精品解析：江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高二(强化班)上学期期末数学试题

命学科网组卷网 江苏省天一中学2024一—2025学年第一学期期末考试 高二数学（强化班） 命题人王凯审阅人李维维 一、单选题 1.若直线l的方向向量与平面Q的法向量的夹角等于130°，则直线I与平面Qα的所成的角等于() 40° A. B.50o c1300 D.以上均错 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角与线面角的关系可求答案 【详解】因为直线的方向向量与平面0的法向量的夹角等于130°， 所以直线1与平面α的所成的角等于130°-90°=40°」 故选：A 2.设等差数列{a}的前n项和为S。,若，=7，S,=16,则4+4+a等于() A.9 B.11 C.13 D.25 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解。 【详解】设公差为d, S=4+4+a,=7.S6=a+a,+4+a4+a,+a,=l6 S。-=a4+a,+a,=9 第1页/共28页 命学科网命组卷网 :a+a+a。-(a+a,+a,)=9d=2 :4+a+a=(a,+a,+a,)+9d=9+2=11 故选：B. 3.若直线y=3x为函数f()=(a>0且a≠)的图象的一条切线，则a=() A.e B e3 C 3e De2 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为(，产）， 利用导数的几何意义可得出关于x、a的方程组，即可解出a的值 【详解】设切点为(，a）,因为f()=(a>0且a≠)，则f'(x)=a血a, at Ina=3e 由导数的几何意义可得 a-0=3e' 七。-0 所以ana= x,即ana=a,故a=e' 所以na=elna=3e 解得a=e3 故选：B. 4在四楼维P-ABCD中，丽=(3，-6,3列，D=(3,0,6),P=(5,13),则此四校锥的高为( A.V26 B.V29 C.6 D.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点P到平面ABCD的距离，即为所求 第2页/共28页 6学科网命组卷网 n.AB=-3x-6y+3z=0 【详解】设平面 CD的法向量n=(x,y,z则n.AD=3x+62=0 ABC 令z=2,得n=（4,3,2) n.AP h= (4)x(-5)+3x1+2x3-N29 所以此四棱锥的高 V(-4)2+32+22 故选：B. x2.y2 5.已知斤、5是桥圆豆+存=1a>h>0)的两个焦点，过的直线与椭圆交于人B两点，若 4E:4B:BE=3:4:5 则该椭圆的离心率为() 5 V3-1 A.2 B.2-3 C.2 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理得出∠5=90，利用椭圆的定义求得4、4， 利用勾股定理可得出关 于a,C的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率。 【详解】如下图所示，设M=3,则MB=4.B=51 所以AE+AB=BE,得∠E4S=90, 第3页/共28页 6学科网6组卷网 自解圆定义可得++B=121=4a,4=号，M-=a. 所以M=2a-AE=a 所以△45为等腰直角三角形，得lA+A5=FF,2a2=4c2, c_v2 故该椭圆的离心率为e=。-2。 故选：D 6.设a}是公比为99≠-)的无穷等比数列，S为其前n项和，4>0，则q>0~是S存在最小值” 的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】假设9>0 ,借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解 【详解】若9>0，由4>0，则S-,=0=49>0, 故必有最小值9=4，故9>0是S存在最小值"的充分条件： 当 时，有Sn 4=19= 2 故9>0"不是S存在最小值”的必要条件， 即9>0是S存在最小值的充分而不必要条件 第4页/共28页 学科网命组卷网 故选：A. 7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去 一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法 种数为() A.72 B.96 C.114 D.124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求 解 【详解】将5名志愿者分为1,2,2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有2。 CSA+CCA=72种 将5名志愿者分为1,1,3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有A+CCA=42种 故不同的安排方法共有72+42=114种. 故答案为：C. &.己知函数f(x)=ar+3xnr(aeR),若f()在开区间(e ,e )内存在极大值点，则实数a的取值范围 是() n( 【答案】C 【解析】 Inx+1 -a= h(x)=Inx+1 【分析】求导，分离参数得 x2，构造函数 x2，利用导数求解函数的单调性，即可 结合分类讨论以及极值的定义求解。 第5页/共28页 6学科网命组卷网 【详解】由恩意可得f"(,=3ar+3r+3=3(ax2+lnx+） 令8（间=+hx+1=0,则a= x2,记(x)=血x+印 h()2hx-1 x2,则 x3 当Go0情回E03 上单调递增， 当x<。a(<0x→to,a)→0，且4日=0a(e-3, 者s2 2是，时在6}4=0 当).=h+<-a,时s因=am2+nr1<0,f0,f)在 当66，.-，度号8=am+n+1>0,了刻>0.en x∈(，©)上单调递增，此时f(~)只有极小值无极大值，不符合题意舍去， 当 >2m<a<- e2,则2 <<x<e.使A(x)=0,i=l2, e2,存在e 故当xe(0,x)Ax)三n+<a,此时g(x)=+nx+1<0,f(x<0,故了在 x2 x∈(0，)上单调递减， 第6页/共28页 6学科网命组卷网 专k),4()-”,地8=m4血1>0，闪0，我因在 x∈(x,x)上单调递增， s66心.4小-0，（间=am+nr1<0,r<0,fe x∈(：，©)上单调递减，此时是四)的极大值点，符合要求。 当a尖e as、e ,即2时，此时 -h+≤-口，时g间=m2+hx+1s0.f八国0，故 x2 f()单调递减，不符合题意，舍去， e 5a<- 综上可得2 2, 故选：C 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造 的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放 缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 二、多选题 9.下列关于抛物线 C:y=2x2+x+4 的图象的几何特征描述正确的是() 7131 A.] 点坐标是4'8 B.对称轴方程为X= 4 第7页/共28页 6学科网命组卷网 c在直为（行） X D.准线方程为'=8 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线C的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即 可 【详解】由题意可得抛物线C:y=2x+ 31 8的图象可由y=2x2的图象向左平移4个单位，再向上 31 平移8个单位得到， 因为抛物线y=2x2即x=2'的顶点坐标为(0,0）)，对称轴方程为x=0,焦点坐标为8， 0 准线方程 为 8 131 所以抛物线C:y=2x2+x+4的顶点坐标为4’8， 对防程为一不标( 15 y= 准线方程为4， 所以AC说法正确，BD说法错误； 故选：AC 10.己知f(x)=(2x-3)的展开式的二项式系数的和为512，且 f(x)=,+a,(x-)+a,(x-+…+a.(x-1少°，下列选项正确的是() A.4+a2+…+an=1 B.I doHl al+...+a =3> 第8页/共28页 6学科网6组卷网 C.f(6)除以8所得的余数为1 D.4+2a+3a+…+nan=18 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数公式可得n=9，利用赋值法即可求解求解AB,根据 f(6)=9”=(1+8)=1+C8+C8++C8”即可求解C,求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知2”=512，故”=9， 故(2x-3”=4+a(x-1)+a,(x-1}++a,(x-1. 对于A,令=2，则=0+a+a++a,令=l,则1=6，故4+a++4=2,故A错误， 对于B(2x-3)°=[-1+2(x-1)]=a+a(x-1)+42(x-12+…+a,(x-1)°， 故4,4，…a为负值，4,4，…，4为正，且令x=0时，（-3°=4，-a+a+-4. 因此aHa++a=-4+4-4++4=-(a-a+a+-a)=3”,B正痛 对于C,(6)=9=(+8=1+C8'+C写8++C8”,放f(6)除以8所得的余数为1，C正确。 对于D,对(2x-3=4,+a(x-+4,(x-++a,(6x-l求导可得 18(2x-3)°=a+2a,(x-1)++9a,(x-l)°，令x=2可得4+24+3a,+…+na.=18,故D正确， 故选：BCD 1.如图，由函数y=e-e+1与y=血(x+e-的部分图象可得一条封闭曲线「，则() 第9页/共28页 6学科网命组卷网 A.「有对称轴 B.「上任意两点间的距离 ≤2v2 c直线x+y=(被『截得弦长的最大值为V2(e-2) D.的面积大于 e-4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用反函数概念可判断A；联立方程，求出交点即可判断B;找出过P与曲线相切且与AB平行 的省aC,由$>2w=2号e-2k.7可省D 【详解】对于选项A:由y=e-e+l→e=y+e-L.∴x=ln(y+e-1) ∴y=e-e+l的反函数为y=l血(x+e-),两者关于y=x对称，故A正确 对于选项B: y=c-e+1e-x=e-1, y=x h(x)=c*-x-e+l,h'(x)=c*-1 当x>0时，h()>0,当x<0时，h()<0, 可知h()在（0,0)上单词递减，(0，+∞)上单调递增， 第10页/供28页 6学科网命组卷网 注意到h(-2)>0,A(-)=。+2-c<0,hA0=0 h在(2内有个零点(-2，-，另一个零点为4A1,B(）, :4B=V2(1-x)>22,故B错误 对于选项C:x+y=t与曲线「对称轴AB垂直， 如图，只需考察曲线y=c-e+l上P到y=x距离大最大值即可， 找出过P与曲线相切且与AB平行的点B即可， 令f()=e-c+1,令f'(x)=e=1→x=0」 d=e-2 此时(0,2-e),到y=x的距离“√2， “直线x+y=1按『模得弦长最大值为V2(e-2),故C正确 Po 对于选顶D,>286m=2e-2,-(e-20-)》>2e-2 ,故D正确 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形面积，通常将三角形分成两个底位于坐标轴上的小三角形，如本 题中Ss-Sm+8.6=20RH比-刻 第11页/共28页 6学科网 命组卷网 三、填空题 12已如医数()=亿x+3-四为共导西数，则f)的限开式中的帝数项为 (用数字作答) 【答案】-135 【解析】 【分1数了国天5粉国=82x++(2x++宁).求2x+列含的要联 的常数项， 通过求和即可求得了()的展开式中的常数项 【年都1e=2x+w-82+旷-(2x++) 因为(2x+3)的通项公式T,=C(2x)3=Cg23x 令r=2,=C232.32x2=54x 清4x+j-)西数明为8x54(8 因为(2x+3)的通项公式T,=C(2x)广-3=C2·3x“, 令r=4,乃=C244.34x44=81 令r=2,T=C242-32.x2=216r2 第12页/供28页 6学科网列组卷网 m2r+3r+)省西数医811+216d×2-297 ∫"()的展开式中的常数项为432+297=-135 故答案为：-135 13.已知函数8()=r-x+2,当x∈(0，e]时，8()的最小值为4，实数a的值为一 【答案】e 【解析】 【分析】根据腿意，求得8()= x，分a≤0和a>0,两种情况讨论，求得函数8(x)的单调性与 最小值，列出方程，即可求解 【详解】由函数3()=-r+2,可得3'()=a}--, xE0e'] ①当a≤0时，8'()<0恒成立，8()单调递减， 4 此时g(x)=ge)=ac2-lhe2+2=4,解得a=。,不满足a≤0： 1 ②当a>0时，令8'(x)=0解得=a, 1 .0< <e2 (i)当a 时， 所.子g<0g内兰.g>g内em. 当0<x<1 此时8(=g白=ax-n+2=4 1 0< <e2 a ,解得a=e,满足a 第13页/供28页 命学科网命组卷网 (ii)当a e时，在xe(0,e]上g(x)≤0，g(x)单调递减， 4 此时g(x)m=ge2)=a心2-lhe2+2=4,解得a=。,不满足a≥e, 综上可得：综上所述a=e, 故答案为：e. 14.在平面直角坐标系x0少中，点4为双曲线x2、' -2=1的右顶点，点B,C在该双曲线上，且使得 AABC △ABC 是以为直角顶点的等腰直角三角形.则所有这样的 的个数为 【答案】3 【解析】 【分】设出直线仍，1C方程，与双重袋方程联立解出么，C点业标，博利用△BC B.C 等腰直角三角 形可得MB=AC 解出满足题意的k的值的个数即可： 【详解】由题意可知A(,0,直线AB,AC的斜率均存在且不为0， 又直线.4C互相塞直，所以设人=(x-).则ey=(x-) 第14页/供28页 命学科网命组卷网 y=k(x-1) 联立 x-上=1消去得 2 y(2-k2)x2+2k2x-k2-2=0' k2+2 k2+2 图践B双线之脑个安点4B.所20.2：骑 1+2k2 同理可得c=-2派2， 所48=c-+60,-w=i+-=i+2 ,1 4k2 同理可得4C=1+-2 因为△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形.所以MB=AC,即 1+K24 ，.14k2 k2-2-Vk21-2k2: 1 繁理得k2-222 1 k 当2-22k2-1时k-2k2-2k+1=(k+0(k2-3k+1）=0, 965 解得名-1安冬-3-5 2 1 k 当2-22k2-1时，K+2k2-2k-1=(k-0(k2+3k+1）=0, w%1355 2 第15页供28页 命学科网命组卷网 因为6=人=5=-1 所以由斤，人得到的两个三角形是相同的，类似的由，一和一，得到的三角形也是相同的， 综上满足题意的△ABC共有3个， 故答案为：3 四、解答题 15.已知在数列{a,}中，4=4a,且当n之2时，0，=3a1+2 (1)求{a,}的通项公式： ②)设名=81 a0,数列，}的前n顶和为S,证贸，及<4 【答案】1)a=3”-1 (2) 由(1)知0。=3”-1 -60可 3” 则数列杨，}的前n项和S=6+6,+6,++b. 凯)产品+品司 4 又nN,则26-可>0 第16页/供28页 6学科网6组卷网 1 ，4 2(3-1）4. 【解析】 an+1=3 【分析】(1)利用a,=3an+2(n≥2)，变形得到an1+1,证明出数列{an+1}是等比数列，即可 求出数列a,}的通项公式： (②)利用裂项相腊求出数列也，}的前n项和为S，再利用不等式的性质即可得到S,<4, 【小问1详解】 当n=2时，4=3a+2」 又4，=4a,可得4=2. 当n≥2时，a=30+2,则0，+1=3a+3=3(a+) an+1=3 又a+1=3，所以an1+1, 故数列a+1是以3为首项，3为公比的等比数列， 则0，+1=3×3=3”故0，=3-1， 【小问2详解】 略 16如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=lPC=5,PAL平面ABC. 第17页/供28页 命学科网命组卷网 (1)求证：BC⊥平面PAB: (2)求平面APC与平面PCB的夹角. 【答案】()证明：：PAL平面MBC,ACC平面MBC,BCC平面ABC,PML4C,PALBC, .PA=1,PC=3:.AC=PC2-PA2=2 AB=BC=1AC2-4B2+BC24B L BC ,即证 AB0PA=-APA,MBC平面PMB.BCL平面PMB π (2)3 【解析】 PA⊥AC,PA⊥BC AB⊥BC 【分析】(1)先由线面垂直的性质得到 ,再由勾股定理证明 最后利用 线面垂直的判定定理，即可证明； (2)结合(1)的结论，建立空间直角坐标系，分别求出平面APC与平面PCB的法向量，再利用空间向 量夹角余弦的坐标公式，即可求解。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以B为坐标原点，分别以BC,BA所在直线为七，y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 第18页/共28页 6学科网组卷网 x B A0,1,0)B(0,0,0)C1,0,0)P(0,1,1) 则 故4P=0,0,),AC=0,-1,0),BP=(0,1).BC=(0,0) 设平面MPC的一个法向量为n=(x少，2)， n.AP=z=0 则iAC=x-y=0取x=ln=,L0 设平面BPC的一个法向量为m=(化，，乙)， m.BP==0 则m-BC=x=0,取y=l,m=(0,1-) 设平面APC与平面PCB的夹角为g,所以osB=eosm,m= m11 ma√2√22， π 所以3，故平面APC与平面PCB的夹角为3 17.已知f()=a(x-),g()=(@-l0e,a∈R (1)证明：存在唯一实数“，使得直线'=f( 和曲线少8() 相切； (2)若不等式f闭>80有且只有两个整数解，求“的范围。 【答案】(1) 设切点为()，则%=a(3-l)=(。-小e,即a(x,e心-+l刂=e,0 第19页/共28页 命学科网命组卷网 因为y=f()和y=8(x)相切， 所以，a=g'()=(a+a,-)e,即a(xe+e-=e,② 所以e-名+1=e5+e-1,即e+-2=0 今()=c+x-2,()=e+I>0,所以h()在R上单调递， 又因为ho)=<0,h()=e-1>0 所以，存在唯一实数。，使得e+-2=0,且∈(0,1)， 所以，只存在唯一实数a,使O②成立，即存在唯一实数Q使得y=f(x)和y=8()相切. (2) 2e2-1' 【解析】 【分析】()求出函数的导数，设切点为，%），得到+-2=0.设M)=e+x-2,根据函 数的单调性求出0的值，判断结论即可： (2)由题知 .m=- e,进而结合(1)得函数的单调性求出m(x)的最小值， 通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由f小>g钊得x->(ac-e,丽-1 ◆x号，则() er 第20页/供28页 命学科网命组卷网 由(1)可知， m(大0在(0，)上成立.m'()>0在(，切)上成立， 所以，m(在（←0，)上单调递减，在(，+o）单调递增，且∈(0,1， 所以，当x≤0时，m(x)≥m(0)=1,当x≥1时，m(≥m()=1 当a≤0时，因为要求整数解，所以m(在x∈Z时，m()21,所以am()<1有无穷多整数解，合 去： m(2)≥1 当 ,所以两个整数解为0,1，即 0<a<1 m(,又1'm0=m0)= aa m(-) 、1，所 a 当a≥1时 m(x)< ，为后.mt2内大十发5T,叫小水 a无整数解，舍去. e2 综上，a2e月 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于将问题转化为 进而构造函数 m(x)=x-x e,并结合(1)得其单调性，进而根据x≤0，m(x≥m(0)=1,x≥1时， m(,)≥m(0=l对a分a≤0,0<a<l,a21三种情况讨论求解 x2 y2 18己知双曲线E:a6存= 的渐近线为y=±2x,焦距为2√5，直线I与E的右支及渐近线的交点自 第21页/供28页 6学科网命组卷网 上至下依次为C、A、B、D (1)求E的方程： (2)证明：AC=BDl (3)求S心的取值范围 【答案】（山 1:x=ty+s (2)证明：设直线 因为直线1与E约支交灯两点，所以5≥0且'（号》】 x=ty+s 联立 e-号-1sr-小r+g+-4eo 所以+a=,8 4s2-4 4-ya421,+=1y4+ya)+2s=42 且△=（-8s-4(4-(42-4=16s2+64-16>0,即s2>1-4, 所以-了<4-1<00. 应2→2 x=ty+s 2s x=ty+s 联立v=2x今物+2万，今%、0 1+2t ,+=-2 →e+=1-2+1十2=42-=x+x0,即x-x4=x8-n, 第22页/供28页 6学科网 命组卷网 2+ 2s 8ts ye+yn=1-2i1+21 4二-y4+n,即-y=yB-yn, 所以AC=(e-x4-y4)=(x。-xn,y。-yn)=DB 所以MC=|BDl (3) 【解析】 a,b,c 【分析】(1)根据双曲线 关系和渐近线、焦距相关概念进行列式计算即可求解. ,E CA BD AC=DB (2)分别联立直线与及其渐近线方程求出、 的坐标或坐标的关系，进而得出 即AC=|BDl (3)根据 2 依次求出AC和d,再依据题意中体现的变量的范围去研究计算面积取值 范围即可求解。 【小问1详解】 c2=a2+b2 a=1 由题意可得 2=2 →{b=2, 2c=2W5 c=5 2、2 所以E的方程为 =1 4 【小问2详解】 第23页/共28页 迎87并/迎忆患 ot小 S①甲 I-+S n ‘n-8=h-Im‘1-b+趴=n9 (-+- -I /-I 一h+趴-s小s s -h+z-sz)2+八T 名=pbp*是=y z1h-1 (-1 乙 -h+忆-sz):2+ 9-9+:9N-s4+少gr0-br1w (+ (亿+L.Z- =(-q+.r-y=D -I 9I-29+9(+ [t((+"]e+N=(-)+,(x-x=ar ‘+八-+少=p<紫弱话0()甲 s 【拇热￡回Ψ】 别 网棠我更理去更 6学科网命组卷网 所以 s+u1+ (11 【点睛】关键点睛：从直线1与E的右支交于两点条件中读出隐晦的已知条件5>0且（一22）是求解 S,4c的取值范围的关健 19.我们称mn∈N)元有序实数组(，，，)为n维向量，+x+…+x为该向量的范数.己知 n维向量a=(,,x),其中∈{-l,0,,i=l,2,,n,记范数为奇数的n维向量a的个数为An, 这4个向量的范数之和为B, 1)求4和B的值： (2)求4o5的值： (3)当”为偶数时，求B(用”表示). 【答案】(1)4=14B,=30 (24=3i+1 2 (3)B。=n-(3- 【解析】 【分析】(4)根据定义可知，当n=3,范数为奇数时，ā=(：，七，七)中0的个数为0或2，根据乘法原 理和加法原理求解即可： (2)当”为奇数时，要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，可按0的个数为， ,0,2,4,,n-1 分情况讨 第25页/供28页 6学科网命组卷网 论，再根据(2+)少和(2-刂的展开式得到4的通项公式即可求解： (3)同(2)，按0的个数分情况讨论，利用新定义求出”的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即 可 【小问1详解】 由题意可知，当n=3 ,范数为奇数时， 龙=0 的个数为偶数， 即i=(,中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得4=C×2°+C×2=14,B,=Cg×2×3+Cg×2×1=30 【小问2详解】 由恩意可知，当n为奇数时，在=(：，七，X)中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置 为1或-1， 0,2,4,,n-1 所以可按0的个数为 分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得A,=C×2”+C%×22++C×2 因为(2+l”=Cgx2+C×21+C%×22+…+Cg×2°0. (2-l=C8x2°-C×21+C2x2"2--C%×2°@. ①+② 所以2得C×2+C×2++Cx213+ 2, 32025+1 所以As 2 【小问3详解】 当”为偶数时，在向量=(，…x,)中，要使范数为奇数，则0的个数一定为奇数，其余位置为1或 第26页/共28页 6学科网命组卷网 ,3,5,,n-1 所以可按0的个数为 分情况讨论， 所以4，=C×2+C×23+…+C×2 Bn=(n-1)×Cn×2"+(n-3)×C×2"-3+.+1×CW×2 n! (n-1) 解法-：因为a-k)C:=a-)ka-mka-- =nC 所以B,=(n-xC×2+(n-3)×C×23++1xCgx2 =n(Cn1×2+C1x2-3+.+C×2） =2n(Cn1×20-2+C21×2"4+…+C%） 2m2-0 解法二：因为(2+1少=C×2+Cg×2+C×22+…+Cg×2°®. (2-l=Cgx2”-C×21+C2x22-+C%×2°④. ③+0Cx2+C×22++Cx23”+0 2, 又因为C时=k.。 n! (n-1)4 =ka-km(k-n-万 所以B,=(n-xC×2+(n-3)xC×23+…+1xC×2 =n(C2+C22"-3++Cg.2）-(Ch2+3-C2m3++(n-1）C.2 =nAn-n(Cg2-+C212-3++Cm.2 -g- 第27页/共28页 6学科网6组卷网 【点睛】难点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式 定理的灵活应用，化简变形要求较高，属于难题 第28页/共28页 江苏省天一中学2024—2025学年第一学期期末考试 高二数学（强化班） 命题人 王凯 审阅人 李维维 一、单选题 1. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（ ） A. B. C. D. 以上均错 2. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 3. 若直线为函数且的图象的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 4. 在四棱锥中，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 5. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 8. 已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（ ） A. 顶点坐标是 B. 对称轴方程为 C. 焦点坐标为 D. 准线方程为 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 上任意两点间的距离 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 三、填空题 12. 已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为_______．（用数字作答） 13. 已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 14. 在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为_______． 四、解答题 15. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 16. 如图，四面体中，平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角． 17. 已知，，． （1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切； （2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围． 18. 已知双曲线：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、. （1）求的方程； （2）证明：； （3）求的取值范围. 19. 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，求（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $