重点专题1-2 向量的数量积及其计算综合【14类题型汇总】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题1-2 向量数量积及其计算综合 总览 题型·解读 模块一 数量积重点题型梳理 1 【题型1】向量数量积的相关概念 2 【题型2】向量数量积计算 4 【题型3】向量的垂直问题 5 【题型4】向量的模长 6 【题型5】求向量的夹角 7 【题型6】求向量的投影向量 7 【题型7】利用向量求线段长，夹角 9 模块二 向量数量积中档题 10 【题型8】极化恒等式求数量积 10 【题型9】拆分向量求数量积 14 【题型10】投影法求数量积 16 【题型11】与几何图形结合的向量问题 19 【题型12】隐圆中的数量积问题 19 【题型13】三角形四心的识别及欧拉线问题 21 【题型14】三角形四心的相关计算 25 【课后训练】 26 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 数量积重点题型梳理 基础知识 知识点01 向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点02 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 特别提醒: (1)“· ”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. 知识点03 平面向量数量积的运算律 （1）；（2）(λ为实数)；（3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 易错注释：，即三个向量相乘时不能交换顺序 【题型1】向量数量积的相关概念 典型例题 【例题1】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【例题2】(多选)设都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若的夹角为钝角，则 B．若，则 C．若，则的夹角为锐角 D．若，则与同向 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列说法正确的是（    ）． A．单位向量均相等 B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【巩固练习2】设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【巩固练习3】（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意向量，都有 B．且是的充要条件 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【题型2】向量数量积计算 典型例题 【例题1】已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【例题3】如图，在中，，，，的值为________；是边上一点，且，则的值为________ A．2 B．8 C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【巩固练习2】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【巩固练习3】（2021新高考2卷）已知向量_______． 【题型3】向量的垂直问题 基础知识 若向量是非零向量，则 典型例题 【例题1】已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，且，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【例题3】已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知.若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习3】已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【题型4】向量的模长 典型例题 【例题1】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【例题2】（22-23高一下·贵州黔西·阶段练习）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例题3】已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，的夹角为，且，，则 . 【巩固练习2】已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【巩固练习3】已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【题型5】求向量的夹角 典型例题 【例题1】若向量，满足，且，，则向量与夹角为 . 【例题2】若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知.若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型6】求向量的投影向量 基础知识 投影向量 (1)向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 (2)如图（1）,在平面内任取一点O作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. 图(1) 图(2) （3）如图（2）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. (4)向量在上的投影向量模长： 典型例题 【例题1】已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【巩固练习3】已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习4】若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【题型7】利用向量求线段长，夹角 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【例题2】（高一下·江苏南京·期中）在平行四边形中，已知，分别是，上的点，且满足，，若，则的值为 ；若，，，则的长为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知中，，，若点在边上，且，，则的长为 . 【巩固练习2】（24-25高一上·甘肃定西）如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 . 【巩固练习3】（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为 . 【巩固练习4】（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 模块二 向量数量积中档题 【题型8】极化恒等式求数量积 二级结论 极化恒等式求数量积 极化恒等式可以将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为，所以 【即学即用1】正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 思路详解：设CD中点为O点，由极化恒等式可得：，故选：B. 【即学即用2】（北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 思路详解：记AB的中点为M，连接CM，则，由极化恒等式可得： ， ，即 典型例题 【例题1】如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（    ） A．13 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果． 【详解】连结 ，则， ，， 所以 . 【例题2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【例题3】【例题4】如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________． 【例题5】（23-24高一下·广东佛山·期末）已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 . 【例题6】如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【巩固练习1】已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 【巩固练习2】已知平行四边形中，，点满足，则 . 【巩固练习3】如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【巩固练习5】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为 ． 【巩固练习7】四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【题型9】拆分向量求数量积 解题技巧 拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·江苏徐州·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（    ） A． B． C．4 D．8 【例题4】（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例题5】如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________． 【巩固练习2】在中，，，，则边上中线的长为_____. 【巩固练习3】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高一下·广东深圳·期末）已知圆为的外接圆，，则的最大值为 . 【巩固练习5】骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 . 【巩固练习6】（23-24高一下·江苏宿迁·期末）记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 . 【题型10】投影法求数量积 解题技巧 投影法求数量积 如图， 要点注释：对于，在中，故，考虑到可能为钝角，故写成 【即学即用】如图，已知为矩形，,，则=______；=_______；若M是BC中点则=______；若F是DC上一动点，=______ 【答案】；；； 归纳：在直角三角形中，斜边所对的向量和任一直角边所对的向量的数量积为直角边的平方 典型例题 【例题1】已知边长为2的正方形中，点为的中点，是上一动点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【例题3】如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【例题4】已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【例题5】（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题6】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则 ．    巩固练习 题型 【巩固练习1】已知两点在圆上运动，且，则的值（    ） A． B．1 C． D．与点的具体位置有关 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则 . 【巩固练习3】已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是 　　 【巩固练习4】分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（    ） A． B．2 C． D． 【巩固练习5】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    【巩固练习6】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习7】已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型11】与几何图形结合的向量问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 【例题2】（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【巩固练习1】已知单位向量，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知向量，的夹角为，，且对于任意的t∈R，都，则_______． 【题型12】隐圆中的数量积问题 解题技巧 向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 典型例题 【例题1】平面内非零向量a，b，c，有，，ab＝0且，则的最大值为______． 【例题2】（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【例题3】（23-24高一下·江苏常州·期中）在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题4】(广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）期末联考)已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在中，，，则的最大值为 ． 【巩固练习2】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【巩固练习3】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【巩固练习4】设向量a，b，c满足，，，则|c|的最大值等于______. 【巩固练习5】已知平面内非零向量，满足，，，若，则的取值范围是_______. 【巩固练习6】已知都是平面中的单位向量，且，则的最小值是_______. 【题型13】三角形四心的识别及欧拉线问题 基础知识 三角形四心的的向量性质 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 (5)重心坐标为:. 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 典型例题 【例题1】已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例题2】点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【例题3】已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A.若，则O是的外心 B.若，则I是的内心 C.若，则P是的垂心 D.若，则N是的重心 【例题4】点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【例题5】（多选）（23-24高一下·吉林·期末）欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【巩固练习2】（23-24高一下·广东湛江·期末）（多选）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若O为的垂心，，则 D．若，则点O的轨迹经过的重心 【巩固练习3】已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【巩固练习4】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【巩固练习5】（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期末）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型14】三角形四心的相关计算 典型例题 【例题1】中，，，为的重心，为的外心，则 ． 【例题2】（1）已知△ABC的外心为O,且AB=5，，则______. （2）已知△ABC的重心为O,且AB=5，，则______. （3）已知△ABC的重心为O,且AB=5，，，D为BC中点，则____. 【例题3】（23-24高一下·广东·期末）已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东佛山·期中）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 【巩固练习4】在中，，，，且，若为的内心，则_________． 【巩固练习5】 设H为的垂心，且，则_______. 【课后训练】 1. 已知向量与的夹角为，，，则 ， 在矩形中，，与相交于点，过点作，则=_______. 如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1. 已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 1. 已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ． 1. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2. （23-24高一下·福建泉州·期中）在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3. （23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 4. 若为所在平面内一点，且 则点是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 5. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 6. 已知平面向量满足，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7. 在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 8. 已知单位向量，满足，则与的夹角的余弦值为 . 9. （23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 10. （多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1 C．若为锐角三角形且外心为，且，则 D．若，则动点的轨迹经过的外心 11. 北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . （23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为 12. 如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 13. 平行四边形中，，点满足.则 . 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 15. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 16. 如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 17. 如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 . 18. 如图，在正方形中，，点分别为的中点，点在上，则 ． 19. 已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 20. （23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题1-2 向量数量积及其计算综合 总览 题型·解读 模块一 数量积重点题型梳理 1 【题型1】向量数量积的相关概念 3 【题型2】向量数量积计算 4 【题型3】向量的垂直问题 7 【题型4】向量的模长 9 【题型5】求向量的夹角 11 【题型6】求向量的投影向量 13 【题型7】利用向量求线段长，夹角 16 模块二 向量数量积中档题 21 【题型8】极化恒等式求数量积 21 【题型9】拆分向量求数量积 28 【题型10】投影法求数量积 34 【题型11】与几何图形结合的向量问题 41 【题型12】隐圆中的数量积问题 44 【题型13】三角形四心的识别及欧拉线问题 51 【题型14】三角形四心的相关计算 60 【课后训练】 65 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 数量积重点题型梳理 基础知识 知识点01 向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点02 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 特别提醒: (1)“· ”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. 知识点03 平面向量数量积的运算律 （1）；（2）(λ为实数)；（3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 易错注释：，即三个向量相乘时不能交换顺序 【题型1】向量数量积的相关概念 典型例题 【例题1】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 【例题2】(多选)设都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若的夹角为钝角，则 B．若，则 C．若，则的夹角为锐角 D．若，则与同向 【答案】AB 【详解】对的夹角为钝角，则， 所以，正确； 对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确； 对，当同向共线时，有，所以错误； 对，所以与反向，错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列说法正确的是（    ）． A．单位向量均相等 B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同．故A错误； 对于B：向量，满足，则或或夹角为，故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行，故C正确； 对于D，若向量，满足，，的方向可以是任意的，故D错误． 【巩固练习2】设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 【巩固练习3】（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意向量，都有 B．且是的充要条件 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AD 【详解】对于A，零向量与任意向量共线，A正确； 对于B，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量与夹角的范围是，D正确. 【题型2】向量数量积计算 典型例题 【例题1】已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的数量积公式计算得到答案. 【详解】因为，且向量与的夹角为，所以 【例题2】已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 【例题3】如图，在中，，，，的值为________；是边上一点，且，则的值为________ A．2 B．8 C． D． 【答案】， 【详解】(1)夹角为120°，代入公式计算即可： (2)因为， ，， 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【答案】 2 -2 【详解】由题意得，. 【巩固练习2】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 【巩固练习3】（2021新高考2卷）已知向量_______． 【答案】 【解析】方法一：因为，所以，即 所以，所以，所以 方法二：因为，所以，所以，即 所以，所以， 同理，所以，即，所以，所以， 同理，所以，即，所以，所以， 所以 【题型3】向量的垂直问题 基础知识 若向量是非零向量，则 典型例题 【例题1】已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由向量垂直则数量积为0，建立等式，求得的值，从而得到向量间的夹角. 【详解】由得， 所以，即，所以与的夹角为 【例题2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，且，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】依题意可得，根据向量垂直得到，再由数量积的运算律求得，即可得解. 【详解】因为，所以， 若，则，所以， 即，所以是等腰三角形． 【例题3】已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 则，可得， 所以. 【巩固练习2】已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 【巩固练习3】已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 【题型4】向量的模长 典型例题 【例题1】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论. 【详解】. 【例题2】（22-23高一下·贵州黔西·阶段练习）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状. 【详解】由，可得，即，， 等式两边平方，化简得，， 因此，是直角三角形. 【例题3】已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 【巩固练习2】已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由已知可得，利用可求值. 【详解】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 【巩固练习3】已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积、已知模求参数 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. 【题型5】求向量的夹角 典型例题 【例题1】若向量，满足，且，，则向量与夹角为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由已知求得，然后利用数量积求夹角公式得答案. 【详解】，， ，即. 设向量与的夹角为， 则，又 【例题2】若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件等式得到，由向量夹角的计算公式和等式化简得到，从而得到向量之间的夹角. 【详解】由条件可知，两边平方后得， 并且，. 因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为. 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果. 【详解】因为，且， 则，可得， 所以. 【巩固练习2】向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】由两边平方得，即， 所以，又，所以. 【巩固练习3】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 由，所以， 即，设与夹角为， 则， 又，所以，故选：C. 【题型6】求向量的投影向量 基础知识 投影向量 (1)向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 (2)如图（1）,在平面内任取一点O作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. 图(1) 图(2) （3）如图（2）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. (4)向量在上的投影向量模长： 典型例题 【例题1】已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用投影向量的公式求解即得. 【详解】，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影向量为. 【例题2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，然后求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得，所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直关系得，再由投影向量公式求解. 【详解】由于， 则，即， 可得， 则在方向上的投影向量为. 【巩固练习2】在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【答案】 【详解】 由，则， 又，则， 又，则，即， 故， 又向量在方向上的投影向量是 【巩固练习3】已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的定义，结合向量数量积的运算律即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 即， 则有， 又向量与的夹角为，， 所以. 【巩固练习4】若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助投影向量公式结合数量积公式与模长公式计算即可得. 【详解】 ， 即在上的投影向量为. 【题型7】利用向量求线段长，夹角 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】法一：拆分向量：， 法二：以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 【例题2】（高一下·江苏南京·期中）在平行四边形中，已知，分别是，上的点，且满足，，若，则的值为 ；若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】结合平面向量得线性运算得到，根据平面向量得加法运算有，对应系数相等即可得到，解方程组即可求出结果；根据，结合平面向量得数量积得定义以及数量积得运算律即可求出结果. 【详解】由题意可知，在平行四边形中，因为，， 所以，， 若 ，而，所以，解得， 所以；由上述知， 且，所以 ，所以的长为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知中，，，若点在边上，且，，则的长为 . 【答案】3 【分析】画出图形，结合图形，利用，得出，再利用平面向量的数量积求出即可. 【详解】如图所示， 在中，，，点在边上，且， ，，， 即，两边平方得： 化简得，解得：或（舍去） 所以的长为3 【巩固练习2】（24-25高一上·甘肃定西）如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 . 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算可得，结合数量积运算求模长即可. 【详解】由题意可知：，则， 因为点M是AB的中点，点N是DE的中点， 则， 两式相加可得， 则， 即，所以. 【巩固练习3】（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为 . 【答案】4 【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长， 【详解】在平行四边形中，是的中点，，与相交于O． 设， 则 由，可得 则，解之得，则 则 又，则，解之得，即的长为4. 【巩固练习4】（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意结合向量加法分析证明； （2）根据题意结合（1）可求，进而结合向量夹角公式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 且E，F分别为AD，BC的中点，则， 所以. （2）由题意可知：， 由（1）可知：，即， 则， ，即， 所以与的夹角的余弦值. 模块二 向量数量积中档题 【题型8】极化恒等式求数量积 二级结论 极化恒等式求数量积 极化恒等式可以将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为，所以 【即学即用1】正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 思路详解：设CD中点为O点，由极化恒等式可得：，故选：B. 【即学即用2】（北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 思路详解：记AB的中点为M，连接CM，则，由极化恒等式可得： ， ，即 典型例题 【例题1】如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（    ） A．13 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果． 【详解】连结 ，则， ，， 所以 . 【例题2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】题意在等边中，， 法一：取AC中点O，则 法二：设，则 ，当时，取到最小值 【例题3】【例题4】如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________． 【答案】 【解析】极化恒等式 ， 解得，故. 【例题5】（23-24高一下·广东佛山·期末）已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 3 【分析】根据分析点轨迹，取中点，将转化为，然后结合图形可解. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 记的中点分别为， 则， 因为是边长为2的正三角形，，所以， 易知，当三点共线时取得最大值，此时， 所以的最大值为， 当重合时取得最小值，此时的最小值为. 故答案为：3;. 【例题6】如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值. 【详解】由题菱形边长为2， 则，，所以， 又因为， 所以， 所以， 令， 则， 所以， 则当时，取最小值为. 【巩固练习1】已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得，结合已知求值即可. 【详解】由， 由题意且，则.    【巩固练习2】已知平行四边形中，，点满足，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算性质可求得结果. 【详解】 . 【巩固练习3】如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 【巩固练习4】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取BC中点D，则,则,再取AO中点M，，当时取到最小值，故 【巩固练习5】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 【巩固练习6】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】 法一：几何法 令，则, 如图：取AB中点D，则 法二：因为向量均为单位向量，且，所以不妨设， 设，因为，所以， 则设， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 【巩固练习7】四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可. 【详解】因为，，又点分别是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点分别是的中点，所以， 因为，所以， 即，设，，则，所以， 所以， 所以当即时，有最大值1，即有最大值为. 【题型9】拆分向量求数量积 解题技巧 拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合向量的基本定理，可得，,即可由平面向量的数量积运算，即可求解． 【详解】，则， 设，则，， 则， 故，解得，， 故, ，，， 则 ． 【例题2】（23-24高一下·江苏徐州·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：易知，， 故 法二：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， 因为，， 所以，即， 且, 所以, 所以. 故选：A. 【例题3】如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可 【详解】由题可知， 故，从而易知． ， ． 故 【例题4】（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示：    因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 【例题5】如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解. 【详解】在中，，，， 在△ABC中，作垂线解三角形可得， 又由正方形的边长为，可得， 则 ， 正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得， 所以，即的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________． 【答案】 【解析】因为，菱形的边长为2，所以．因为，，由，所以，解得． 【巩固练习2】在中，，，，则边上中线的长为_____. 【答案】 【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】因为， 所以 所以，所以，故答案为： 【巩固练习3】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，设与的夹角为，得到，根据，求出答案. 【详解】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 【巩固练习4】（23-24高一下·广东深圳·期末）已知圆为的外接圆，，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】先利用圆心角定理求出外接圆半径，取的中点，连接，则，变形得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【详解】由圆心角为120°可得， 因为，所以，取的中点，连接，则，故， 法一：拆分向量 ，当三点共线时，取得最大值，最大值为，故的最大值为. 法二：极化恒等式 ，再取OD中点E，则 【巩固练习5】骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值. 【详解】 ， 则当与同向，即时，取得最大值为 【巩固练习6】（23-24高一下·江苏宿迁·期末）记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 . 【答案】 【分析】由角平分线结合等面积法可得，再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分解为共线向量和垂直向量即可求解. 【详解】是角的平分线，在线段上，且，，，    ，设的高为，由等面积法得， ， 过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点， . 故答案为：.    【题型10】投影法求数量积 解题技巧 投影法求数量积 如图， 要点注释：对于，在中，故，考虑到可能为钝角，故写成 【即学即用】如图，已知为矩形，,，则=______；=_______；若M是BC中点则=______；若F是DC上一动点，=______ 【答案】；；； 归纳：在直角三角形中，斜边所对的向量和任一直角边所对的向量的数量积为直角边的平方 典型例题 【例题1】已知边长为2的正方形中，点为的中点，是上一动点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，且在方向上的投影数量为2，所以. 【例题2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 【例题3】如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【详解】如图，记的中点为，由题可知，，，， 所以.故选：C.    【例题4】已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【分析】利用向量数量积的几何意义，等于动向量在方向上的投影长度与的模之积，这里的投影长度是有正负的，规定投影长度与方向相同的为正数，与方向相反的为负数，然后找到端点位置去计算取值范围. 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是 【例题5】（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：投影法求数量积 如图，当OC平行AB时取到最大值，此时 法二：拆分向量 设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 【例题6】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则 ．    【答案】1 【分析】没有给出任何夹角，所以考虑用投影法或极化恒等式，注意到，且A,B,F,D四点构成子母相似，以及ED是中位线 【详解】过点作于，令，由，得，， 由分别为的中点，，,故 ，所以    巩固练习 题型 【巩固练习1】已知两点在圆上运动，且，则的值（    ） A． B．1 C． D．与点的具体位置有关 【答案】B 【分析】作，根据题意利用数量积的定义求解即可. 【详解】如图，    连接，过点作交于点，则是的中点， 故. 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则 . 【答案】3 【分析】利用向量数量积的运算法则与定义即可得解. 【详解】依题意，连接，如图， 因为是直径，所以， 所以，， 所以 . 【巩固练习3】已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是 　　 【答案】6 【详解】设C在AB上的投影为G，则，过点O作AB平行线交圆于H，当C点在H时，有最大值，. 【巩固练习4】分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】由题意，， 易知为的中位线，且，所以的边长为2， 结合投影可知，，故. 【巩固练习5】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据数量积的定义，由投影的几何意义并结合图形即可求得其范围. 【详解】，由投影的定义知， 结合图形得，当与半圆弧相切于P点的直线平行于BC时，最大为， 此时； 当P在C或B点重合时，最小为， 此时 即可得 故答案为： 【巩固练习6】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】法一简析：拆 分成投影的结构 ，导角可知△BEA∽△BAD，故, ,综上 法二：建系 取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，则， 设，， 则， 则 因为，则, 的，则， 且. 【巩固练习7】已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 法一：投影法 取PO中点E，，将P，A，O看成定点，则D为圆E上的定点 作DH⊥PA，则，当DH∥AO时取到最值 取PA中点G 最小值计算：此时，故 最大值计算：此时， 【题型11】与几何图形结合的向量问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】由，可得，再由，得，则得，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 【例题2】（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用向量的加法可得和向量的模为点到直线上任意点的两点间距离，从而可得最小值为；也可用平方法，利用数量积来计算和向量的模，再结合二次函数求最小值即可. 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 【巩固练习1】已知单位向量，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，得， 两边平方，得， 即， 所以，或， 因为，所以， 所以，时，表达式取得最小值． 【巩固练习2】已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一： 法二：画图 ，则有 【巩固练习3】已知向量，的夹角为，，且对于任意的t∈R，都，则_______． 【答案】 【解析】如图所示，，，，，C是直线m上的动点 ∴，显然 【题型12】隐圆中的数量积问题 解题技巧 向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 典型例题 【例题1】平面内非零向量a，b，c，有，，ab＝0且，则的最大值为______． 【答案】7 【解析】方法一几何法：构造圆，如下，则的最大值为7 【例题2】（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】法一：如图构造圆再通过投影法求数量积最值， 法二：由正弦定理得，故， 因为，所以，则 ，因为，则， 故. 【例题3】（23-24高一下·江苏常州·期中）在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【法一详解】：对角互补得圆，投影法求数量积 【法二详解】：设，在△ACD中，利用正弦定理求出AD，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解 则，在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 【例题4】(广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）期末联考)已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 令，，，点E关于O点对称得到，延迟OB至点D，使 则（阿氏圆最值问题） 通过构造相似统一系数，延长OE至点F使，由相似可得，故 【变式】若题目所求变为 则需要把2个点都放到圆内，取OB中点G，由相似可知，则 故 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在中，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理表示出，再利用向量数量积的定义将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质得到最值即可. 【详解】 法一：定边定角构造圆，简析 法二：在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因为， 所以， ， ，因为，所以， 故当时，即时，取得最大值，且最大值为. 【巩固练习2】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【答案】 【解析】由，得. 如图所示，分别作,作， 由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以, 作，则, 所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上. 由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值, 故||的最大值是,故答案为： 【巩固练习3】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【答案】 【解析】由，得. 如图所示，分别作,作， 由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以, 作，则, 所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上. 由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值, 故||的最大值是,故答案为： 【巩固练习4】设向量a，b，c满足，，，则|c|的最大值等于______. 【答案】2 【解析】由题设，，而，则， 令，则，又，如下图示： 所以，，则，故共圆， 而，即，故外接圆直径， 对于，当为直径时最大，即. 【巩固练习5】已知平面内非零向量，满足，，，若，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】即BC=1 由余弦定理可得，故的取值范围是 【巩固练习6】已知都是平面中的单位向量，且，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 ， 【题型13】三角形四心的识别及欧拉线问题 基础知识 三角形四心的的向量性质 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 (5)重心坐标为:. 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 典型例题 【例题1】已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】 甲：P为△ABC的重心； 乙：，即△ABC为Rt△； 丙：P为△ABC的外心； 丁：P为△ABC的垂心（投影转换） 则△ABC为等边三角形时，三心重合，故选B. 【例题2】点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】对题目的式子两边乘以，得到所在直线为高所在直线，即可． 【详解】由题意， 故所在的直线与三角形的高重合，故通过垂心. 【例题3】已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A.若，则O是的外心 B.若，则I是的内心 C.若，则P是的垂心 D.若，则N是的重心 【答案】B 【分析】 根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算逐项分析判断. 【详解】 对于选项A：若，即到的距离相等， 根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确； 对于选项B：若，则， 即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误； 对于选项C：若， 则，即， 同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确； 对于选项D：若，则（D为AB的中点）， 即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确 【例题4】点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【答案】A 【分析】 由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断. 【详解】由，得， 即， 则， 得 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心 【例题5】（多选）（23-24高一下·吉林·期末）欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算，结合三角形外心、垂心、重心的意义及欧拉定理，逐项计算判断即得. 【详解】对于A，连接并延长，交于点，则是的中点，， 于是，当时，不共线，即， A错误； 对于B，由欧拉线定理得，有，则，B正确； 对于C，是的垂心，即，则， 于是，即，C正确； 对于D，由欧拉线定理知，则，即，D正确. 故选：BCD 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】原式为 等式两边同时乘，得 ，∴ 【巩固练习2】（23-24高一下·广东湛江·期末）（多选）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若O为的垂心，，则 D．若，则点O的轨迹经过的重心 【答案】ACD 【分析】利用向量数量积定义及运算律，结合垂心、正弦定理逐项公板判断即可. 【详解】对于A，由，得， 则，为等腰三角形，A正确； 对于B，由，得，整理得，角是锐角， 不能确保为钝角三角形，B错误； 对于C，由O为的垂心，得， 则，C正确； 对于D，令边中点为，由正弦定理得，即， 则，因此点的轨迹是直线上， 而直线过的重心，所以点O的轨迹经过的重心，D正确. 故选：ACD 【巩固练习3】已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据各点所满足的表达式，利用平面向量运算律并结合几何关系的向量表示可分别求得点依次是的外心，重心，垂心. 【详解】因为，所以点O到三个顶点的距离相等， 所以O为的外心； 如下图所示： 记BC的中点为D，因为， 所以，所以P，A，D三点共线， 故点P在中线AD上， 同理点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心； 作，因为， 所以， 所以，所以点N在BE上， 同理点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心. 【巩固练习4】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心. 【详解】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心. 【巩固练习5】（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明为的外心、垂心、重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论． 【详解】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令，则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量，即在的平分线上,共线, 所以点的轨迹一定通过的内心,由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 【巩固练习6】（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期末）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据为的重心得出，然后由，即可判断A,根据向量的线性运算即可求解B． 根据为外心及向量数量积的计算公式可求出和，从而可求出的值，可判断C的正误；根据，及可判断D的正误. 【详解】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半， 根据重心的性质可知： ，D错误； ，C正确； 为的重心，，，A正确， 由于,所以,故B错误 【题型14】三角形四心的相关计算 典型例题 【例题1】中，，，为的重心，为的外心，则 ． 【答案】 【解析】 【例题2】（1）已知△ABC的外心为O,且AB=5，，则______. （2）已知△ABC的重心为O,且AB=5，，则______. （3）已知△ABC的重心为O,且AB=5，，，D为BC中点，则____. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）； （2） （3） 【例题3】（23-24高一下·广东·期末）已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得. 【详解】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确． B选项：，选项B正确； C选项：，选项C正确； D选项：，选项D错误 【巩固练习2】（23-24高一下·广东佛山·期中）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助外心性质与投影定义可得，结合向量的线性运算计算可得，即可得解. 【详解】因为是的外心，为的中点， 设的中点为，连接， 所以，，， . 【巩固练习3】已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 【答案】7 【分析】根据为的外心，可得出，而同理可求出，这样在两边分别乘以进行数量积的运算，可得出关于，的二元一次方程组，解出即可． 【详解】如图，    ，，，且， ，， ，，，整理得，， ． 【巩固练习4】在中，，，，且，若为的内心，则_________． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以，又，， 所以，所以， 由余弦定理可得，又， 所以，又，所以， 所以为以为斜边的直角三角形， 设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为， 由直角三角形的内切圆的性质可得，故， 因为，所以， 因为，所以，所以 所以. 故答案为：. 【巩固练习5】 设H为的垂心，且，则_______. 【答案】 【解析】 [方法1] ∵H为的垂心 ∴ 则有，同理可得 [方法2]奔驰定理 设 【课后训练】 1. 已知向量与的夹角为，，，则 ， 【答案】 2 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】根据向量数量积公式可求得，由可求得. 【详解】由题意得， 因为，所以. 在矩形中，，与相交于点，过点作，则=_______. 【答案】D 【解析】 法一：利用投影解决向量积 法二：极化恒等式 法三：基底+分点定比恒等式 易知E是BO上的5等分点， 如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据为的中点，将用表示出来，然后利用向量运算法则，即可将问题转化为的最小值，即到线段的距离的平方． 【详解】解：由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 1. 已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 思路二：极化恒等式取EF中点D 则 而，即，故 思路二：拆分 ， 设的中点为，在半径为的圆中，，得，， ， 即， 当与反向共线时，取得最小值； 当与同向共线时，取得最大值； 即的取值范围是 1. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可. 【详解】∵，， 即且， ∴， 又C、P、D共线，有，即， 即，而， ∴ ∴=. 1. 已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由求出向量与的夹角，设，，，即可得到四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以， 又，所以， 因为，，，如图，设，，， 则，， 又向量与的夹角为，则，又， 所以四点共圆，又， 所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理，所以的最大值为. 1. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设，且，为线段的中点， 因为，所以， 则，所以， 所以点在以为圆心，半径为的圆，所以的最大值即为该圆的直径， 所以的最大值为. 故选：C. 2. （23-24高一下·福建泉州·期中）在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【分析】根据向量的运算化简，可证明，则点轨迹为三角形边的中垂线，可得解. 【详解】因为， 所以， 设的中点为，则，则， 即，所以，所以点在线段的中垂线上， 故点的轨迹过的外心. 3. （23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 4. 若为所在平面内一点，且 则点是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】 得,即，同理可得 5. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 6. 已知平面向量满足，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出，再求后可求. 【详解】因为，故，故， 故，故 7. 在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，为中点， 由在上的投影向量为， 即，又， 所以， 所以. 8. 已知单位向量，满足，则与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据，得到，然后利用数量积和数量积的运算律求角即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，因为， 所以. 9. （23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 【答案】B 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 10. （多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1 C．若为锐角三角形且外心为，且，则 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ACD 【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断. 【详解】A：如下图，，则为垂心，易知：，    所以，则， 根据向量数量积的几何意义知：，同理， 所以，正确； B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若， 所以，， 由，则， 当时的最小值为，错误；    C：由题设，则， 所以，若为中点，则， 故，故共线，又，即垂直平分， 所以，正确；    D：由题设，， 则， 所以，若为中点，则， 故，所以的轨迹经过的外心，正确.    11. 北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. （23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为 【答案】4 【分析】利用向量的数量积求得的夹角，在利用向量的运算法则作出图，结合图象，判断出四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求解. 【详解】如图所示， 设 因为， 所以，因为， 所以，因为 ， 所以， 所以四点共圆，因为，， 所以，由正弦定理知， 即过四点的圆的直径为4， 12. 如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】由已知结合向量共线定理可得，进而根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，， 故，由于在上，所以，故， 则，又，，， 所以，则 . 13. 平行四边形中，，点满足.则 . 【答案】3 【分析】结合平面向量的加减法运算法则以及平面向量的数量积的运算律化简整理即可求出结果. 【详解】由题意可知： 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可. 【详解】∵，， 即且， ∴， 又C、P、D共线，有，即， 即，而， ∴ ∴=. 15. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题设有、，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的定义求结果. 【详解】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 16. 如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将转化成结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】连接，则， 由题可设，则， 所以 ， 因为，所以， 故. 17. 如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出和，根据数量积的几何意义，分析在上的投影向量即可得解. 【详解】作，垂足为F，记的中点为E， 由可知，梯形为等腰梯形，， 所以，，则， 所以，， 所以， 由数量积的几何意义可知，受在上的投影影响， 由图可知，当点P在BC上时，在上的投影向量为，数量积取得最小值， 当点P与点D重合时，在上的投影向量为，数量积取得最大值. 所以，即. 故答案为： 18. 如图，在正方形中，，点分别为的中点，点在上，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可利用数量积的运算律求解. 【详解】设,则 . 19. 已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 20. （23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    3 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $$