专题04 空间点、直线、平面之间的位置关系重难点题型专训（18大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题04 空间点、直线、平面之间的位置关系重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 异面直线的概念及辨析 题型十二 异面直线的判定 题型十三 证明异面直线垂直 题型十四 判断图形中的线面关系 题型十五 用定义证明线面关系 题型十六 线面关系有关命题的判断 题型十七 判断图形中的面面关系 题型十八 面面关系有关命题的判断 知识点一 平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 知识点二 点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 知识点三 三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 知识点四 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 知识点五 平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点六 空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 知识点七 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 a 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 知识点八 空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)两种位置关系 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 1．（24-25高二·上海·课堂例题）点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若三角形的两个顶点在平面α上，若三角形的内心也在平面α上，则三角形的第三个顶点是否也在平面α上？ 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 1．（2022高一·全国·课后作业）下图中正确表示两个相交平面的是 A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）下图中的两个相交平面，其中画法正确的是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 1．（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例4】（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 2．（2024高三·全国·专题练习）平面的基本事实（也称为公理） 基本事实：经过 一条直线上的3个点，有且只有一个平面.也可简单说成： 的3点确定一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原、宽阔的马路等，你能说出平面的些几何特征吗？ 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例5】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中的4个点最多能确定 个平面. 3．（21-22高二·全国·课后作业）如图，正方体中的12条棱，可以确定多少个平面？ 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高二上·上海·期末）如果三条直线两两相交，且仅有一个交点，那么这三条直线可以确定 个平面． 3．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例7】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 1．（22-23高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 2．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例8】（22-23高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 2．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例9】（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例10】（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【经典例题十一 异面直线的概念及辨析】 【例11】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 2．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）观察你所在的教室． (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 【经典例题十二 异面直线的判定】 【例12】（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 1．（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【经典例题十三 证明异面直线垂直】 【例13】（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 1．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 3．（2023高三·全国·专题练习）若一个四面体的五条棱分别与另一四面体的对应棱的对棱垂直，则这个四面体的第六条棱也与另一四面体的对应棱的对棱垂直． 【经典例题十四 判断图形中的线面关系】 【例14】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（    ） A．若，则与和相交 B．若，则或 C．若，则，且 D．若，则 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 2．（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【经典例题十五 用定义证明线面关系】 【例15】（22-23高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 1．（2022·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 2．（21-22高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ． 3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      【经典例题十六 线面关系有关命题的判断】 【例16】（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2023高二下·辽宁·学业考试）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 3．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线； (2)若直线平面M，则M内不存在与l不垂直的直线； (3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线； (4)若直线平面M，则M内不存在与l不平行的直线． 【经典例题十七 判断图形中的面面关系】 【例17】（24-25高一下·全国·随堂练习）两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【经典例题十八 面面关系有关命题的判断】 【例18】（24-25高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 1．（24-25高二上·四川内江·期末）设l，m，n是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则l，m，n彼此平行 2．（24-25高二上·上海静安·期中）“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，    (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知直线，和平面满足，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 7．（21-22高一·全国·课后作业）两条异面直线互相垂直：若两条异面直线所成的角为 ，则称它们互相垂直．两条互相垂直的异面直线，记作 ． 8．（24-25高二·上海·随堂练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 9．（22-23高三·全国·课后作业）如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 ． 10．（24-25高一下·全国·课前预习）如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是 . 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知：，求证：直线共面于.    12．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    13．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 14．（24-25高二·上海·课堂例题）请指出下列命题中与命题“直线上两点A、B在平面上”等价的命题： （1）； （2）直线l上只有两点A、B在平面β上； （3）平面β经过直线l； （4）直线l上的所有点都在平面β上． 15．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各命题的正误，画出正确命题的图形，并用符号表示： (1)两个平面有三个公共点，它们一定重合； (2)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内； (3)两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线； (4)正方体中，点O是的中点，直线交平面于点M，则A，M，O三点共线，并且A，O，C，M四点共面． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间点、直线、平面之间的位置关系重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 异面直线的概念及辨析 题型十二 异面直线的判定 题型十三 证明异面直线垂直 题型十四 判断图形中的线面关系 题型十五 用定义证明线面关系 题型十六 线面关系有关命题的判断 题型十七 判断图形中的面面关系 题型十八 面面关系有关命题的判断 知识点一 平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 知识点二 点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 知识点三 三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 知识点四 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 知识点五 平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点六 空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 知识点七 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 a 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 知识点八 空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)两种位置关系 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【分析】根据空间合体的基本元素判断即可 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 1．（24-25高二·上海·课堂例题）点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合结合元素、集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：点为元素，线和面均为集合， 结合元素、集合之间的关系可知. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 【答案】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若三角形的两个顶点在平面α上，若三角形的内心也在平面α上，则三角形的第三个顶点是否也在平面α上？ 【答案】三角形的第三个顶点也在平面α上 【分析】根据三角形的内心不在边上，结合不共线的三点确定一个平面即可判断． 【详解】三角形的第三个顶点也在平面α上． 因为三角形的两个顶点在平面α上，且内心也在α上， 因为三角形的内心必不在边上， 即有不共线的三点在α上， 则三角形所在平面与α重合． 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 1．（2022高一·全国·课后作业）下图中正确表示两个相交平面的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画． 考点：两平面相交的画法. 2．（21-22高一·全国·课后作业）下图中的两个相交平面，其中画法正确的是 ． 【答案】④ 【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【详解】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误； 对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误； 对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误； 对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确. 故答案为：④. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【答案】答案见解析 【分析】用平行四边形代表平面，先画两互相平行的平行四边形，再画第三个平行四边形与这两个平行四边形均相交即可. 【详解】如图，是三个不同的平面，为不同的直线， 其中∥，    【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，     所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B 1．（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 【答案】4 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例4】（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）平面的基本事实（也称为公理） 基本事实：经过 一条直线上的3个点，有且只有一个平面.也可简单说成： 的3点确定一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 【答案】 不在 不共线 两个点 一个 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·全国·课前预习）生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原、宽阔的马路等，你能说出平面的些几何特征吗？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等． 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例5】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】根据过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而过这条直线的平面有无数个，即可得出答案. 【详解】因为过直线外一点可作一条直线与已知直线平行， 而过所作直线的平面与已知直线平行，则有无数个平面， 所以过直线外一点和这条直线平行的平面有无数个， 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中的4个点最多能确定 个平面. 【答案】4 【分析】空间中四点不共面时，确定的平面最多 【详解】当四个点构成四面体（三棱锥）时，确定的面数最多，共4个面． 故答案为：4 3．（21-22高二·全国·课后作业）如图，正方体中的12条棱，可以确定多少个平面？ 【答案】共12个，其中6个表面，6个对角面． 【分析】作出辅助线，确定对角面6个，从而确定平面的个数. 【详解】连接面对角线HF，DB，则可以确定平面BDHF，同理可以确定平面ACGE，平面ABGH，平面CDEF，平面ADGF，平面BCHE，另外有6个表面，共12个平面. 故可以确定12个平面，其中6个表面，6个对角面. 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 1．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 2．（25-26高二上·上海·期末）如果三条直线两两相交，且仅有一个交点，那么这三条直线可以确定 个平面． 【答案】1或3 【分析】根据三条直线两两相交的位置关系可得答案. 【详解】如图，三条直线两两相交于点， 且确定平面，确定平面，确定平面； 如图，三条直线两两相交于点， 这三条直线确定平面. 故答案为：1或3. 3．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例7】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 1．（22-23高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【详解】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据面面交成线进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例8】（22-23高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【分析】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】分别讨论点在上，和外两种情况，即可判断. 【详解】若点是和直线的交点，则，若点在外且，则 故答案为：或 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例9】（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可. 【详解】如图取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、， 则，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接、、， 同理可证，，，所以， 所以四点共面； 所以五点共面； 又，，， 所以截面周长为. 故选：B 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【详解】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 因为，所以， 又 所以，所以，则. 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例10】（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，取的中点，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为点到点的距离相等， 可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线， 又因为，直线与平面所成角为， 取的中点，可得，则线段的最小值为. 故选：A.    2．（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    【答案】 【分析】利用展开图，将周长的最小值转化为两点间距离；根据展开图的几何关系，求的三边，即可求三角形的面积. 【详解】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.    正三棱锥中，，所以， 所以，故周长的最小值为. 又，所以，则. 故答案为：；. 3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 【经典例题十一 异面直线的概念及辨析】 【例11】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 2．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断. 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）观察你所在的教室． (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 【答案】(1)（1）平行． (2)既不是平行直线，也不是相交直线． 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可求解. 【详解】（1）平行 （2）既不是平行直线，也不是相交直线． 【经典例题十二 异面直线的判定】 【例12】（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【分析】根据新定义、异面直线的定义判断即可. 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 1．（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 【答案】3 【分析】根据三棱柱的结构特征以及异面直线的定义分析判断. 【详解】如图，    与AB异面的棱有，共3条. 故答案为：3. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 【经典例题十三 证明异面直线垂直】 【例13】（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 1．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【答案】B 【分析】 选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解. 【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；    对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确； 对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误； 对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。 【详解】取的中点，连接， ∵平面， ∴为在平面内的投影， 又，∴， 由三垂线定理得，， 又，∴. 故答案为:    3．（2023高三·全国·专题练习）若一个四面体的五条棱分别与另一四面体的对应棱的对棱垂直，则这个四面体的第六条棱也与另一四面体的对应棱的对棱垂直． 【答案】证明见解析 【分析】设出对应关系，根据勾股定理得出等式，根据对应等式运算往所证明的棱上靠，得出新等式关系，即可根据勾股定理证明. 【详解】证明： 设四面体和中，，，，，，则要证． ， ， ， ， ， 由，得 由，得 由式⑤⑥⑦，得 即， ． 【经典例题十四 判断图形中的线面关系】 【例14】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（    ） A．若，则与和相交 B．若，则或 C．若，则，且 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间线面的位置关系的判定方法，逐项判断即可. 【详解】对A选项，由，则与和相交或平行或在面内，所以A选项错误； 对B选项，当时，且且，所以B选项错误； 对C选项，当时，与，可以成任意角，所以C选项错误； 对D选项，如图，易得，所以D选项正确； 故选：D 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【答案】 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【答案】作图见解析 【分析】把问题转化成平面平面，再利用即为所求． 【详解】连接，连接延长与相交于，连接交于，再连接交于点，即为所求，如下图： 【经典例题十五 用定义证明线面关系】 【例15】（22-23高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项. 【详解】若直线与平面有两个公共点， 则直线在平面内，即. 故选：A 1．（2022·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】 确定直线和平面至少有一个交点，得到答案. 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 2．（21-22高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】分直线在平面外与直线在平面内分别讨论，即可得到结果. 【详解】若直线在平面外，则； 若直线在平面内，符合条件. 或 故答案为: 或 3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      【答案】证明见解析 【分析】要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）.如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题. 【详解】在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，. 因为直线m与n相交，所以向量，不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使. 将上式两边分别与向量作数量积运算， 得. 因为，， 所以. 所以. 这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线， 所以. 【经典例题十六 线面关系有关命题的判断】 【例16】（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 1．（2023高二下·辽宁·学业考试）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】由题意得，且平行于乒乓球网的下边缘， 而乒乓球网的下边缘在平面内， 由线面平行的判定定理得成立，故C正确. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 【答案】④⑥ 【分析】借助垂直与平行的性质逐项分析即可得. 【详解】由，，则，故①错，④对； 由，，则，故③错，⑥对； 可能垂直，也可能平行，故②、⑤错. 故答案为：④⑥. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线； (2)若直线平面M，则M内不存在与l不垂直的直线； (3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线； (4)若直线平面M，则M内不存在与l不平行的直线． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)假命题 【分析】（1）举例判断； （2）根据线面垂直的性质分析判断； （3）根据反证法及线面平行的判定定理分析判断； （4）举例判断. 【详解】（1）如图，在长方体中，直线l与平面M斜交，，，所以此命题是假命题； （2）若直线平面M，则直线与平面内的任意一条直线都垂直， 所以M内不存在与l不垂直的直线，所以此命题为真命题； （3）若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行， 这与已知条件相矛盾，所以此命题为真命题； （4）如图，直线平面M，，与不平行，是异面直线，所以此命题为假命题. 【经典例题十七 判断图形中的面面关系】 【例17】（24-25高一下·全国·随堂练习）两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【详解】对于A，需要画出两相交平面的交线，故A错误； 对于B，两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故B错误； 对于C，需要画出两相交平面的交线，故C错误； 对于D，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线， 且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故D正确. 故选：D 1．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项． 【详解】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得． A正确，BCD错误； 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【答案】相交 【分析】根据平面与平面的位置关系判断出正确答案. 【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行， 则延长与BB′必相交于一点，设交点为H， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，H∈平面， 故平面与平面相交． 故答案为：相交 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于，交于，连接即为所求； （2）证明四边形为平行四边形，得到，又根据正方体的性质得到，由等角定理即可证明． 【详解】（1）解：连接交于，交于，连接，即为所求交线，如下图； （2）解：， 四边形为平行四边形， ， 又，并且射线方向相同，根据等角定理， ． 【经典例题十八 面面关系有关命题的判断】 【例18】（24-25高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】B 【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐个判断即可． 【详解】解：若且则m与可以成任意角，A选项错误； 若则，B选项正确； 若则n与可以成任意角，C选项错误； 若则m与可以成任意角，D选项错误． 故选：B 1．（24-25高二上·四川内江·期末）设l，m，n是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则l，m，n彼此平行 【答案】C 【分析】对于A:l与m相交、平行或异面；对于B:与相交或平行；对于C:l垂直于与的交线，同时l垂直于与的交线，又与的交线和与的交线相交，从而；对于D:l，m，n彼此间平行、相交． 【详解】对于A，若，，则l与m相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若，，， 在平面内选一点O，过O做与的交线的垂线，由面面垂直的性质定理得； 同理过O做与的交线的垂线， 得到,又因为都在平面内，由线面垂直的判定定理，，故C正确； 对于D，若，，， 则l，m，n彼此间平行、相交，故D错误． 故选：C. 2．（24-25高二上·上海静安·期中）“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据给定条件，利用平行平面的定义即可得解. 【详解】由平行平面的定义知，“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是真命题. 故答案为：真 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，    (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)必为平面与平面的公共点，（答案不唯一）． (2) 【分析】（1）直接利用平面的性质和平面的图形求出两平面的交点． （2）直接利用平面所在的位置求出结果． 【详解】（1）在长方体中， 如图所示：    设与的交点为，必为平面与平面的公共点，（答案不唯一）． （2）如图：平面与平面的交线为． 1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 2．（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 3．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球相关知识，即可判断． 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知直线，和平面满足，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，则存在使得且， 若且，则， 又且，所以，充分性成立； 设，，则有，但不平行，即必要性不成立. 故选：A. 6．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 【答案】 【分析】结合平面性质，根据已知条件画出过点的截面，求周长即可. 【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM， 取靠近点的三等分点N，连接FN并延长交的延长线于点Q， 连接QE交于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点的截面， 由G为棱靠近点C的三等分点，可得，即， 由，知点M为靠近点C的三等分点，即， 由勾股定理得，，同理得， 则截面图形的周长为. 故答案为：. 7．（21-22高一·全国·课后作业）两条异面直线互相垂直：若两条异面直线所成的角为 ，则称它们互相垂直．两条互相垂直的异面直线，记作 ． 【答案】 直角（或） 【分析】根据两异直线垂直的定义求解. 【详解】如果两条异面直线所成的角为直角（或），则称它们互相垂直，两条互相垂直的异面直线，记作， 故答案为：直角（或），. 8．（24-25高二·上海·随堂练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 9．（22-23高三·全国·课后作业）如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【分析】直接通过空间想象画图得解. 【详解】解：如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是平行或相交. 故答案为：平行或相交 10．（24-25高一下·全国·课前预习）如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是 . 【答案】平行或相交 【分析】根据图象即可确定这两个平面的位置关系. 【详解】    由图可知，两个平面平行或相交， 故答案为：平行或相交. 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. 【详解】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 13．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 【答案】答案见解析 【详解】平移转化成相交直线所成的角，由于，可用EF与HF的夹角来刻画． 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题． 14．（24-25高二·上海·课堂例题）请指出下列命题中与命题“直线上两点A、B在平面上”等价的命题： （1）； （2）直线l上只有两点A、B在平面β上； （3）平面β经过直线l； （4）直线l上的所有点都在平面β上． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据直线在平面内的等价条件可得出结论. 【详解】直线上两点A、B在平面上； 若直线在平面内，则直线上所有的点都在平面内， 故答案为：（1）（3）（4） 15．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各命题的正误，画出正确命题的图形，并用符号表示： (1)两个平面有三个公共点，它们一定重合； (2)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内； (3)两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线； (4)正方体中，点O是的中点，直线交平面于点M，则A，M，O三点共线，并且A，O，C，M四点共面． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】在正方体中，举例证明（1）（2）不正确，同时证明（4）正确，再结合图形关系判断（3）即可. 【详解】（1）    对于（1）：如图三个公共点在一条直线上，平面与平面相交不重合，故（1）不正确； （2）对于（2）：正方体中从点出发的三条棱不在同一个平面内，故（2）不正确； （3）对于（3），若则确定一个平面，且与直线的交点都在此平面内，则共面，与是异面直线矛盾， 故直线可能是异面直线，也可能是相交直线, 图形可以取或.故（3）正确；    （4）对于（4），平面平面， 因为直线交平面于点， 所以，即三点共线， 因为三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面， 所以A，O，C，M四点共面，故（4）正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$