1.5数学归纳法（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

1.5数学归纳法 题型一：数学归纳法证明恒等式 1．用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 3．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 4．用数学归纳法证明（为正整数）． 题型二：数学归纳法证明整除问题 1．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 2．（多选）斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 3．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 4．设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 题型三：数学归纳法证明几何问题 1．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 3．在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 4．用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 题型四：数学归纳法证明数列问题 1．（多选）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 2．用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 4．设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 题型五：数学归纳法证明其他问题 1．函数，，…，，…，则函数是（    ）． A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．已知，用数学归纳法证明时，比多了 项． 3．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 4．已知数列满足：，且.记集合. (1)若，写出集合的所有元素； (2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； (3)求集合的元素个数的最大值. 题型六：推理证明解决探究问题 1．用数学归纳法证明对任意，的自然数都成立，则的最小值为 . 2．已知存在常数，使等式对都成立，则 ． 3．请观察下列三个式子： ①； ②； ③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 4．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 1．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 2．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 3．用不相交的对角线把凸多边形分成几个三角形，叫做“凸多边形的三角剖分”，不同的剖分方法的总数叫做“三角剖分数”．下图是一个平面凸五边形用其不相交的对角线作三角剖分，总共有五种不同的剖分方法．已知凸边形与三角剖分数的关系满足：当时，，且．则凸七边形的三角剖分数为（    ）    A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 5．现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 7．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 8．数列满足，则的前60项的和为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）下列结论能用数学归纳法证明的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 11．（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 12．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 13．设数列满足.若数列是正项递增数列，则的取值范围是 . 14．在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 15．设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 16．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5数学归纳法 题型一：数学归纳法证明恒等式 1．用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的证明过程求解. 【详解】数学归纳法的证明过程如下： 当 时 ，左边 ，原不等式成立； 设当 时，原不等式成立，即  …①成立， 则当 时，左边 ， 即要证明左边 也成立，即证  ， 由①知即证 ； 故选：D. 2．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 3．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【分析】由数学归纳法证明即可. 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 4．用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【详解】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 题型二：数学归纳法证明整除问题 1．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 2．（多选）斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 【答案】BCD 【分析】A:直接法写出第8项即可; B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可; C:只需证明即可,用数学归纳法证明; D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可. 【详解】解:由题知,关于选项A, , 故选项A错误; 关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足为偶数,为奇数, ③当时, ,为奇数,为偶数, ,为奇数,为偶数,为奇数, ,为奇数,为偶数,为奇数, 故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证, 2023项是非3的倍数项,故选项B正确; 关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足成立, ③当时, 成立,满足规律, 故, 令, 则有成立, 故选项C正确; 关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时,满足 ③当时, 能被4整除得证, ,能被4整除得证, 故选项D正确. 故选:BCD 3．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 4．设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)8，32，144，680； (2)猜想：当时，能被8整除，证明见解析. 【分析】（1）根据给定关系式，代入计算作答. （2）由（1）的结果，猜想结论，再利用数学归纳法证明作答. 【详解】（1）由，，得； ；； ． （2）由（1）猜想：当时，能被8整除． ①当时，有，能被8整除，命题成立； ②假设当时命题成立，即能被8整除， 则当时， ， 显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除， 又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立， 由①②知，当时，能被8整除. 题型三：数学归纳法证明几何问题 1．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑当时，任取其中1条直线，记为，由于直线与前面条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出个交点，从而得出结果. 【详解】当时，任取其中1条直线，记为， 则除外的其他条直线的交点的个数为， 因为已知任何两条直线不平行， 所以直线必与平面内其他条直线都相交(有个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的个交点两两不相同， 且与平面内其它的个交点也两两不相同， 从而时交点的个数是， 故选：C 2．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 【答案】A 【分析】利用棱柱对角面的意义及每增加一条棱，对角面增加的个数即可判断作答. 【详解】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的， k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面， 而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1， 所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1. 故选：A 3．在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【答案】 【分析】先通过，2，3，4，5的结果归纳出，再用数学归纳法证明即可. 【详解】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图）    从图中可以看出， ， ， ， ， . 由此猜想. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. （1）当，2时，结论均成立. （2）假设当时结论成立，即. 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对，都有， 即. 4．用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】证明见解析 【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【详解】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 题型四：数学归纳法证明数列问题 1．（多选）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 【答案】AD 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确． 故选：AD 2．用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【答案】 【分析】根据数学归纳法规则计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：  . 3．在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1)，，； (2)猜想数列的通项公式为，证明见解析 【分析】（1）利用递推公式计算可求得，，； （2）猜想，利用数学归纳法可证结论成立. 【详解】（1），， ； （2）猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 4．设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据，令代入即可求解. （2）利用数学归纳法的证明即可. 【详解】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 题型五：数学归纳法证明其他问题 1．函数，，…，，…，则函数是（    ）． A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】因为是奇函数，可得也是奇函数，再根据数学归纳法证明对任意的 ，有 是奇函数. 【详解】易知是奇函数，， ，，满足， 所以也是奇函数， 假设 是奇函数，则 ， 即也是奇函数，因此对任意的 ，有 是奇函数， 故：也是奇函数. 故选：A 2．已知，用数学归纳法证明时，比多了 项． 【答案】 【分析】作差分析可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以比多了项. 故答案为： 3．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明见解析. 【分析】（1）求出的值即得； （2）利用数学归纳法证明即得. 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）猜想：当，时，有． 证明：①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 4．已知数列满足：，且.记集合. (1)若，写出集合的所有元素； (2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； (3)求集合的元素个数的最大值. 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据递推关系可求的所有元素； （2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明； （3）利用列举法可求的元素个数的最大值 【详解】（1）若，则，，， ，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故. （2）设， 若，则，因互质，故为3的倍数； 若，则即，因互质， 故为3的倍数， 依次类推，有均为3的倍数. 当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数. 当时，若，则，故为3的倍数； 若，则，故为3的倍数， 设当时，是3的倍数即为3的倍数， 若，则，故为3的倍数； 若，则，因为3的倍数，故为3的倍数， 故当时，是3的倍数也成立， 由数学归纳法可得是3的倍数成立， 综上，的所有元素都是3的倍数. （3）当，则，，，，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为1； 当时，的元素个数不超过为5， 综上，的元素个数的最大值为5. 【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决. 题型六：推理证明解决探究问题 1．用数学归纳法证明对任意，的自然数都成立，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】利用数学归纳法进行分析. 【详解】当时，成立，此时只针对时成立， 当时，不成立， 当时，不成立， 当时，不成立， 当时，恒成立， 故的最小值为， 故答案为：5. 2．已知存在常数，使等式对都成立，则 ． 【答案】5 【分析】用特殊值法，如取代入计算． 【详解】由题意时，，， 故答案为：5 3．请观察下列三个式子： ①； ②； ③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 【答案】，证明见解析 【分析】观察各个式子左右两边的关系以及与正整数的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明． 【详解】． 证明：①当时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边． ②假设当时，命题成立， 即； 则当时， ， 所以当时命题立，由①②知，命题成立． 4．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 1．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 【详解】当时，，所以左边为. 故选：C. 2．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 3．用不相交的对角线把凸多边形分成几个三角形，叫做“凸多边形的三角剖分”，不同的剖分方法的总数叫做“三角剖分数”．下图是一个平面凸五边形用其不相交的对角线作三角剖分，总共有五种不同的剖分方法．已知凸边形与三角剖分数的关系满足：当时，，且．则凸七边形的三角剖分数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先确定，再利用当时，，求得，从而可得的值. 【详解】易得，， 即，所以， 故， 即，解得， 又， 所以，解得． 故选：A. 4．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 5．现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 7．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 8．数列满足，则的前60项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系求出的值，进而求得数列前60项的和. 【详解】当时，有，则的前60项和 . 故选：C. 9．（多选）下列结论能用数学归纳法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明. 故选：BC. 10．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 11．（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】ABC 【分析】根据题设结论逐项分析判断. 【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误； 对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误； 对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误； 对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确； 故选：ABC. 12．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 13．设数列满足.若数列是正项递增数列，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先通过特例得到，再证明此时,最后利用数学归纳法可证此时数列为增数列. 【详解】若数列是正项递增数列，为递增数列，故可得的范围. 则对于任意，且， 又，所以，即，可得或（舍去）. 故的取值范围是. 当时，下证， 当，已有成立， 设当时，成立，则当时，有， 由数学归纳法可知：成立. 故， 故当时，有为递增数列， 故答案为：. 14．在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 【详解】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 15．设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 16．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 【答案】(1)，，猜测，证明见解析 (2) 【分析】（1）直接通过递推公式计算，然后猜测并证明； （2）使用错位相减法即可. 【详解】（1），. 猜测，下面用数学归纳法证明： 当时，由知结论成立； 假设结论对成立，即，则，故结论对成立. 综上，有成立. （2）设数列的前项和为，则. 所以. 故. 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