间为，； 减区间为. 【小问2详解】 由题意，， 即，所以在上恒成立， 故， 令， 则， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以存在，则， 故当时，，即，函数单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以， 设，则，于是， 设，则在内单调递减，且， 又，故，于是，所以， 所以，即a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导函数中最值问题，涉及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是多次构造函数，进而可求得结果. 19. （1）设椭圆与双曲线有相同焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”； （2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值； （3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），；，；. 【解析】 【分析】（1）由由的周长为得,由椭圆与双曲线共焦点可得值,根据平方关系求得,进而即可得到椭圆方程； （2）设“盾圆”上的任意一点的坐标为,,分为与两种情况表示出,再分别计算,即可求得定值； （3）由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）,分类讨论：时,在椭圆弧上；时,在抛物弧上,由条件可表示出此时,相应地, 再按时, 在抛物弧上,在椭圆弧上；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上；当时, 、在椭圆弧上,利用三角函数性质分别求出的范围 【详解】（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,,则椭圆的方程为 （2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为, 当时,,, 即； 当时,,, 即； 所以为定值. （3）显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）； 当时,,此时,； 当时,在椭圆弧上,由题设知代入得,,整理得,解得或（舍去） 当时,在抛物弧上,方程或定义均可得到,于是, 综上,或； 相应地,, 当时, 在抛物弧上,在椭圆弧上, ； 当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上, ; 当时, 、在椭圆弧上, ； 综上, ，；，； 的取值范围是 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查两点间距离公式,考查参数方程的应用,考查推理论证的能力,考查分类讨论思想,考查运算能力 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邵东一中2024年下学期高二期末考试数学试卷 考试范围：必修一必修二，选择性必修一选择性必修二 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. R 2. 复数的虚部为（ ） A B. C. D. 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（ ） A. 两个圆心所在直线的斜率为 B. 两圆恰有3条公切线 C. 两圆公共弦所在直线的方程为 D. 的最小值为 7. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 最小值为2 C. 若，则 D. 轴上存在一点，使定值 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据的第70百分位数为13 B. 若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C. 已知随机事件A和B互斥，且，，则 D. 某一组样本数据为，则样本数据落在区间内频率为 10. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 当有三个零点时，的取值范围为 B. 是偶函数 C. 设的极大值为，极小值为，若，则 D. 若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为 11. 如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 存在某个位置，使得 C. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 三棱锥体积最大时，点到平面距离的最小值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_____． 13. 平行六面体中，，，，则______． 14. 设首项是1的数列的前项和为，且，则______；若，则正整数的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求△ABC的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知单调递增的等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求a的取值范围. 19. （1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”； （2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值； （3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$