第八章 立体几何初步（18大易错题型）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（18大易错题型） 【易错必刷一 正棱柱及其有关计算】 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用勾股定理得到，然后利用余弦定理列方程，解方程得到，最后利用余弦定理求角即可. 【详解】 设，，则，，， 因为，所以， 解得， 同理可得， 连接，， ， . 故选：B. 2．（24-25高二上·天津武清·期中）如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，结合中位线即可求解. 【详解】 连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点， 所以， 故答案为： 3．（22-23高一上·江西抚州·阶段练习）已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)6个面，8个顶点，12条棱 (2)是长方形， 【分析】(1)由直四棱柱的特征即可得出答案. (2)由直四棱柱的特征可知侧面展开图为长方形，求出长方形面积即可. 【详解】（1）由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱. （2）将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长，所以宽为8cm，长为直四棱柱的底边边长的四倍，即，所以长为20cm，所以侧面展开图面积为 【易错必刷二 棱锥中截面的有关计算】 4．（22-23高二上·辽宁锦州·期中）已知三棱锥中，，，两两垂直，且，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，两两垂直，利用勾股定理得到，，再根据，分别是，的中点，直角三角形和中位线的性质得到，，最后在等腰三角形中利用勾股定理求即可. 【详解】 取中点，连接， ∵，，两两垂直，，， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴， ， ∴三角形为等腰三角形， ∵为中点， ∴，. 故选：B. 5．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习）一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是 . 【答案】 【分析】利用相似比求得正确答案. 【详解】依题意，截面面积与底面面积的比为，相似比为， 所以截得的小棱锥与原棱锥的高之比是. 故答案为： 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    【易错必刷三 正棱台及其有关计算】 7．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正棱台的性质确定侧面为等腰梯形，结合已知条件求斜高即可. 【详解】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形，    所以棱台的斜高为. 故选：C 8．（24-25高二上·上海·课前预习）与平面上的正多边形类似，如果一个多面体的所有面都是 ，每个顶点聚集的棱的条数都 ，这个多面体就叫做正多面体，可以验证只有 种正多面体． 【答案】 全等的正三角形或正多边形 相等 5 【分析】略 【详解】略 9．（21-22高二·全国·课后作业）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解； （2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解. 【详解】（1）解：过点、分别在平面内作，， 垂足分别为点、，如下图所示： 根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形， 因为四边形为正方形，且，则，同理， 在等腰梯形内，因为，，， 所以，四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 所以，， 所以，该正四棱台的侧棱长为. （2）解：过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，，，， 则四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 则，所以，. 因此，直线与的距离为. 【易错必刷四 圆柱的展开图及最短距离问题】 10．（2022·广西梧州·一模）有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 【答案】C 【分析】根据两点之间线段最短，利用圆木的侧面展开图计算葛藤长的最小值. 【详解】 取圆木两个的侧面展开图如上，如图，在中，（即圆木的高）长24尺，（尺），因此葛藤长的最小值为（尺），即为2丈6尺． 故选：C. 11．（22-23高一下·浙江台州·期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，沿将侧面展开后，得到矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，结合勾股定理，即可求解. 【详解】根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点， 沿将侧面展开后，最短路程，如图所示， 其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍， 即， 所以蜗牛爬行的最短路径为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·全国·课后作业）有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度． 【答案】． 【分析】将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，然后利用勾股定理求解即可 【详解】因为圆柱型铁管的高为，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕1圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示． 其中矩形的宽为圆柱的周长，长为圆柱的高，则对角线的长即为铁丝的长度的最小值．此时铁丝的长度最小值为：， 即铁丝的最短长度为． 【易错必刷五 圆锥的结构特征辨析】 13．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用扇形弧长公式即可求出圆锥底面圆半径. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得. 故选:B 14．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高二上·全国·课后作业）选择一个沙漏，形状越接近对顶的圆锥越好，倾斜沙漏，轻微晃动使沙面接近平行于水平面.观察沙面与沙漏侧面的交线形状.      【答案】近似圆 【分析】由圆锥的形状分析即可. 【详解】由于沙漏形状接近对顶的圆锥，当沙面接近平行于水平面时，沙面与沙漏侧面的交线形状近似是圆. 【易错必刷六 圆台的展开图】 16．（2023·陕西安康·三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角． 【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得， 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即， ∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为. 故选：C． 17．（22-23高三上·辽宁大连·阶段练习）若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度 ． 【答案】50 cm 【分析】根据圆台的侧面展开图计算求解． 【详解】如图是圆台侧面展开图，是圆心，由已知得其中心角， 由得，，是中点，（）． 故答案为：50 cm. 18．（22-23高二上·山西吕梁·阶段练习）一块扇形铁皮AOB，，，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且在剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的下底面，问OD应取多长？ 【答案】OD的长为36cm. 【解析】令，由题意知，又即可求OD. 【详解】设圆台下底面半径为R cm，如图， ∵扇形OCD内面积最大的圆是其内切圆，E，F均为切点， ∴，的长为. 由题意可得， ∴. ∵（cm）， ∴OD的长为36cm. 【点睛】本题考查了圆台，由圆台的结构特征，结合扇形、内切圆的性质求线段长，属于简单题. 【易错必刷七 求球面距离】 19．（2022·全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（    ） A．16节 B．20节 C．32节 D．37节 【答案】B 【分析】首先算出的长度，然后可算出的长度，然后可得答案. 【详解】千米， 的长度为千米，航速约为≈千米/时≈20节， 故选：B． 20．（21-22高二·全国·期中）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时） 【答案】1.2 【分析】设上海、大连分别为点，先求出，再计算时间即可. 【详解】 由题意知：上海与大连在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上，设地球球心为，上海、大连分别为点， 则，地球半径约为6371千米，则千米，小时， 故从上海到大连的最短飞行时间约为1.2小时. 故答案为：1.2. 21．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接.    设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 【易错必刷八 组合体的切接问题】 22．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得. 【详解】如图，由题意可知，所以， 所以圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径， 所以外接球半径， 所以该圆锥的内切球的表面积为. 故选：B. 23．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 【答案】 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查球的截面性质的实际应用，属于较难题. 解题的思路在于充分理解题意，弄清鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离包括三部分，①垂直折起的4个小直角三角形的高；②球心到截面圆的距离；③球心到鸡蛋最高点之间的半径.而蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径即蛋巢底面正方形的边长,利用球的截面圆性质即可求得球心到截面距离. 24．（22-23高一·全国·课后作业）已知点是球表面上的点，面，四边形是边长为的正方形.若，求的面积. 【答案】 【解析】如图所示：把四棱锥补形成一个长方体，根据体对角线计算半径等得到答案. 【详解】如图所示：把四棱锥补形成一个长方体， 则为的中点.此时，， 球半径， . 【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，补全图像是解题的关键. 【易错必刷九 斜二测画法中有关量的计算】 25．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可. 【详解】解：由题意， 所以 ， 如图，原图形 中， ， 所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台， ， 故选：D.    26．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 27．（22-23高一下·全国·课后作业）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度， 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原后计算即可. 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，故原高为， 画出原图形如图所示，过点D作于E， 而横向长度不变，且梯形是直角梯形， 所以. 【易错必刷十 棱柱表面积的有关计算】 28．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【答案】D 【分析】连接，，利用勾股定理求出，再根据长方体的表面积公式计算可得. 【详解】如图，在长方体中，连接，， 因为，，， 所以， 所以， 所以该长方体的表面积 . 故选：D. 29．（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 【答案】 【分析】根据长方体的三个不同表面的面积分别为，，，求得相邻的三条棱长，再利用长方体的对角线长公式求解. 【详解】解：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c， 因为长方体的三个不同表面的面积分别为，，， 所以，解得， 所以长方体的对角线长为， 故答案为： 30．（22-23高一·全国·随堂练习）求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积． 【答案】见解析 【分析】转化为直棱柱，利用直棱柱侧面积公式可得证. 【详解】如图，不妨以斜棱柱为例，    其中斜棱柱的侧棱长为，直截面的周长为， 延长侧棱到，使， 设过平行于直截面的平面与各侧棱的延长线交于， 这样就得到一个以斜棱柱的直截面为底，侧棱长为高的直棱柱， 因为底面底面，它们的公垂线段， 所以斜棱柱的各侧面的面积与直棱柱中对应的侧面积相等， 所以，即. 【易错必刷十一 锥体体积的有关计算】 31．（2025高二上·辽宁·学业考试）我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中中点条件得到2个小“阳马”的高度、底面积与“阳马”的高度和底面积的关系，结合棱锥的体积公式得到结果. 【详解】设底面的面积为，高为h（即的长度），则“阳马”的体积为， 因为分别为、、、的中点，分别为、、、的中点， 所以小“阳马”与的底面都是底面积的，高是“阳马”的高的一半， 因此，每个小阳马的体积为：， 两个小阳马的总体积为：2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 所以2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 故选：C. 32．（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为 ． 【答案】/ 【分析】作出图形，结合二面角的定义分别求出，最后利用五面体的体积为2倍的四棱锥的体积加上三棱柱的体积求出结果即可. 【详解】如图，作于，，连接；同理作于，，连接，取中点，连接，再作于， 因为等腰梯形所在平面､等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为， 因为，房顶的底面为矩形，，所以， 又中点，，且，所以， 所以，，所以由二面角的定义可得，正切值均为.则.所以， 因为，，，且底面， 所以底面， 所以该五面体的体积为2倍的四棱锥的体积加上三棱柱的体积， 即， 故答案为：. 33．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，，把绕其斜边所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 【答案】 【分析】首先判断形成几何体的形状，再利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题意得，所形成的几何体为两个圆锥的组合体， 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高， 在中，，， 由勾股定理得， 且， 两个圆锥的高分别为和， 所以． 故所形成的几何体的体积是. 【易错必刷十二 圆台表面积的有关计算】 34．（24-25高三上·黑龙江·期末）若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出圆台的轴截面图，并求棱长，进而利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】圆台的轴截面如下图： 因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为， 所以圆台的侧面积为：. 故选：D. 35．（2024·上海徐汇·一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 . 【答案】 【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式结合条件即得. 【详解】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为， 根据圆台的母线长公式，带入数值计算得到； 设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为 由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，带入数值计算得到； 所以该花盆上､下两部分母线长的总和为. 故答案为： 36．（2024高一下·全国·专题练习）圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积. 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面图，再设上底面半径为，下底面半径为，高为，结合勾股定理列式可得，进而求得表面积. 【详解】圆台的轴截面如图所示，    设上底面半径为，下底面半径为，高为， 由题意，， 则它的母线长为，所以. 故， . 故答案为： 【易错必刷十三 球的体积的有关计算】 37．（24-25高二上·广东肇庆·期末）三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出三棱锥的外接球半径，将三棱锥补成长方体，根据长方体的外接球直径等于其体对角线长，即可求出线段的长. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，则，解得， 因为，，，则，可得， 又因为，，所以，、、两辆相互垂直， 将三棱锥补成长方体， 则该长方体的外接球直径为，解得， 故选：B. 38．（24-25高一下·全国·课后作业）球的体积：设球的半径为，则球的体积 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 39．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm．若不计容器的厚度，求球的体积． 【答案】 【分析】设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. 【详解】设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. 【易错必刷十四 球的表面积的有关计算】 40．（24-25高一下·全国·课后作业）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故选： 41．（24-25高一下·全国·课后作业）球的表面积：设球的半径为R，那么它的表面积是 ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． 【答案】 4 【分析】略 【详解】略 42．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 【答案】 【分析】计算出外接圆的半径，然后利用勾股定理计算出球的半径，最后利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】解：，，， ，即是以为斜边的直角三角形． 平面被球所截得的图形是以线段为直径的圆． 设截面圆的圆心为，则为线段的中点，且，则， 由已知，球心与平面的距离即为球心与中点的连线长， 球的半径． 球的表面积． 【易错必刷十五 线面平行的性质】 43．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（   ） A．有且只有1条，且在平面内 B．有且只有1条，不在平面内 C．有无数条，不都在平面内 D．有无数条，都在平面内 【答案】A 【分析】根据线面平行的性质可得存在性，根据平行的传递性可得唯一性，故可得正确的选项. 【详解】由题设，故存在唯一平面，是的， 设，因为平面，，故，而， 故存在一条直线与平行，若还有另一条直线，则， 而，矛盾，故有且只有1条，且在平面内， 故A正确， 故选：A. 44．（24-25高一下·全国·课后作业） 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 符号语言 图形语言 【答案】 平行 交线 ，， 【分析】略. 【详解】文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言：. 故答案为：①平行；②交线；③. 45．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 【答案】 【分析】由线面平行的性质可得，结合已知可求的长. 【详解】平面，平面平面，平面ADC， ．是AD的中点， 是的中点， ． 【易错必刷十六 面面平行证明线线平行】 46．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（    ） A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形 C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形 【答案】D 【分析】由平面平面，结合面面平行的性质证明，再由必然会相交于一点，得出四边形只可能是梯形. 【详解】由题意，因为，所以与确定平面， 与确定平面， 平面，平面，平面， 又在梯形中，平面， 平面，平面. 又平面，平面， 平面平面. 易知平面， 平面. 在平面中，与长度不相等，必然会相交于一点， 则平面与平面相交，必然会相交于一点， 则四边形只可能是梯形， 故选：D 47．（24-25高三上·广东·期末）已知连接正四面体各面的重心，可以得到一个小的正四面体，且小正四面体的每一个面都与原正四面体的一个面平行．据此推断，若四面体的体积为4，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面围成一个新的四面体，则新四面体的体积为 ． 【答案】108 【分析】根据题意可作出新的四面体并根据重心性质求得小四面体与新的四面体的边长比例，再由体积比与棱长比的关系计算可得结果. 【详解】设这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的，如下图： 而当分别为四面体各个面对应三角形的重心时， 连接并延长交于点，连接并延长交于点， 则有，且为的中位线，所以，且， 同理可得且且； 且且． 即当分别为四面体各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件， 所以四面体的棱长是四面体对应棱长的3倍， 所以四面体的体积为． 故答案为：108 【点睛】关键点点睛：本题关键在于依据新的四面体和重心性质求得小四面体与新的四面体的边长比例，利用体积比与棱长比的关系进行计算. 48．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明平面平面．即可证，同理可证，即可证明结论. 【详解】四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面，同理，可证得平面． 平面，平面，且， 平面平面． 又平面平面，平面平面， ．同理可证．四边形是平行四边形． 【易错必刷十七 线面垂直证明线线垂直】 49．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线，推得异面直线EF与BD的所成角，设，求出相关线段的长，解三角形即可求得答案. 【详解】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 50．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为 ． 【答案】 【分析】设点在底面内的射影为点，连接、、，求出、的长，可知平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】设点在底面内的射影为点，连接、、， 则为等边的中心， 因为正三棱锥的侧棱两两垂直，，则， 则是边长为的等边三角形， 由正弦定理可得，则， 因为平面，、平面，则，， 所以，，则， 所以，平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆， 所以，平面截点的轨迹所得曲线的周长为. 故答案为：. 51．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 【易错必刷十八 面面垂直证线面垂直】 52．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知四面体ABCD的外接球的体积最小时，球心即为的外接圆的圆心，进而求三棱锥的高和体积. 【详解】因为平面平面BCD，所以点A在平面BCD的射影E落在BD上， 当点E为BD的中点时，AE最大，此时四面体ABCD的体积取最大， 如图所示： 在中，设其外接圆的圆心为O，取BC的中点F，连接DF，则点O在DF的直线上， 由余弦定理得，， 且，则， 设外接圆的半径为r，则，得， 当四面体ABCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O， 则，且， 得，， 此时四面体ABCD体积的最大值为： 故选：B. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解； 3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长； 4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； 5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 53．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】由圆中直径所对圆周角为直角以及可得下底面各个线段长，根据等腰梯形，求得圆台的体高，利用线面角的定义以及直角三角形的性质，可得答案. 【详解】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 54．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理即可得到；（2）应用线面垂直的性质和判定定理即可得证． 【详解】（1），理由如下： 平面平面，于点， 平面平面，平面， 平面．又平面，． （2）证明：平面，平面， ．，，平面, 平面．又平面，． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步（18大易错题型） 【易错必刷一 正棱柱及其有关计算】 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津武清·期中）如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 3．（22-23高一上·江西抚州·阶段练习）已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【易错必刷二 棱锥中截面的有关计算】 4．（22-23高二上·辽宁锦州·期中）已知三棱锥中，，，两两垂直，且，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习）一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是 . 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【易错必刷三 正棱台及其有关计算】 7．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·课前预习）与平面上的正多边形类似，如果一个多面体的所有面都是 ，每个顶点聚集的棱的条数都 ，这个多面体就叫做正多面体，可以验证只有 种正多面体． 9．（21-22高二·全国·课后作业）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【易错必刷四 圆柱的展开图及最短距离问题】 10．（2022·广西梧州·一模）有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 11．（22-23高一下·浙江台州·期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 12．（23-24高一下·全国·课后作业）有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕1圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度． 【易错必刷五 圆锥的结构特征辨析】 13．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 14．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 15．（23-24高二上·全国·课后作业）选择一个沙漏，形状越接近对顶的圆锥越好，倾斜沙漏，轻微晃动使沙面接近平行于水平面.观察沙面与沙漏侧面的交线形状.      【易错必刷六 圆台的展开图】 16．（2023·陕西安康·三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 17．（22-23高三上·辽宁大连·阶段练习）若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度 ． 18．（22-23高二上·山西吕梁·阶段练习）一块扇形铁皮AOB，，，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且在剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的下底面，问OD应取多长？ 【易错必刷七 求球面距离】 19．（2022·全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（    ） A．16节 B．20节 C．32节 D．37节 20．（21-22高二·全国·期中）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时） 21．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【易错必刷八 组合体的切接问题】 22．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 24．（22-23高一·全国·课后作业）已知点是球表面上的点，面，四边形是边长为的正方形.若，求的面积. 【易错必刷九 斜二测画法中有关量的计算】 25．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 26．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 27．（22-23高一下·全国·课后作业）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度， 【易错必刷十 棱柱表面积的有关计算】 28．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 29．（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 30．（22-23高一·全国·随堂练习）求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积． 【易错必刷十一 锥体体积的有关计算】 31．（2025高二上·辽宁·学业考试）我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为 ． 33．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，，把绕其斜边所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 【易错必刷十二 圆台表面积的有关计算】 34．（24-25高三上·黑龙江·期末）若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 35．（2024·上海徐汇·一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 . 36．（2024高一下·全国·专题练习）圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积. 【易错必刷十三 球的体积的有关计算】 37．（24-25高二上·广东肇庆·期末）三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·全国·课后作业）球的体积：设球的半径为，则球的体积 ． 39．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm．若不计容器的厚度，求球的体积． 【易错必刷十四 球的表面积的有关计算】 40．（24-25高一下·全国·课后作业）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·全国·课后作业）球的表面积：设球的半径为R，那么它的表面积是 ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． 42．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 【易错必刷十五 线面平行的性质】 43．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（   ） A．有且只有1条，且在平面内 B．有且只有1条，不在平面内 C．有无数条，不都在平面内 D．有无数条，都在平面内 44．（24-25高一下·全国·课后作业） 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 符号语言 图形语言 45．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 【易错必刷十六 面面平行证明线线平行】 46．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（    ） A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形 C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形 47．（24-25高三上·广东·期末）已知连接正四面体各面的重心，可以得到一个小的正四面体，且小正四面体的每一个面都与原正四面体的一个面平行．据此推断，若四面体的体积为4，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面围成一个新的四面体，则新四面体的体积为 ． 48．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【易错必刷十七 线面垂直证明线线垂直】 49．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为 ． 51．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【易错必刷十八 面面垂直证线面垂直】 52．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 54．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$