微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练 一、单选题 1．在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 3．在中，，则的度数是（    ） A．45° B．36° C．72° D．30° 4．有下列说法，其中正确的有（    ） ①两个等边三角形一定能完全重合； ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个等腰三角形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 6．如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在等腰中，，为的平分线，，的周长，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，为边上一点，且，平分，垂足为，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．如图，在△ABC中，D是BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB//EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=11，则CF=（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 11．如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 12．表示一次函数与正比例函数（、是常数且）的图像，在同一坐标系中只可能是（    ） A．B．C．D． 13．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　） A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4 14．如图，在等腰中，是边的中点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 15．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 16．在中，与的平分线交于点I，过点I作交于点D，交于点E，，现给出以下结论：①和是等腰三角形；②I为中点；③的周长是8；④．其中正确的是： ．（写出所有正确结论的序号） 17．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．    18．如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为    19．如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为 °. 20．如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为 . 21．如图，在和中，，．，，连接，交于点M，与相交于E，与相交于F，连接，则下列结论中：①；②；③；④平分，其中正确的结论有 ． 22．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D为AC边上任意一点(不与点A．C重合)，当△BCD为等腰三角形时，∠ABD的度数是 ． 23．如图，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，连接，，则的最小值为 ． 24．如图，在中，，若，则的长为 ． 三、解答题 25．证明：等腰三角形两底角的角平分线相等． 26．如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，求证：． 27．如图，在中，平分，，. (1)求的度数； (2)若，垂足为，，，求的面积. 28．如图①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD． （1）如图①，求证：AD平分∠BAC； （2）如图②，连接BC，延长AD交BC于点E．求证：AE⊥BC． 29．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 30．如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 31．已知：和均为等腰直角三角形，．连接，，点为中点，连接． (1)如图1所示，求证： ①；② (2)将绕点旋转到图2所示位置时，判断线段与的关系，并说明理由． 32．如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，． (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 33．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F． (1)证明：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长    34．问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练 一、单选题 1．在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】由，可得是等边三角形，则． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 【答案】B 【知识点】根据等边对等角证明、根据三线合一证明 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 3．在中，，则的度数是（    ） A．45° B．36° C．72° D．30° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】设，则，，再利用三角形内角和列方程，解方程求得的值，即可求得的度数． 【详解】设，则，， ∵， 即：， 解得： ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，设参数、利用方程的思想来解决问题是解决此类问题的关键． 4．有下列说法，其中正确的有（    ） ①两个等边三角形一定能完全重合； ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个等腰三角形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质、图形的全等 【分析】根据全等三角形的判定，等边三角形，等腰三角形的性质判定即可． 【详解】解：①两个等边三角形不一定能完全重合， 故此选项不合题意； ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同， 故此选项符合题意； ③两个等腰三角形不一定是全等图形， 故此选项不合题意； ④面积相等的两个图形不一定是全等图形， 故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 5．如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，，，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】∵在中， ∴，，，， ∴，，， ∵，与的角平分线交于点E ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 6．如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 7．如图，在等腰中，，为的平分线，，的周长，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，可得，可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长，即， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：． 8．如图，为边上一点，且，平分，垂足为，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质；由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 9．如图，在中，，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明，，从而证明，从而求出的周长即可． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ， 故选：C． 10．如图，在△ABC中，D是BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB//EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=11，则CF=（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】延长FE交AD的延长线于H，想法证明EA=EH=EF，AB=CH即可解决问题． 【详解】延长FE交AD的延长线于H． ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD=∠HAE， ∵FH∥AB， ∴∠H=∠BAD， ∴∠H=∠HAE， ∴EA=EH=EF，设CF=x，则EF=EA=EH=x+3， 在△HDC和△ADB中， ， ∴△HDC≌△ADB（AAS）， ∴AB=CH， ∵AB=11， ∴CH=EH+CE=x+3+3=11， ∴x=5， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】根据等角对等边求边长、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 12．表示一次函数与正比例函数（、是常数且）的图像，在同一坐标系中只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、正比例函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与正比例函数的图像，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A.由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B.由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C.由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项正确，符合题意； D.由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 13．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　） A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】利用图象法分三种情形：当且时；当时；当时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可． 【详解】解：如图1中，当且时，满足条件的点M有4个； 如图2中，当时，满足条件的点M有2个，此时点，，三个点重合； 如图3中，当时，满足条件的点M有2个． 故选：B． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键． 14．如图，在等腰中，是边的中点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】根据三线合一证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的性质以及是边的中点，得出，，，根据可推出，即可解答． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴，， 故②正确； 又∵是边的中点， ∴，， ∴ 故③④正确 在∴中 ∴，故①正确 故选：D 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题关键． 二、填空题 15．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【知识点】根据三线合一证明、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】由作图可知， 是等腰三角形 是等腰斜边上的中线 （等腰三角形的三线合一） ，即 故答案为：等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟记等腰三角形的三线合一是解题关键． 16．在中，与的平分线交于点I，过点I作交于点D，交于点E，，现给出以下结论：①和是等腰三角形；②I为中点；③的周长是8；④．其中正确的是： ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定和是等腰三角形，的周长被转化为的两边和的和，即求得的周长为8． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴和是等腰三角形，故①正确； 不能得出，故②错误； ∴的周长，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 17．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．    【答案】9 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 18．如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为    【答案】/45度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】延长交与点，得，利用相似三角形的性质，三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，延长交与点，   ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练利用正方形网格的格点是解题的关键． 19．如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为 °. 【答案】70 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】由，，是的中点，求解证明 再求解 证明 从而可得答案． 【详解】解： ，，是的中点， , ，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义与性质，掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为 . 【答案】1 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】延长，于交于点，由平分，，可得，则，所以，再根据，得，进而得到. 【详解】延长，于交于点，如图所示， ∵平分，， ∵，， 在与中， ∴ ∴， ∴ 又∵在中，， ， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂线联想到等腰三角形三线合一的性质，作出辅助线是解题的关键. 21．如图，在和中，，．，，连接，交于点M，与相交于E，与相交于F，连接，则下列结论中：①；②；③；④平分，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、角平分线的判定定理 【分析】由证明得出，则①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则②正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，则④正确；假设，则，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，则③错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中，， ， ，，，则①正确； 由三角形的外角性质得：， ，则②正确； 如图，作于，于，则， 在和中，， ， ， 平分，则④正确； 假设， ， ，， 平分， ， ， 由三角形的外角性质得：， ， ，与矛盾， 则假设不成立，即③错误； 综上，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确找出全等三角形是解题关键． 22．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D为AC边上任意一点(不与点A．C重合)，当△BCD为等腰三角形时，∠ABD的度数是 ． 【答案】15°或30° 【分析】根据AB=AC，∠A=40°，得到∠ABC=∠C=70°，然后分当CD=CB时和当BD=BC时两种情况求得∠ABD的度数即可． 【详解】∵AB=AC，∠A=40° ∴∠ABC=∠C=70° 当CD=CB时 ∠CBD=∠CDB=55° 此时∠ABD=70°-55°=15° 当BD=BC时 ∠BDC=∠BCD=70° ∴∠DBC=40° ∴∠ABD=70°-40°=30° 故答案为：15°或30° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，有两个边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等． 23．如图，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为 的最小值，由此即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点，连接，则 ∴当点在线段上时，的值最小， ∴的长为的最小值，即为， 故答案为：． 24．如图，在中，，若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长到F，使得，连接．证明，得到，．再证明，，从而得到，，根据，即可求出． 【详解】解：如图，延长到F，使得，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角定理，直角三角形的两锐角互余等知识，综合性强，难度较大．熟知相关知识，正确添加辅助线，构造全等三角形，进行角的代换证明是等腰三角形是解题关键． 三、解答题 25．证明：等腰三角形两底角的角平分线相等． 【答案】见解析 【知识点】三角形的角平分线、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等腰三角形的性质和判定 【分析】画图，根据等腰三角形可知两底角相等，即∠ABC＝∠ACB，根据底角的角平分线可得∠DBC＝∠ECB，又有公共边BC＝CB，可证得△EBC≌△DCB，进而证得两角平分线相等. 【详解】证明：如图所示， ∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线． ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， 又∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（ASA）， ∴BD＝CE． 【点睛】本题利用等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的性质和判定解题，灵活运用即可解题. 26．如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】在上截取,连,可得,再证明即可证明∠ECA=40°． 【详解】在上截取,连, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠FBD=20°, 又∵AB=FB,DB=DB, ∴ , ∴,∠ABD=∠DBF=20°, ∵AB=AC, ∴,, ∴, ∴, ∵DF=DE,∠EDC=∠FDC,DC=DC, ∴ , 故． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质 ，三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 27．如图，在中，平分，，. (1)求的度数； (2)若，垂足为，，，求的面积. 【答案】(1) (2)6 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解，再结合角平分线的定义可得答案； （2）过点作于点，证明，再利用三角形的面积公式可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）如图，过点作于点，    ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的定义，角平分线的性质，熟记内角和定理与角平分线的性质是解本题的关键. 28．如图①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD． （1）如图①，求证：AD平分∠BAC； （2）如图②，连接BC，延长AD交BC于点E．求证：AE⊥BC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据三线合一证明 【分析】（1）连接BC，利用等腰三角形的性质以及角的和与差，得到∠DBC＝∠DCB，DB=DC，再利用SSS证明△ABD≌△ACD，即可证明AD平分∠BAC； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明． 【详解】（1）证明：连接BC， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD， 即∠DBC＝∠DCB， ∴DB=DC， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD=∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：由（1）可知：AD平分∠BAC， 即AE平分∠BAC， 又∵AB=AC， ∴AE⊥BC 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 29．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上 (3)． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 30．如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，结合题意可求出，再根据勾股定理解答即可； （2）过点D作，交反向延长线于点E．易求出 ，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理可求出，从而得出，；再由四边形的周长为5，可得出，结合（1），可求出，进而可求出，即得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，交反向延长线于点E． 由题意可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形的周长为5，即， ∴，即． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积的计算等知识．掌握等边对等角和正确作出辅助线是解题关键． 31．已知：和均为等腰直角三角形，．连接，，点为中点，连接． (1)如图1所示，求证： ①；② (2)将绕点旋转到图2所示位置时，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)，，理由见解析； 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①首先证明，利用全等三角形的性质得到，再利用直角三角形斜边中线的性质即可得到；②通过全等三角形对应角相等以及直角三角形两锐角互余证明； （2）如图2中，延长到E，使得，连接，通过证明，可得以及，问题得证． 【详解】（1）证明：①∵与为等腰直角三角形，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∵H是中点， ∴； ②∵ ∴，   ∵点H为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：结论：，理由如下： 延长到E，使得，连接， ∵点H是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 32．如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，． (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）根据得到，再利用得到，即可证明； （2）根据（1）中可得，再利用平行线得到，即可得到． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， 在与中， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ． 33．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F． (1)证明：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长    【答案】（1）见解析；（2）EC=4，理由见解析 【知识点】对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论； （2）由题意根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）， ， 又， ， ，， ， 又， ， ； （2）， ， 又， ， 在中，， ， . 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和余角的性质以及对顶角的性质等知识点，解题的关键根据相关的性质定理通过等量代换进行分析． 34．问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$