专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 复习课件 2024-2025学年人教版数学七年级下册

专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题. 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 1. 一块含 30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点 A，C 分别落在直线 a，b 上，若直线 a∥b，∠1=35°，则∠2 的度数是 （ ） A． 45° B． 35° C． 30° D． 25° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 D 类型一 一次“拐点”问题 2. 将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知∠1+∠2 的度数为（ ） A． 270° B． 260 C． 250° D． 180° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 A 3. 在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（AM∥CN），且每两个支撑 架之间的索道均是直的，若∠MAB=65°，∠NCB=55°，则∠ABC= （ ） A． 110° B． 115° C． 120° D． 125° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 C 4. 应用意识 某中学将国家非物质文化遗产———“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图 1 所示．将图 1 抽象成图 2 的数学问题：在平面内，AB∥CD．若∠BAE=55°，∠DCE=80°，则∠AEC 的度数为 （ ） A． 115° B． 135° C． 145° D． 155° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 B 5. 较难题 如图，AB∥CD，点 E 为 AB 上方一点，FB，HG 分别为∠EFG，∠EHD 的平分线，若∠E+2∠G=150°，则∠EFG 的度数为 （ ） A． 90° B． 95° C． 100° D． 150° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 C 6. 如图，如果 AB∥CD，∠α=145°，∠β=60°，那么∠γ 的度数是 _________. 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 25° 7. 易错题 如图，已知 AB∥CD，点 E 在 AB，CD之间，点 F，G 分别在 AB，CD 上，连接 EF，EG，∠BFE 的平分线 FQ 的反向延长线与∠CGE的平分线交于点 H，GH 交 AB 于点 P，∠BFQ=35°，∠DGE=40°，下列结论： ①∠H=∠AFH， ②EF∥GH， ③∠HFE=∠GEF， ④∠DGH=110°， 其中正确的有 ____________.（ 填出所有正确结论的序号） 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 ①②④ 8. 实践与探究：已知AB∥CD，点P是平面内一点． （1）如图 1，若点 P 在 AB，CD 内部，请探究∠BPD，∠B，∠D 之间有何数量关系，并证明你的结论； （2）如图 2，若点 P 移动到 AB，CD 外部，那么∠BPD，∠B，∠D 之间的数量关系是否发生变化？ 请给出你的证明． 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 解：（1）∠BPD=∠B+∠D. 证明：如图，作 PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD， ∴∠1=∠B，∠2=∠D， ∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D； （2）发生变化，应该为∠BPD=∠B-∠D， 证 明 ：∵AB ∥CD，∴ ∠B = ∠BOD， 而∠BOD=180° -∠DOP =180°-（180°-∠BPD - ∠D）= ∠BPD+∠D，∴∠B =∠BPD+∠D，即∠BPD=∠B-∠D 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 9. 如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C=（ ） A． 180° B． 360° C． 540° D． 720° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 类型二 多次“拐点”问题 C 10. 如图 ，AB ∥CD，BE ⊥EF，DF ⊥CD， ∠B =40°，则∠EFD 的度数是 （ ） A． 120° B． 130° C． 140° D． 150° 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 C 11. 如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若 α=50°，β=26°，则 γ 的度数为 ________． 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 24° 12. 抽象能力 如图是一款长臂折叠 LED 护眼灯示意图，EF 与桌面 MN 垂直，当发光的灯管 AB 恰好与桌面 MN 平行时，若∠BCD=110°，∠CDE=95°，则∠DEF 的度数为 _____°． 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 115 13. 几何直观 如图，已知∠BAE+∠AED=180° ，∠1=∠2，那么∠F=∠G 吗？ 为什么？ 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 解：∠F=∠G， 理由：∵∠BAE+∠AED=180°，∠AED+∠AEC=180°，∴∠BAE=∠AEC，∵ ∠1 = ∠2，∴ ∠BAE - ∠1 =∠AEC-∠2，∴∠FAE=∠AEG， ∴AF∥EG，∴∠F=∠G． 14. 类比法 推理能力 小明在参加数学兴趣活动小组时，探究如图1 这一基本图形． 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 【问题】如图 1，AB∥CD，试探究∠B，∠BED，∠D 三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】将图 1 变为图 2、图 3（其中 AB∥CD 不变），请你直接写出相应的结论：图 2：______________________；图 3：____________________； 【应用】如图 4，运用上面的结论解决问题：AB∥CD，BE 平分∠ABF，DE 平 分 ∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED 的度数． 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 解：【问题】∠BED=∠B+∠D． 理由：如图 1，过点 E 作 EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D， 即∠BED=∠B+∠D； 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 【拓展】∠B+∠BED+∠D=360° ∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD 提示：如图 2，过点 E 作 EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=360°， 即∠B+∠BED+∠D=360°； 如图 3，分别过点 E，F，G 作EH∥AB，MF∥AB，GN∥AB，∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥MF∥GN∥CD， 同（1）可得，∠B+∠MFE=∠BEF①，∠MFG+∠D=∠FGD②， ①+②得，∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD； 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 【应用】如图 4，过点 E，F 分别作 EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB， ∴∠5=∠ABF，∠3=∠1，又 ∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDF， ∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4． ∵BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF，∴∠ABF=2∠1，∠CDF=2∠2， ∴∠BED=∠3 +∠4 = ∠ABF + ·∠CDF= ∠5+ ∠6= ∠BFD= ×120°=60°． 专项三 平行线中的“拐点问题”强化练 $$