第八章 立体几何初步（15大压轴题型）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（15大压轴题型） 【经典例题一 棱柱及其有关计算】 1．（23-24高三上·山东威海·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，过点作，将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形，得到当时， 取得最小值，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，分别连接， 将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形， 连接，设交于点， 当时，此时到的距离最短，即取得最小值， 因为，且，可得， 又由，可得，即，所以， 即当 最小时，. 故选：D. 2．（22-23高一下·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．    【答案】/ 【分析】根据正方体的几何结构特征，得到过点的平面截正方体所得的截面为五边形，结合正方体的棱长，且为的中点，为的中点，进而求得截面的周长. 【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点， 连接交与点，连接交于点，分别连接， 则过点的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点， 可得，所以, 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的周长为. 故答案为：.    3．（22-23高二上·上海徐汇·阶段练习）已知正方体的棱长为，、分别是，的中点，在上且满足，过、、三点作正方体的截面，并计算该截面的周长. 【答案】 【分析】延长MP交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交 的延长线于F，连接NF交，连接MH，则五边形为过三点的平面截正方体所得的截面，通过相似三角形及勾股定理计算依次求得各边长即可求得结果. 【详解】延长MP交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交 的延长线于F，连接NF交，连接MH，则五边形为过三点的平面截正方体所得的截面. 由已知可得，，得， 则，得，则， ，则，， ， 截面五边形的周长为.    【经典例题二 棱锥的展开图】 4．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 平面平面平面平面. 如图，设点关于平面对称的点为，连接，， 则四边形为平行四边形且. 连接（当且仅当三点共线时取等号）. 取的中点，连接， 则平面平面. 在中，由余弦定理，得， ，的最小值为. 故选：A. 5．（2024高三·全国·专题练习）（1）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，动点P在线段A1B上运动，则AP＋D1P的最小值为 ． （2）在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA＋PB的最小值为 【答案】 【详解】 (1) 由题意，在正方体ABCDA1B1C1D1中，将△ABA1绕A1B旋转90°，使得平面ABA1和平面A1BCD1展成平面图形，线段AD1的长即为AP＋D1P的最小值，在△AA1D中，利用余弦定理求得AD1＝.即AP＋D1P的最小值为. (2) 如图，记∠BDM＝θ.在△BDM中，BD＝1，BM＝DM＝，可得cos θ＝，sin θ＝.将△BDM绕DM旋转，使得△BDM在平面ACD内，此时B在B′处．连接AB′，B′P，则所求最小值即为AB′的长．∵ ∠ADB′＝θ＋30°， ∴ AB′2＝AD2＋DB′2－2AD·DB′·cos ∠ADB′＝12＋12－2cos (θ＋30°)＝2－2(cos θcos 30°－sin θsin 30°)＝1＋.∴ PA＋PB的最小值为. 【考查意图】空间中的最短距离问题． 6．（22-23高一·全国·课后作业）在正方形中，分别为的中点，现在沿及把和折起，使三点重合，重合后的点记为． （1）依据题意制作这个几何体． （2）这个几何体有几个面，每个面的三角形为什么形状的三角形？ （3）若正方形的边长为，则每个面的三角形的面积为多少？ 【答案】（1） （2）四个面，为等腰三角形，，，为直角三角形；（3），，. 【分析】（1）根据条件画出对应的几何体；（2）根据长度以及原来的位置关系直接判断三角形形状；（3）根据长度直接求解三角形面积. 【详解】（1） . （2）这个几何体有四个面，即面、面、面、面.由平面几何知识可知，， 所以为等腰三角形，，，为直角三角形. （3）因为，， 所以，， . 【点睛】本题考查空间几何体的构成、认识、简单计算，难度一般.将平面图形翻折后形成立体图形时，有一些位置关系是不变的，这是需要着重注意的地方. 【经典例题三 圆柱的展开图及最短距离问题】 7．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）    A． B．2cm C． D．1cm 【答案】A 【分析】小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求，    在中，，， ∴. 故小虫爬行的最短距离是. 故选：A. 8．（21-22高二上·湖北·期中）某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱侧面积公式，结合侧面展开图的性质，求得圆柱底面圆的周长，求得结果. 【详解】因为圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，所以该正方形的边长为，     又圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长， 所以圆柱的底面圆半径为1， 故该圆柱一个底面的面积为， 故答案为：. 9．（22-23高一·全国·课后作业）用一张两边长分别为4 cm和8 cm的矩形硬纸卷成圆柱侧面，求圆柱轴截面的面积.（接头忽略不计） 【答案】（1）；（2）. 【解析】根据圆柱与侧面展开图的关系，对圆柱的母线分类讨论，即可求解. 【详解】分两种情况： （1）以矩形8 cm长的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面， 如图①，轴截面为矩形， 根据题意可知底面圆的周长为， 则，于是. 根据矩形的面积公式，得 （2）以矩形4 cm长的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面， 如图②，轴截面为矩形， 根据题意可知底面圆的周长为， 则， 于是. 根据矩形的面积公式，得. 综上所述，轴截面的面积为. ①         ② 【点睛】本题考查圆柱的结构特征，考查计算能力，属于中档题 【经典例题四 圆锥中截面的有关计算】 10．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的轴截面是顶角为知过此圆锥顶点的所有截面中截面面积最大值为. 【详解】由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为， 设过圆锥顶点的截面三角形顶角为，则， 则截面面积为，当时，， 故选：C． 11．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 12．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 【经典例题五 圆台的结构特征辨析】 13．（22-23高一下·全国·课后作业）圆台的两底面面积分别为1和49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两线段的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出圆台的轴截面图，根据图像结合三角形相似的比例关系计算得到答案. 【详解】如图所示：上下底面圆心分别为，，截面圆心为，圆台母线延长线交于点， ，，则，， 故，，. 故选：C 14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，AB为圆台母线，一只蚂蚁从点A出发绕圆台侧面一圈到点B，则蚂蚁经过的最短路径长度为 . 【答案】 【分析】根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点间的最短距离，由此即可求解． 【详解】圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为2， 由相似三角形的知识得，B点为圆锥母线的中点， 将圆台所在的圆锥展开如图所示： 则线段AB就是蚂蚁经过的最短距离， 因为圆锥的底面边缘的周长扇形的弧长， 所以扇形的弧长， 扇形的半径等于圆锥母线长， 扇形圆心角为， 在中，由余弦定理得， ， 所以，即蚂蚁经过的最短路径长度为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了曲面上两点的最短距离问题，将曲面问题转化为平面距离问题是解决问题的关键、本题属于基础题. 15．（22-23高一·全国·课后作业）一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】(1) . (2) . 【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长. 【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接. 由已知可得上底半径，下底半径，且腰长， ∴，即圆台的高为. （2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.    【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题. 【经典例题六 球的截面的性质及计算】 16．（24-25高三上·河北·期中）已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出正方体中过三点的平面，且分别是的中点，可得，则过三点的截面为球内过这三点的截面圆，求出截面圆的半径可得结果. 【详解】如图，正方体中， 直线与正方体的内切球分别切于， 且分别是的中点. 正方体内切球为，连接. 则互相垂直，且，所以. 则过三点的截面为球内过这三点的截面圆， 截面圆的半径为，其面积为. 故选：B. 17．（2024高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据可知点轨迹是以为直径的球与四边形（包括边界）的交线，求出在四边形内的圆的半径即可得出结果. 【详解】以为直径作球，球半径， 与球上任意一点(除去点)均能构成直角， 故点轨迹为球与四边形（包括边界）的交线.       易知在平面上的投影为菱形的外心，且都全等, 故四边形为正方形，四棱锥为正四棱锥，在平面上的投影为正方形的中心， 记球心在平面上的投影为，， 故平面截球的小圆半径， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧， 易知到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为. 故答案为： 18．（21-22高一·全国·课后作业）如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离． (1)是边长为3的正三角形； (2)是边长分别为，，的三角形． （以上结果均保留2位小数） 【答案】(1)9.85 (2)9.11 【分析】结合图形，利用正弦定理求得，再利用即可求得所求. 【详解】（1）记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有， 因为是边长为3的正三角形，利用正弦定理，得， 所以，解得． （2）记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有， 因为是边长分别为，，， 所以由余弦定理得， 又，所以， 再由正弦定理得，即， 所以． 【经典例题七 斜二测画法中有关量的计算】 19．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 【详解】因为直观图是等腰直角，，所以， 根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半， 所以的边上的高. 故选：C. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    【答案】 【分析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解. 【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形， 则中边长与的边长相等的边为， 在中，，， 所以，由正弦定理得：， 所以，所以原图中边上的高为：， 故答案为：. 21．（22-23高二·全国·课后作业）如图，已知点，，.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积. 【答案】 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【详解】解：由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 . 【经典例题八 棱锥表面积的有关计算】 22．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 23．（23-24高二下·江苏连云港·期末）用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 kg.（精确到） 【答案】/ 【分析】求出正四棱锥的侧面积，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，算出即可. 【详解】 如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高， 则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，， 所以， 因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆， 由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆. 故答案为：. 24．（21-22高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积. 【答案】 【分析】设，求得利用可求得的值，再分别求三棱锥的各个面面积，相加可得答案. 【详解】设，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以是等腰三角形，又，所以底边上的高为， 所以， ， ， 三棱锥的表面积为： . 【经典例题九 台体体积的有关计算】 25．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 26．（24-25高二上·四川内江·期末）已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为 . 【答案】/ 【分析】根据题意得该四棱台为正四棱台，且该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，从而利用棱台的体积公式，即可求解． 【详解】根据题意可得该四棱台为正四棱台，又， 可知该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，即为， 又上下底面分别是边长为2和4的正方形，正四棱台的高为， 该四棱台的体积为. 故答案为： 27．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正三棱台中， ，.    (1)求的长度； (2)求三棱台的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点构造与有关的平行四边形，并计算出边长，由转化后解出长度，再在等腰梯形内作垂线，利用勾股定理解出线段长. （2）过点作面的垂线，并解出垂线段长，利用台体体积公式求得结果. 【详解】（1）延长到点，使，连接，， 由题意知，， 则平行且相等，四边形为平行四边形， 可知平行且相等， 则在中，，，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴， 易得， 则，得. 过点作交于点， 则，，， 故， 故.    （2）作平面交平面于点，连接，， ∵平面，故， 又，，且两直线在平面内， 则平面， 又平面，故， 即， 易得， 故， ∴， 故， 得. 故 【经典例题十 圆柱表面积的有关计算】 28．（24-25高三上·河南·期末）“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆柱表面积公式，即可求解. 【详解】解：由题可知该几何体的表面积等于两个圆柱表面积的和减去“牟合方盖”的表面积， 即 故选：A. 29．（2024·江苏南通·一模）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与球体的位置关系及球的对称性求圆柱底面半径，再由圆柱侧面积的求法求结果. 【详解】由题设，已知球为圆柱的外接球，且球体半径，圆柱高为， 根据球的对称性，圆柱底面半径为， 则圆柱侧面积. 故答案为： 30．（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    【答案】． 【分析】由题意知道健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 【详解】健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 则该健身哑铃的表面积为. 【经典例题十一 球的体积的有关计算】 31．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆柱侧面积的条件求出半径，再依据半径计算圆柱下剩余水的体积即可. 【详解】已知圆柱的侧面积为，根据圆柱侧面积公式为可得方程. 变为. 解得.   先求圆柱的体积公式为（这里），所以圆柱体积. 那么圆柱下剩余水的体积. 把代入，得到.   故选：B. 32．（24-25高三上·河北·期末）三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为 . 【答案】 【分析】先求出锥体体积，再结合等体积法求解内切球的半径即可. 【详解】设球半径为r，平面，显然, 又，平面,故平面， 平面,则. 由于平面ABC，，， 则 ,. ，,, 故三棱锥侧面积为， . 故答案为：. 33．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）根据圆台表面积以及体积公式计算可得结果； （2）利用圆锥与圆台的位置关系求得圆锥体积最大值，再根据圆内切条件可得球的最大半径为，即可求得球体积的最大值. 【详解】（1）由上、下底面直径可得上底面面积为，下底面面积， 圆台侧面积为； 所以圆台的表面积为. 取圆台轴截面，易知为等腰梯形，高为，即为圆台的高； 可得圆台的体积为. （2）如下图所示： 圆锥的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大； 圆锥底面圆的最大半径为，此时底面右侧以为直径刻画最大圆， 而，则圆台上底面与该圆可得一个倾斜的圆柱，且轴截面为菱形， 当球与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大， 易知为等边三角形，可得， 作于点，易知， 因此球的直径为时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件， 所以球体积的最大值为. 【经典例题十二 平面的基本性质的有关计算】 34．（2024·内蒙古乌兰察布·一模）四棱锥P﹣ABCD中，AB=CD，，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】延长CB，DA交于E，连接EM与PB交点为Q，根据三角形的中位线的性质和已知条件可得出点Q为的重心，由此可得选项. 【详解】延长CB，DA交于E，连接EM与PB交点为Q，因为，所以， 又B为SC中点，又M为PC的中点，所以点Q为的重心，所以， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与平面的位置关系，关键在于得出点Q为的重心，由此得以解决问题. 35．（2023高二下·浙江·学业考试）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且所在的平面互相垂直.可以滚动的弹珠M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹珠N的速度是弹珠M的速度的3倍，且当弹珠N移动到B处时试验终止，则弹珠M，N间的最短距离是 .    【答案】 【分析】设出与长度，根据已知的面面垂直得到，再利用余弦定理与勾股定理求得的长度表达式，即可得到最小值. 【详解】过点M做MH垂直AB于H，连接NH，如图所示，      因为面面，面面，MH在面ABCD内， ，则面，面，所以. 由已知弹子N的速度是弹子M的速度的3倍， 设，则， 因为，为正方形， ，则，， 所以， 所以，， 由余弦定理可得 所以， 当时，， 所以, 故答案为：. 36．（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，若点，，分别在，，上，且，，，，那么平面与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？ 【答案】525. 【分析】首先根据平面的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，因为，所以． 如图，过点作平行于的直线交于点，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，则六边形为平面与正方体的交线组成的多边形．的中点是正方体的中心，所以六边形上的点关于正方体的中心对称． 因此六边形的面积是梯形面积的2倍． 易知，，． 所以梯形的高． 故所求面积为． 【经典例题十三 证明线面平行】 37．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.如图，长方体中，，为棱的中点，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线面平行的判定定理，证明平面，将异面直线与之间的距离转化为点与平面之间的距离，再利用等体积法求解即可. 【详解】 取中点，连接， 由，，，， 则， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 故异面直线与之间的距离与平面之间的距离点与平面之间的距离， 设点与平面之间的距离为， 由题意可得，, 则 则三棱锥的体积， 又， 则三棱锥的体积， 又，则， 故选：C. 38．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱，的中点，三棱锥的体积为 【答案】 【分析】先证得平面，再利用等体积法求解. 【详解】解：在正方体中，因为，平面ABE，平面， 所以平面， 所以， ， 即三棱锥的体积为 故答案为： 39．（2024高二上·河南安阳·学业考试）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由几何关系得到四边形是直角梯形，再求出其面积，然后由棱锥的体积公式求出体积即可； 【详解】（1）证明：因为，所以. 又因为平面平面，所以平面. （2）由题意知为四棱锥的高. 因为是圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，所以. 由（1）知，，所以四边形是直角梯形. 在中，，所以. 在等腰直角三角形中，因为，所以. 在直角梯形中，， 所以直角梯形的面积. 所以四棱锥的体积. 【经典例题十四 证明面面平行】 40．（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 41．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【答案】1 【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 42．（浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三下学期返校联考数学试题）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）先用线面平行证明面面平行，然后利用线面垂直作出与平面所成的角,在直角三角形中求出该角正弦值，最后利用面面平面，得出该正弦值即为所求； （2）通过作图得出截面与平面的交线，然后利用平行确定共面，最后得证. 【详解】（1）证明：因为是中点，是中点，所以，又，所以 又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，平面 所以平面平面 ； 因为平面,平面， 所以平面，则就是与平面所成的角， 又平面平面，所以就是直线与平面所成角. 因为在直角梯形中，，所以 在中，， 所以 , 即直线与平面所成角的正弦值为. （2） 延长交于点连接，延长与交于点， 因为由分别为中点，所以，所以， 所以是中点，取中点，则就是所求的直线 理由如下：由以上作图过程可知，是中点，是中点， 所以,即，又 所以，所以四点共面， 所以平面，又平面 所以平面平面，所以就是所求的直线 【经典例题十五 面面垂直证线面垂直】 43．（24-25高二上·江西景德镇·期末）在空间中，设为三条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在平面内，且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面垂直的判定判断C；利用面面垂直的性质判断D. 【详解】对于A，由，得在平面内存在直线使得，而，则，又，因此，A正确； 对于B，令，在内取点作，而， 则，又，于是，而，因此，B正确； 对于C，在平面内，且，当时，不能推出，C错误； 对于D，由，得在平面内存在直线使得，而，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：C 44．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，结合面面垂直的性质，等边三角形的性质，确定的大小，结合余弦定理即可得夹角余弦值. 【详解】如图所示， 因为，所以直线与的夹角即为直线与的夹角， 取的中点为，由题知和为等边三角形， 则， 又，则也是等边三角形，故， 设为在平面上的投影，则平面， 因为平面平面，交线为，因为为的中点，所以 又平面，所以平面， 则，且，故四边形为矩形， 故，且，则， 又，所以，则， 又，所以， 又，则， 所以在中，由余弦定理得， 所以直线与夹角的余弦值为． 故答案为：． 45．（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得证； （2）由平面平面PCD依次证平面ADP、、平面ACP、即可； （3）由几何关系可得，结合即可求值. 【详解】（1）作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． （2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. （3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步（15大压轴题型） 【经典例题一 棱柱及其有关计算】 1．（23-24高三上·山东威海·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．    3．（22-23高二上·上海徐汇·阶段练习）已知正方体的棱长为，、分别是，的中点，在上且满足，过、、三点作正方体的截面，并计算该截面的周长. 【经典例题二 棱锥的展开图】 4．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 5．（2024高三·全国·专题练习）（1）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，动点P在线段A1B上运动，则AP＋D1P的最小值为 ． （2）在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA＋PB的最小值为 6．（22-23高一·全国·课后作业）在正方形中，分别为的中点，现在沿及把和折起，使三点重合，重合后的点记为． （1）依据题意制作这个几何体． （2）这个几何体有几个面，每个面的三角形为什么形状的三角形？ （3）若正方形的边长为，则每个面的三角形的面积为多少？ 【经典例题三 圆柱的展开图及最短距离问题】 7．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）    A． B．2cm C． D．1cm 8．（21-22高二上·湖北·期中）某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ． 9．（22-23高一·全国·课后作业）用一张两边长分别为4 cm和8 cm的矩形硬纸卷成圆柱侧面，求圆柱轴截面的面积.（接头忽略不计） 【经典例题四 圆锥中截面的有关计算】 10．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 12．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【经典例题五 圆台的结构特征辨析】 13．（22-23高一下·全国·课后作业）圆台的两底面面积分别为1和49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两线段的比为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，AB为圆台母线，一只蚂蚁从点A出发绕圆台侧面一圈到点B，则蚂蚁经过的最短路径长度为 . 15．（22-23高一·全国·课后作业）一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【经典例题六 球的截面的性质及计算】 16．（24-25高三上·河北·期中）已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为 . 18．（21-22高一·全国·课后作业）如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离． (1)是边长为3的正三角形； (2)是边长分别为，，的三角形． （以上结果均保留2位小数） 【经典例题七 斜二测画法中有关量的计算】 19．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 20．（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    21．（22-23高二·全国·课后作业）如图，已知点，，.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积. 【经典例题八 棱锥表面积的有关计算】 22．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·江苏连云港·期末）用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 kg.（精确到） 24．（21-22高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积. 【经典例题九 台体体积的有关计算】 25．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 26．（24-25高二上·四川内江·期末）已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为 . 27．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正三棱台中， ，.    (1)求的长度； (2)求三棱台的体积. 【经典例题十 圆柱表面积的有关计算】 28．（24-25高三上·河南·期末）“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·江苏南通·一模）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为 ． 30．（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    【经典例题十一 球的体积的有关计算】 31．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·河北·期末）三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为 . 33．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 【经典例题十二 平面的基本性质的有关计算】 34．（2024·内蒙古乌兰察布·一模）四棱锥P﹣ABCD中，AB=CD，，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 35．（2023高二下·浙江·学业考试）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且所在的平面互相垂直.可以滚动的弹珠M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹珠N的速度是弹珠M的速度的3倍，且当弹珠N移动到B处时试验终止，则弹珠M，N间的最短距离是 .    36．（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，若点，，分别在，，上，且，，，，那么平面与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？ 【经典例题十三 证明线面平行】 37．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.如图，长方体中，，为棱的中点，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱，的中点，三棱锥的体积为 39．（2024高二上·河南安阳·学业考试）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【经典例题十四 证明面面平行】 40．（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 41．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    42．（浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三下学期返校联考数学试题）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【经典例题十五 面面垂直证线面垂直】 43．（24-25高二上·江西景德镇·期末）在空间中，设为三条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在平面内，且，则 D．若，则 44．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为 ． 45．（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$