精品解析：湖南省益阳市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测 高三数学（试题卷） 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知公比为的等比数列的前和为，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现函数的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ） A B. C. D. 5. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，若成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 该组数据中位数为4，众数是4 B. 该组数据的平均数为3，分位数是5 C. 该组数据的平均数为3，方差小于3 D. 该组数据的极差为5，方差大于3 11. 数列满足：，，，记数列前项中所有奇数项的和为，则（ ） A. B. C 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则复数______. 13. 已知，则函数的最小值为______. 14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆：过点，且椭圆的短轴长等于焦距. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程. 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求边； （2）若，求面积的最大值. 17. 如图，四棱锥中，平面，，. （1）作点在平面内的射影，写出作法及理由； （2）若，，且，求二面角的正弦值. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19 已知函数. （1）求在原点处的切线方程； （2）为正整数，对任意，求证：； （3）求证：（为自然对数底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测 高三数学（试题卷） 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得集合，对集合B中的元素逐一检验，进而可得交集. 【详解】因为， 令，解得，显然， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 所以. 故选：C. 2. 已知公比为的等比数列的前和为，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项求得，然后求出公比，得到首项，由等比数列前项和公式得到，分别代入的值，得到结果. 【详解】，∴，∴， ∴， ， 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】由题设， 而. 故选：B 4. 已知函数的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现函数的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线方程，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线分别为，， 其焦点在直线，夹角（锐角）的角平分线上， 设角平分线方程为且，令分别是直线的倾斜角，为锐角， 则，为双曲线的一条渐近线的倾斜角，且， 由，得， 而，解得，令双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率. 故选：A 5. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的通项分三种情况逐个求解，然后将系数加起来即可. 【详解】由题知，的展开式的通项为， 又的展开式的通项为，， 所以的展开式的通项为， 令，则， 所以含项的系数为， 令，则， 所以含的项的系数为， 令，则， 所以含的项的系数为， 综上，的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 6. 已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】 如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，则， ，则，同理， 所以， 过点作，垂足为，则，， 又，即，联立解得，则， 所以该圆台的体积为. 故选：B. 7. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 8. 已知定义域为函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】画出及的图象，结合图象即可求解； 【详解】由任意都有，可知当时，的周期为1， 画出及的图像， 则，对应的直线在中间，包含 ， 由图象可知：与，恒有4个交点， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面判断的判定定理即可判断A；根据线面垂直的判定定理即可B；根据线面平行的性质即可C；根据面面垂直的性质即可判断D. 【详解】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：BCD 10. 已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，若成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 该组数据的中位数为4，众数是4 B. 该组数据平均数为3，分位数是5 C. 该组数据的平均数为3，方差小于3 D. 该组数据极差为5，方差大于3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据选项条件和成等差数列，判断的数值，进而可得. 【详解】选项A：因数据的众数是4，故至少有两个4，又成等差数列， 故，满足中位数为4，数据中没有点数6，故A正确； 选项B： 因成等差数列，不妨设， 因数据的平均数为3，故，得，故， 因，故，故将5个数从小到大排列为， ，故分位数是第4个数和第5个数的平均数，故， 故，故数据中有点数6，故B正确； 选项C：当数据的平均数为3，由B可知，， 数据的方差为， 由题意可知可能取值为， 当时，方差为；当时，方差为；当时，方差为； 故当方差小于3时，数据中没有点数6，故C正确； 选项D：因数据的极差为5，数据最小值为，故数据中有点数6，D错误， 故选：AC 11. 数列满足：，，，记数列前项中所有奇数项的和为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知的不等式，写出的不等式，在相加得到的不等式，由已知得到的等式，从而知道的等式，由条件得出一个特殊数列的通项公式，排除AC选项，令代入的等式即可得到B选项；当为奇数时整理的等式得到，并令，求得通项公式，再由求得，从而知道数列的奇数项的通项公式，然后利用等比数列的前项和公式求得，最后利用指数函数的性质得到结论. 详解】∵，∴，， ∴， 又∵，∴， 且，，， ， 则，令， 则，∵，∴，即，为奇数. 当数列时，各条件成立，A选项错误； 此时取，则，此时，C选项错误； 取，则，B选项正确； ∴， ∴，∵，∴， ∴，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛，数列中得到的关系式，只能将数列分为奇数项和偶数项分别讨论数列，此时数列可能是等比或等差数列，在利用对应公式计算出结果即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则复数______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算及相等复数的概念即可求解； 【详解】设， 则， 所以且， 两式联立求解可得：， 所以， 故答案为： 13. 已知，则函数的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，利用二次函数的性质求出 的最小值，此时当时，最小. 【详解】令， 则 因为，所以当时， 函数取得最小值 ，此时， 当时，，所以， 故答案为： 14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解. 【详解】由得， 由题意知在区间上单调递增. ①时，在区间上单调递增，符合题意； ②时，在区间上单调递增， 若在区间上单调递增，则，即对恒成立， 所以成立，故，即； ③时，对恒成立，此时， 函数由，复合而成，在上单调递增且， 而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若在上单调递增，则，即. 综合①②③可知a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆：过点，且椭圆的短轴长等于焦距. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在双曲线上得到，然后由求解； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求得弦长以及点到直线：的距离d，由求解. 【小问1详解】 点代入方程：， 得①，又②，③ 由①②③可解得：，， 所以椭圆：； 【小问2详解】 设直线的方程：，点、. 直线方程代入椭圆：得， 由，得， 则，， 则弦长， 点到直线：的距离， ， 所以面积 当且仅当即时等号成立， 故面积取得最大值时，直线的方程为. 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求边； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变化及正弦定理可得，进而可得； （2）由可得，进而得，由正弦定理得，即，由面积公式得，进而可得. 【小问1详解】 法一：由可得， 故，由正弦定理可得：，故 法二：由可得 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. 【小问2详解】 法一：因，故， 所以 由正弦定理可得：，又因为，所以 所以面积为： 当即时取等. 所以面积的最大值为. 法二： 又. 则，当时取等. 法三：因，易知都为锐角，如图，作边上的高， 则有，因，故，即 当且仅当，即时取等. 法四：因，则，， 余弦定理可得，即 由余弦定理可得：， 则有，化简可得，即 所以 当时，， 所以面积的最大值为. 法五：同法四可得 如图过点作底边的高， 不妨设，，，则有，， 则， 整理可得， 所以，即，当且仅当时取等，则有， 所以面积的最大值为. 17. 如图，四棱锥中，平面，，. （1）作点在平面内的射影，写出作法及理由； （2）若，，且，求二面角的正弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何条件得 ，再根据 平面 ，得 ，由线面垂直判定定理得 平面 ，最后根据面面垂直判定定理得平面平面，再由面面垂直的性质定理可证 平面 ； （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角大小 【小问1详解】 设，连接，过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影. 下面证明： ，， 点，在线段的中垂线上，即有， 平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 又平面平面，，平面， 平面，故点为点在平面内的射影； 【小问2详解】 由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系，， 又，， 且，易知，，， 在中，， 在中，，， 则，，，， 设平面的法向量为， ， 则，， 不妨取，则， 平面的法向量， 二面角的平面角为，， 又，， 二面角的正弦值为 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）不可信. 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ， ， . 【小问2详解】 （i）由题：若，则， 又， 所以. 由切比雪夫不等式可知， 所以 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则，所以， 由切比雪夫不等式知， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 19. 已知函数. （1）求在原点处的切线方程； （2）为正整数，对任意，求证：； （3）求证：（为自然对数的底数）. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切点和斜率，即可得切线方程； （2）构建，利用导数判断的单调性，进而可得； （3）根据（2）中不等式累加可得，令，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，则， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在原点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 将看成变量，看成常数， 设，， 则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增 则， 又因为，所以. 【小问3详解】 由（2）可知：， 可得， 对累加可得 ， 即， 令，则. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 1.作差或变形； 2.构造新的函数； 3.利用导数研究的单调性或最值； 4.根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$